“圓來”如此簡單
——“借圓”來求銳角三角函數值

“圓來”如此簡單
——“借圓”來求銳角三角函數值

趙軍

一、課本引例

【引例】蘇科版九年級《數學》上冊第52頁，習題2.3第3題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°.經過A、B、D三點作⊙O，檢驗點C是否在⊙O上，并說明理由.

圖1

【說明】在引例中，連接BD，取BD的中點N，連接NA、NC，在Rt△BCD中，NB=NC=ND；Rt△BAD中，NB=NA=ND，所以NA=NB=NC= ND，故A、B、C、D四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上.由此我們可以得到這樣一個結論：有一組對角均為直角的四邊形四個頂點共圓.為敘述方便，我們把它稱為基本結論.

二、結論運用

例1如圖2，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊AD、CD的中點，BE，AF相交于點G，連接CG，則tan∠CGF=.

圖2

圖3

【常規思路】如圖3，延長AF、BC交于一點H，由E、F分別為邊AD、CD的中點，可證得△ABE≌△DAF，∴∠ABE=∠DAF，由正方形ABCD得：∠BAG+∠DAF=90°，∴∠BAG+∠ABE= 90°，即：∠BGH=90°.容易證得△DAF≌△CHF，所以AD=HC，∠H=∠DAF，∵AD=BC，∴BC= HC，∴在Rt△BGH中，CB=CG=CH，∴∠CGF=∠H，∴∠CGF=∠H=∠ABE.∴tan∠CGF=tan∠ABE =

【“圓來”如此】如圖4，在求得∠BGF=90°、∠BCF=90°后，由基本結論可知：B、C、F、G四點共圓，∴tan∠CGF=tan∠CBF=

圖4

例2（2013·黑龍江哈爾濱）如圖5，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面積為5，則sin∠BOE的值為.

圖5

圖6

【常規思路】如圖6，連接EC，由題意可得OE為AC的垂直平分線，

∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，

所以S△AEC=AE·BC=10，

∵BC=4，∴AE=5，∴CE=5，

在Rt△BCE中求得：BE=3，∴AB=8，

【“圓來”如此】如圖7，由題意可知：∠EOC= 90°，∠EBC=90°，

∴B、C、O、E四點共圓，

圖7

∴∠BOE=∠BCE，

∴在Rt△BCE中，

三、題后反思

在求銳角三角函數值的過程中，有時我們會陷入“絕境”.事實上，求一個銳角的三角函數值，無非兩種思路，一種是原角不動，想辦法構造直角三角形去求；另一種是對原角進行轉化，找出與它相等的角進行替換，間接來求.在第二種方法中，我們特別要注意隱形圓的存在，找到了圓就可以考慮運用圓周角定理對角進行轉化，這就要求我們能夠準確地判斷出哪四點共圓，因此要抓住課本引例中基本結論：“有一組對角均為直角的四邊形的四個頂點在同一個圓上.”這很關鍵，進一步我們還可以將基本結論推廣為：“對角互補的四邊形四點共圓.”有興趣的同學可以做進一步的探究，并希望同學們在學習過程中注意這個基本結論的靈活運用.

（作者單位：江蘇省東臺市新街鎮中學）

責任編輯：彭深

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