以形思數(shù)，以數(shù)想形

陳曉潔

摘 要： “數(shù)”與“形”是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)始終的基本內(nèi)容，也是小學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)基本思想。“形對數(shù)進行直觀表現(xiàn)，數(shù)對形進行量化”，借助數(shù)形結(jié)合的研究方法，可以讓數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的問題很好地轉(zhuǎn)化，通過幾何模型加深學(xué)生對數(shù)概念的了解，讓學(xué)生更深刻地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)運算的算理，使解題思路與過程具體化；通過數(shù)量化、公式化幫助學(xué)生理解圖形性質(zhì)，借助表象發(fā)展空間觀念，更好地展現(xiàn)知識的建構(gòu)過程。“授之以魚，不如授之以漁”，思想培養(yǎng)與灌輸、方法掌握與靈活運用，才能使學(xué)生受益終身。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)形結(jié)合 滲透方法

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的特殊任務(wù)，思想方法是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的本質(zhì)要求。數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最早運用，對學(xué)生最直觀、最容易接受的一種數(shù)學(xué)思想方法，即把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而優(yōu)化解題途徑。在小學(xué)教學(xué)中有效運用數(shù)形結(jié)合思想方法，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)實質(zhì)，提高數(shù)學(xué)思維水平，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。同時幫助學(xué)生更好地形成抽象思維，便于他們在現(xiàn)實生活中更好地解決問題。

一、以形思數(shù)，在直觀中理解“數(shù)”

教師通過以形思數(shù)突出圖的形象思維，緊密結(jié)合圖形的直觀所長變抽象為形象，便于學(xué)生理解抽象的概念、數(shù)量關(guān)系和運算性質(zhì)，使學(xué)生運用已有知識經(jīng)驗，用數(shù)學(xué)模型替代實際問題，讓學(xué)生的感官發(fā)揮作用，在建立表象的情況下進行思維發(fā)散，最終找到解決問題的本質(zhì)所在。

（一）以形思數(shù)，幫助建立數(shù)學(xué)概念。

許多數(shù)學(xué)概念比較抽象，很難理解，特別需要視覺有效應(yīng)用，因此可適當(dāng)采用數(shù)形結(jié)合思想展開概念的教學(xué)，借助圖形為數(shù)學(xué)問題創(chuàng)設(shè)一定的情境，并在圖形解析過程中幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。

比如，教學(xué)生掌握100以內(nèi)的數(shù)的時候，學(xué)生大多對100以內(nèi)的數(shù)倒背如流，看上去掌握得很好。于是我出示了這樣一道題考學(xué)生：66接近70還是60呢？卻發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都不會。分析原因是有些學(xué)生只是機械地背數(shù)，關(guān)于數(shù)的順序、大小等方面的知識其實掌握不佳，因而需要教師創(chuàng)設(shè)一定的情境讓學(xué)生進一步感知和學(xué)習(xí)。于是我在黑板上畫了一條數(shù)軸，稱它是一條帶箭頭的線，在數(shù)軸上逐一標(biāo)出60～70，將抽象的數(shù)在看得見的線上形象、直觀地表示出來，將數(shù)與位置建立一一對應(yīng)關(guān)系，這樣有助于學(xué)生理解數(shù)的順序、大小。標(biāo)出數(shù)字后在60和70處畫了兩幢房子，問：“66這個數(shù)喜歡去誰的家呢？”看著圖畫，幾乎所有學(xué)生都回答：“喜歡去70的家，因為66距離70比較近。”隨后進一步說明：66再數(shù)4就是70，60要數(shù)6才66，很顯然是66接近70。從以上設(shè)計和學(xué)習(xí)過程中我們不難發(fā)現(xiàn)：“數(shù)”的思考、“形”的創(chuàng)設(shè)，不但增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成。

（二）以形思數(shù)，幫助理解數(shù)學(xué)運算的性質(zhì)。

數(shù)形結(jié)合不僅是一種思想，還是一種很好的教學(xué)方法。計算教學(xué)中，許多算理學(xué)生模棱兩可，如能做到數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以更透徹地理解和掌握。

比如，教學(xué)《積的變化規(guī)律》時，教師常采用列舉各種乘法公式的手段，讓學(xué)生觀察、對比因數(shù)與積之間的變化，找出積的變化規(guī)律。教學(xué)藝術(shù)在于創(chuàng)造，我曾聽一位教師創(chuàng)造性地運用長方形模型具體直觀啟發(fā)學(xué)生尋找出積的變化規(guī)律。教學(xué)過程如下：

首先，呈現(xiàn)如下圖形，

引導(dǎo)學(xué)生思考，在長度固定，寬度增加或減少3倍的情況下，面積是怎么變化的？

通過計算長方形面積，比較變化前后的面積，學(xué)生一眼就能看出固定長度的情況下，當(dāng)寬擴大3倍或縮小3倍，它的面積擴大3倍或縮小3倍。通過長方形面積的計算及面積大小變化規(guī)律的觀察，也就是數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生對積的變化規(guī)律有更直觀的理解。這樣設(shè)計比抽象的乘法算式之間的比較更易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解規(guī)律。

