運用概率幫你做估計和計算收費

運用概率幫你做估計和計算收費

韓寶華

現實生活中，很多時候無法用普查來統計數據.這時，我們常常請概率這個好朋友來幫我們做估計，幫助我們進行決策.

例1在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同.小新從布袋中隨機摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色……如此大量摸球實驗后，小新發現其中摸出紅球的頻率穩定于20%，摸出黑球的頻率穩定于50%.對此實驗，他總結出下列結論：①若進行大量摸球實驗，摸出白球的頻率應穩定于30%；②若從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是紅球.其中說法正確的是（）.

A.①②③ B.①② C.①③ D.②③

【解析】當實驗次數很大時，事件發生的頻率穩定于一個值，這時我們用頻率作為概率的估計值.

摸出紅球的頻率穩定于20%，則摸出紅球的概率是20%，同樣摸出黑球的概率是50%.因為每次要摸出一個球，這個球的顏色一定是紅球、黑球或白球中的一個，所以分別摸出紅球、白球、黑球的概率和為100%，則摸出白球的概率為100%-20%-50%=30%.所以①②正確.只有當實驗次數足夠大時，方可用頻率來估計概率，在有限次的實驗中，不能用頻率進行準確的計算，只能說可能有20次摸出的是紅球，而不是一定有20次，故③錯誤.

例2為估計魚塘中魚的數量，先從魚塘中捕撈30條魚做上標記，然后放回魚塘.經過一段時間，待有標記的魚完全混合于魚群后，再從中多次捕撈，并計算得平均每200條魚中帶有標記的魚有5條.試估計該魚塘中魚的數量.

【解析】設該魚塘中有魚x條，由多次捕撈，并計算得平均每200條魚中帶有標記的魚有5條.可算得帶有標記的魚的頻率為并把它作為捕到帶有標記魚的概率的估計值，則由P（捕到帶有標記的魚）=得x=1200（條）.

例3如果事件A發生的概率是那么下列推斷，哪幾個是正確的？

（1）做100次這種試驗，事件A必發生5次；

（2）大量重復做這種試驗，事件A平均每100次發生5次；

（3）做100次這種試驗，事件A不可能發生6次.

【解析】因為事件A發生是隨機的，所以做100次這種試驗，事件A發生的次數不一定是5次，0次到100次都有可能.只有在大量重復地做這種試驗的基礎上，事件A平均每100次發生5次.所以（1）（3）錯誤，只有（2）正確.

例4某航空公司的保險合同上有這樣一個條款：飛機一旦失事，將向每名乘客賠償人民幣50萬元，但保險公司需向每名乘客收取保險費20元.如果該航空公司航班平均每次約有120名乘客，那么在n次飛行中，平均來說，當飛機失事的概率不超過多少時，才能保證保險公司的收入不小于支出？

【解析】設飛機失事的概率為x，在n次飛行中，平均失事nx次，平均賠償120×50×nx萬元，n次飛行中共收取保險費120×20n元，因為要使得收入不小于支出，所以可列不等式120×500000×nx≤120×20n.

小試身手

1.在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中只有3個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子.通過大量重復試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定在20%左右，則a的值約為（）.

A.12B.15C.18D.21

2.生物學家估計某一地區的野鹿總數時，常采用“捉放捉”方法，即先捕捉野鹿n只，分別給它們做上記號，然后放歸；一段時間后，重新捕捉一些野鹿作為樣本.如果多次捕捉到的野鹿中平均每m只有a只帶有記號，試估計該地區野鹿的只數為.（用含m、n、a的代數式表示）

3.假設某航班平均每次約有100名乘客，飛機失事的概率P=0.000 05.一家保險公司要為乘客上保險，承諾飛機一旦失事，將向每名乘客賠償人民幣40萬元.平均來說，保險公司應該如何收取保險費呢？

4.某商場為吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤，并規定：每購買100元商品可以獲得一次轉動轉盤的機會；如果轉盤停止轉動時，指針正好落在紅、綠、黃區域，那么顧客可以分別獲得80元、30元、10元購物券；如果不愿轉轉盤，那么可以直接獲得10元購物券.設轉盤停止轉動時，指針正好落在紅、綠、黃區域的概率依次為0.1、0.15、0.25.

（1）平均來說，每轉動轉盤1次所獲購物券的金額是多少？

（2）小明在家也做了一個同樣的試驗，轉動轉盤10次后共得購物券90元.據此，小明認為，還是直接領取10元購物券合算.你同意他的說法嗎？

（作者單位：江蘇省淮安朱橋中學）