“銳角三角函數”考點大觀察

“銳角三角函數”考點大觀察

王國兵

“銳角三角函數”是初中數學的主要內容，也是中考考查的重點內容.縱觀近幾年的中考數學試題，銳角三角函數的定義、特殊的三角函數值、解直角三角形以及銳角三角函數在實際問題中的運用往往是考查的重點.現以近兩年中考試題為例，說明如下.

考點一銳角三角函數的定義

圖1

例1（2016·陜西）已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點，將這條拋物線的頂點記為C，連接AC，則

tan∠CAB的值為（）.

D.2

【解析】如圖1，過C點作CD⊥AB，垂足為D，由題意可求得點A（-3，0）、B（1，0）、C（-1，4），則AD=2，CD=4，在Rt△ACD中，tan∠CAB=，故選D.

考點二特殊三角函數值

例2（2016·山東濰坊）關于x的一元二次方程x2-2x+sinα=0有兩個相等的實數根，則銳角α等于（）.

A.15° B.30° C.45° D.60°

【解析】因為方程有兩個相等的實數根，所以因為α是銳角，所以α=30°.

考點三解直角三角形

例3（2015·湖北）如圖2，AD是△ABC的中線

（2）sin∠ADC的值.

圖2

【解析】（1）過點A作AE⊥BC，垂足為E.

則BC=BE+CE=4. =45°，所以sin∠ADC=sin45°=

【反思】解決這類問題關鍵是弄清三角形中線與角之間的關系，可以從一些特殊角以及特殊角所對應的特殊三角函數值入手，層層深入，步步為營，使問題得以解決.

考點四銳角三角函數在實際問題中的應用

1.仰角俯角問題

例4（2016·河南）如圖3，小東在教學樓距地面9米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點的仰角為37°，旗桿底部B點的俯角為45°，升旗前，國旗上端懸掛在距地面2.25米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結束時到達旗桿頂端，則國旗應以多少米/秒的速度勻速上升？（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解析】通過解Rt△BCD和Rt△ACD分別求得CD和AD的長度，得AB的長度，從而根據題意得到整個過程中旗子上升高度，由“速度=”即可求解.在Rt△BCD中，CD=BD· tan∠BCD=9tan45°=9.在Rt△ACD中，AD=CDtan∠ACD=9tan37°≈6.75，所以AB=BD+AD=9+6.75=15.75，則整個旗子上升的高度是15.75-2.25=13.5（米），因耗時45s，故國旗上升的速度v=（米/秒）.

圖3

2.坡度坡角問題

例5（2016·重慶）如圖4所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i=1∶3，則大樓AB的高度約為（）（.精確到0.1米，

圖4

圖5

A.30.6B.32.1C.37.9D.39.4

【解析】如圖5，延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH=DE=15米，EG=DH，設BH=x米，則CH=3x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=63米，得到BG=9米，證得△AEG是等腰直角三角形，得到AG=EG=HD=63+20（米），即可得出大樓的高度為AB=AG+BG=63+ 20+9≈39.4（米）.

【反思】本題考查了解直角三角形的應用——坡度、俯角問題.通過作輔助線，運用勾股定理求出BH、HC后，得出EG、BG是解決問題的關鍵.

3.方向角問題

例6（2016·四川樂山）如圖6，禁止捕魚期間，某海上稽查隊在某海域巡邏，上午某一時刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75°方向以每小時10海里的速度航行，稽查隊員立即乘坐巡邏船以每小時14海里的速度沿北偏東某一方向出發，在C處成功攔截捕魚船，求巡邏船從出發到成功攔截捕魚船所用的時間.

圖6

圖7

【解析】由題意易得∠ABC=120°，AB=12，設巡邏船從出發到成功攔截捕魚船所用的時間為x小時，則BC=10x，AC=14x，在△ABC中，∠ABC=120°為一特殊角，解題時注意不破壞特殊角的特殊性，自然想到，過A點作AD⊥BC交CB延長線于點D，如圖7.

在Rt△ABD中，

AD=ABsin∠ABD=12sin60°=63，

BD=ABcos∠ABD=12cos60°=6，

CD=BC+BD=10x+6.

在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，

答：巡邏船從出發到成功攔截捕魚船所用的時間為2小時.

【反思】解決銳角三角函數應用問題時，要能正確讀懂題意，理解方位角的含義，把實際問題轉化為解直角三角形的問題加以解決，即找到已知與未知相關聯的直角三角形，有時圖形中沒有直角三角形，要依托特殊角通過作高的方法構造直角三角形解決問題.

（作者單位：江蘇省東臺市許河鎮中學）

責任編輯：彭深

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