（三）以形思數(shù)，使解題過程具體化。

解決問題，為了讓學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，適時采用畫線段圖等方法，把抽象的問題放在直觀的情境中，在直觀圖示的導(dǎo)引和教師的啟發(fā)下，學(xué)生就能比較容易地理解各種數(shù)量間的關(guān)系，從而有效提高學(xué)生比較、分析和綜合的思維能力。

比如，一年級上冊經(jīng)常有這樣的題目：小明前面有5人，小明后面有3人，一共有幾人？列成算式是：5+3+1。另外還有：從前面往后數(shù)，第5個是小明，從后往前數(shù)，第6個是小明，一共有幾人？列成算式是：5+6-1。這兩道題目使學(xué)生的思維受到嚴(yán)重干擾，什么時候加1，什么時候減1？要求一年級孩子用語言表達(dá)往往是很難做到的。教學(xué)中，若進行數(shù)形的巧妙結(jié)合，以圖形方式展開，抓住問題的本質(zhì)，問題就變得簡單。尤其是第二個問題，通過圖示，學(xué)生明白為何要減1，因為小明算了2次。一個圖形達(dá)到上百句話的表達(dá)效果，讓學(xué)生養(yǎng)成畫圖思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，切身體會數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，從而幫助他們提高數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，實現(xiàn)抽象思維與形象思維的巧妙運用。

二、以數(shù)想形，在轉(zhuǎn)換中建立“形”

圖形推理屬于抽象化計算，而計算又是推理的具體化，圖形是推理和計算的直觀模型。數(shù)學(xué)活動里有關(guān)圖形的知識可以通過數(shù)和計算幫助理解。

（一）以數(shù)想形，有助于公式的理解。

教學(xué)有關(guān)數(shù)學(xué)公式時，倘若只是讓學(xué)生死記硬背，很難讓他們真正理解公式，一旦遇到比較復(fù)雜的圖形問題，便無法靈活地運用公式解答。計算長方形周長的方式通常有三種：①長+寬+長+寬，②長×2+寬×2，③（長+寬）×2，通過練習(xí)反饋，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都使用了前兩種方法來計算，很少使用第三種方法。此外，還有學(xué)生未充分理解第三種計算公式的含義，僅了解到有這樣一個公式可以求長方形的周長，知其然，而不知其所以然。于是我設(shè)計了讓學(xué)生邊說邊擺小棒的方法介紹第三種求周長的方法。

經(jīng)過討論、分析可以發(fā)現(xiàn)長方形的面積計算公式是（長+寬）×2，由計算轉(zhuǎn)向幾何推理。在教學(xué)過程中把圖形問題變換成代數(shù)問題，突出圖像的形象思維，有助于學(xué)生得到正確的結(jié)果，這是幫助學(xué)生靈活應(yīng)用圖形運算公式的有效方法，讓他們思維與觀察能力等都獲得提高，增強對數(shù)與形的正確認(rèn)識。

（二）以數(shù)想形，探究其本質(zhì)。

通過以數(shù)想形，還可以有效幫助學(xué)生理解圖形的性質(zhì)，例如，在“平行四邊形等高等底，面積相同”的教學(xué)過程中，教師可以呈現(xiàn)一個算式，讓學(xué)生畫出可能是怎樣的平行四邊形，如4×2，學(xué)生可以畫出如下圖形：

將等底等高但形狀不同的一組圖形放在一起供學(xué)生觀察，讓學(xué)生深入體會，從而掌握得更加牢固。

（三）以數(shù)想形，借助表象發(fā)展空間觀念。

兒童的認(rèn)識規(guī)律，通常來說先是直接感受，再到表象，最后形成科學(xué)概念。表象介于感知與科學(xué)概念的形成之間，屬于中間過渡環(huán)節(jié)，巧妙地利用這一環(huán)節(jié)，學(xué)生思維會更活躍，想象力更加豐富，因此對知識的理解更深入、透徹，有利于空間觀念的形成。培養(yǎng)初步的邏輯思維能力，具有十分重要的意義。

教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用表象、用聯(lián)系的觀點把握數(shù)形結(jié)合思想，如看到“3”想到了什么？學(xué)生可能會想到三角形；看到“3、3、1”，“3、3、2”，“3、3、3”，“3、3、4”，“3、3、5”，想到的是怎樣的三角形，通過想象學(xué)生可以想到是這樣一列三角形。

數(shù)據(jù)規(guī)律變化導(dǎo)致圖形規(guī)律變化，這樣訓(xùn)練有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

當(dāng)然，“數(shù)”上構(gòu)“形”，以形思數(shù)；“形”中覓“數(shù)”，以數(shù)想形，這兩點不是彼此獨立的，而是互相聯(lián)系的。數(shù)形結(jié)合在小學(xué)教育中更加關(guān)鍵，合理運用它，能夠讓學(xué)生獲取更加形象化的材料，可以變抽象為具體，使解題思路無形變有形。這樣一來，學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)、接受更加輕松、高效，同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利于腦力的開動、能力的提高，使教學(xué)收到事半功倍之效。

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