析理思理悟理
——《長方形的面積》教學與思考

羅鳴亮

在小學數學的學習內容中，存在著大量的運算法則、定律、性質、公式等，這些數學規則是數學知識的重要組成部分。作為一名小學數學教師，對所教的最基礎的數學知識，必須從數學的視角切實知道它是什么，真正明白其為什么是這樣，以明確其規定的合理性和必要性。“長方形的面積=長×寬”這個公式，許多學生在生活中已經有所感知，大家覺得就是一個規定，是天經地義的事。長方形的面積為什么等于“長×寬”呢？在這個理所當然的規定后面，到底蘊含著什么樣的道理？這個道理是否被學生所理解呢？如何才能被學生真正理解呢？帶著這個思考，我做了如下分析：

析理：長方形面積為什么可以用“長×寬”來計算

面積作為一種量是能夠計量的，面積的計量方法與長度的計量方法是一致的，都是用相應的面積單位去度量，從而得到度量結果。但由于直接計量的方法在度量面積操作層面存在許多的不方便，因此人們需要“先計量與被測量的量相關的其他的量，再通過一定的運算得出被測量的量的大小”。長方形面積公式就是采用間接計量的辦法，先用選擇的單位長度去量得長、寬的長度，再把其相乘，從而得出該圖形的面積。比如，長3厘米，那么對應的就能擺出3個1平方厘米的正方形，寬2厘米指的就是能擺2行，2×3求的就是有6個1平方厘米的正方形。這一過程，就是間接度量長、寬的長度，通過空間推理，將一維的線段長度與二維的單位面積個數建立量的對應關系，從而得出長方形面積的計算方法。

思理：學生緣何不理解公式

教學《長方形的面積》一課，許多教師都圍繞著“長方形的面積=長×寬”這一公式，借助動手操作、觀察表格等開展教學活動，可課上到后來，學生依然存在困惑：“為什么長是長度，寬也是長度，怎么它們一相乘，就變成了面積了呢？”究其原因，我們發現，由于小學生的思維尚處于簡單的抽象思維過程，從邊的長度到單位面積的格子數，這一維到二維的轉化過程，是通過空間推理得來的，對學生來說是一個跨越性的思維，其理解存在一定的難度。再者，用表格歸納公式有其好處，能讓學生很快從數據中發現面積與長、寬的關系，但是，它又會讓學生停留在對數據的表面分析，過多關注的是數與數（長、寬、面積）之間的關系，而忽視了對每個數字所蘊含的實際含義進行深入理解。

悟理：道理在思辨中頓悟

長方形的面積本質在于度量，其面積指的是所要度量的長方形里含有多少個這樣的面積單位。為此，本課教學應從面積的本質入手，圍繞“面積單位和面積的關系”“行、列格子數和面積的關系”“長、寬與行、列的對應關系”，促進學生對知識的深層思考，逐漸頓悟長方形面積公式的由來，從而獲得對知識本質內涵的理解。

根據這一思考，筆者在教學中做了如下嘗試：

一、復習引入，喚醒已有認知

師：羅老師從福建帶來了一個信封，里面藏著圖形。猜對了，就是你的禮物。第一個圖形，它的面積是1平方分米，這個圖形是？

生：正方形。

師：（出示正方形）猜對了，送給你！這個正方形的邊長是?

生：1分米。

師：很棒！第二個圖形，它的面積是3平方分米，它是？

生：它是長方形。

師：你是怎么想的？

生：3平方分米，3個正方形拼在一起可以拼成一個長方形。

師：我們一起來看看她猜對了沒有。

師：這個圖形它的面積是3平方分米嗎？你是怎么看出來的？

生：這個圖形由3個面積是1平方分米的正方形組成，所以這個圖形的面積是3平方分米。

生：4平方分米。1個正方形是1平方分米，這里有4個正方形,所以就是4平方分米。

【設計意圖：從猜面積入手，讓學生尋找面積是1平方分米、3平方分米的圖形，領悟面積的本質，讓其明白：求一個圖形的面積就是看這個圖形含有幾個這樣的面積單位。并通過變化面積單位的數量，從中感悟：不管是什么圖形，其面積都是由面積單位累加而得到的，感悟格子數與面積之間的聯系。】

