都是無圖惹的禍

都是無圖惹的禍

林小軍

我們經常會遇到這樣一類題目，只用文字敘述來表達題意，而不畫出具體的圖形，這時，我們就要多問問自己，為什么出題者不給出圖形？其目的是什么？難道有多種情況存在嗎？現歸納一下銳角三角函數中出現的此類問題，以提高同學們的免疫能力.

例1已知等腰三角形的周長為14，一邊長為4，求底角的余弦值.

圖1

圖2

【錯解】

如圖1，等腰三角形ABC中，AB= AC=5，BC=4，求cos∠B或cos∠C的值.

過點A作AD⊥BC，垂足為D，根據三線合一得：BD=CD=2，在Rt△ABD中

【錯因】因為題目未給出具體的圖形，且條件給出的是“一邊長為4”，語言敘述模糊，解題千萬不能含糊.一些同學粗心大意，導致漏解.即只考慮了底為4的情況，而未考慮腰為4的情況.

【正解】

如圖1，當等腰三角形的底為4時，

如圖2，當等腰三角形的腰為4時，

例2在△ABC中，AD是邊BC上的高，AD=2，DB=2，CD=23，求∠BAC的度數.

圖3

圖4

【錯解】根據題意畫出圖3，在Rt△ABD中，求出∠BAD=45°，在Rt△ACD中，

∴∠CAD=60°，

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+60°=105°.

【錯因】對題目的條件：“AD是邊BC上的高”，只考慮了高在△ABC內部，未考慮高在△ABC外部，導致漏解.

【正解】當高在△ABC內部時，∠BAC= 105°；如圖4，當高在△ABC外部時，即∠ABC為鈍角時，∠BAC=∠CAD-∠BAD=60°-45°=15°.

∴∠BAC的度數為105°或15°.

例3在△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC= 30°，則△ABC的面積為.

圖5

圖6

【錯解】如圖5，過點B作BD⊥AC，垂足為D，在RtΔABC中，BD=2，AD=23；在Rt△BCD中，

∴S△ABC=

【錯因】俗話說：“邊邊角，不知道”，如圖6，30°角所對的邊BC有兩種情況，當∠C為銳角時；以點B為圓心，BC為半徑畫圓，交AC于C′，則鈍角三角形ABC′也符合題意，所以本題應有兩解.

【正解】當∠C為銳角時

例4在平面直角坐標系xOy中，已知一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像過點P（1，1），與x軸交于點A，與y軸交于點B，且tan∠ABO=3，那么點A的坐標是.

【錯解】如圖7，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，則PC∥BO，

∴∠ABO=∠APC，

∴tan∠ABO=tan∠APC=3，

圖7

∵PC=1，∴AC=3，∴AO=2，∴A（-2，0）.

【錯因】圖形不確定時，要分情況討論，這對各位同學的動手操作能力提出了較高的要求.

【正解】如圖7，當k＞0時，A（-2，0）；

圖8

如圖8，當k＜0時，過點P作PD⊥OA，垂足為D，

∵tan∠ABO=tan∠APD=3，在Rt△APD中，

∵PD=1，∴AD=3，∴AO=4，∴A（4，0）.

綜上所述：點A的坐標為（-2，0）或（4，0）.

通過以上幾道無圖題的分析可以發(fā)現，當題目不給出圖形時，我們就要多一個心眼，是不是有幾種不同的情況，有時命題者故意不畫出圖形，既考查我們的建模能力，又考查我們思考問題是否全面.通過這個專題的復習，我們應該對“無圖題”有很高的警惕性，今后再遇到此類問題，我們的防漏解的意識一定會有很大的提高吧！

（作者單位：江蘇省東臺市新街鎮(zhèn)中學）