二、循序漸進，感悟對應關系

師：接下來這個圖形，它是由6個面積是1平方分米的正方形拼成的長方形，它會是什么樣子的呢？

生 1：擺 2行，每行 3個，總共擺了6個。

師：6個什么？它的面積就是？

生：6個1平方分米的正方形，面積是6平方分米。

生2：我認為還有一種，擺1行，每行6個，一共擺了6個，面積也是6平方分米。

生3：信封小，裝不下這樣橫著的一行6個。

生2：可以斜著放。（教師及時讓學生借用1平方分米去擺。也裝不下，這個學生改選第1種）

生4：第2種，可以折起來。

師：到底誰對呢？（老師從信封中取出，慢慢打開折成3層的長方形）祝賀你！送給你！

師：接下來這個圖形，看誰最快知道它的面積？

生：12平方分米。

師：講道理。

生：因為有3行，每行4個，一共12個。

師：（追問）12個什么？所以它的面積就是？（學生回答略）

師：這個圖形呢？它的面積是多少？

生：24平方分米，因為每行4個，有6行，一共有24個1平方分米的小正方形。（掌聲送給會講道理的小朋友！）

課件出示：

師：你那么快想出來了，猜猜為什么她還沒想出來？

生：她可能還在數，其實不用數，每行15個，有10行，乘起來就知道有150個了。

師：怎么知道每行15個？

生：長方形的長是15分米，1個小正方形的邊長是1分米，那就可以擺15個。

教師演示課件：第一行擺15個（一個一個擺）。

師：如果有30分米呢？每行可以擺幾個？你又怎么知道有10行？

生：有10分米，1個小正方形的邊長是1分米，豎著就有10個小正方形，就有10行。

教師演示課件：第一列擺10個（一個一個擺）。

師：那就說明一共可以擺幾個？面積是多少？

【設計意圖：格子圖是面積單位個數的一個直觀有效的載體，一個格子，就代表一個面積單位。如何讓學生理解面積這一度量的本質，讓學生領悟長與個數、寬與行數的關系？這里從面積單位入手，借助格子圖，依次出現圖中有格子數的長方形、圖中無格子數的長方形，到最后有格有數據的長方形，在這一逐步抽象變化的過程中，讓學生主動借助格子數求面積，并通過充分“講道理”領悟到：長方形的面積就是看每行擺幾個單位面積，有幾行，相乘的積所算出的總個數，就是這個圖形的面積。到150平方分米這個長方形時，學生就會水到渠成地把長方形的長和寬與個數、行數建立聯系，從而頓悟出長方形的長與擺的個數、寬與擺的行數之間的對應關系】

三、逐步抽象，頓悟公式本質

師：這個長方形，什么提示都沒有，有辦法算出它的面積嗎？

（學生獨立計算這個長方形的面積后反饋）

生：長方形的長有5厘米，寬有 4厘米，5×4=20（平方厘米）。

師：要計算它的面積，干嘛要去量它的長和寬？

生：它的長是5厘米，所以用1平方厘米的小正方形可以擺5個，它的寬是4厘米，用同樣的小正方形可以擺4個。所以5×4=20，就可以擺20個小正方形，

師：20個什么樣的小正方形？

生：1平方厘米的小正方形，所以是20平方厘米。

師：羅老師家里也有一個長方形，面積一樣（20平方厘米），但形狀不一樣，猜猜看，我家那個長方形的長和寬可能分別是——

生：長是20厘米，寬是1厘米。

師：你是怎么想的？（長是20厘米，寬是1厘米，面積就是20平方厘米）你怎么知道這個面積是20平方厘米？

生：擺一行，一行20個。

生：還可以長是10厘米，寬是2厘米。

出示課件：

師：我家的長方形的長有可能比20厘米還長嗎？

生1：不能，20厘米已經是極限了。

生2：能的，只要把寬改成0.5厘米，長就是40厘米。（教師課件演示）

師：我家長方形的長有可能比40厘米還長嗎？

生1：有可能，只要把寬改成小于0.5厘米，長就比40厘米長。

師：那我家長方形的長會有多長？

生：長可以很長很長，無法計算。

師：學到這里，你有什么收獲嗎？如果讓你講一句話，你會講什么？

生：長方形的面積=長×寬。

師：你能說說長方形的面積等于“長×寬”的道理嗎？

生：……

【設計意圖：本環節，讓學生在自主探索和說理中頓悟：為什么長方形的面積等于“長×寬”的道理。史寧中教授提到：“智慧并不表現在經驗的結果上，也不表現在思考的結果上，而是表現在思考的過程中。”由于有了前面環節的充分感知，學生已經感悟到長方形面積與長和寬有關。此時再追問：要計算的是長方形面積，為什么去量它的長和寬呢？這一問題直逼公式的本質，讓學生在講理中，對長方形面積公式有了深刻的理解。而后又通過巧妙的變式，在猜“面積是20平方厘米的長方形還可以是怎樣的形狀”過程中，進一步感悟到長、寬與面積的關系，滲透極限思想。】

四、變式拓展，深化面積模型

師：信封里還剩下一個長方形，每行有4個，有2行。這個長方形的面積是？

生1：8平方分米。

生2：8平方厘米。

生3：可以是8平方分米，也可以是8平方厘米，單位很多，但是8這個數字是確定的。

師：（教師拿出由8個邊長為5厘米的正方形拼成的長方形）它是8平方分米嗎？是8平方厘米嗎？問題出在哪呢？

生：問題出在它的邊長，是5厘米的。

師：它的面積又是多少呢？

生：它的面積是200平方厘米。

師：同意嗎？講道理。

生：1個小正方形的面積是 5×5=25（平方厘米），這個長方形有8個這樣的小正方形，所以25×8=200（平方厘米）。

【設計意圖：因為整節課圍繞著面積是1平方分米、1平方厘米等基本單位面積展開，學生已形成思維定勢。課的最后，出示一個不是基本面積單位的正方形引發沖突，促進學生對面積概念進一步深化，讓學生學會靈活運用長方形面積公式解決問題，把學生的思維帶往更深更遠處……】