例談數學思想方法在課堂教學中的應用

邵亞斌

摘要 在高等教育的體系中高等數學教育有很重要的地位，數學思想方法的教學以及體驗在整個高等數學教學過程中對培養學生嚴謹的科學態度和積極的創新意識起著很重要的作用。從高等數學中“存在性”的教學以及博弈論中的一個經典例子為教學案例，引導學生體驗并學會數學思想方法的作用。讓學生在學習知識的同時，能夠學會猜想及去驗證猜測的正確性。

關鍵詞 數學思想方法 高等數學 課堂教學

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.07.051

傳統的高等數學教育中，高校教師重視數學知識和數學解題技能的講解，而一般不會涉及“數學思想”的講解，但是數學學習的真諦應該是學習數學思想，學生在實踐中的任何領域都可以運用數學思想。在傳統的數學教育中，我們只是一味地強調知識的記憶、熟練的程度以及解題方法與技巧的掌握程度，這樣讓學生很容易產生挫敗感而對失去學習數學的興趣，所以，在網絡發達的今天，在“互聯網+教育”背景下，推進高等數學教學改革，尤其是課堂教學，廣大教師應當充分利用網絡環境，充分利用合作參與式教學方法，加強并重視數學思想方法的養成教育，對提高學生的學習主動性、掌握知識的有效性以及創新能力的持續性有著十分重要的意義。

1數學思想與數學方法在高等數學教學中的作用

（1）數學思想與數學方法是大學生的數學知識向數學觀念轉化的基礎，也是高校素質教育的重要途徑。任何知識都必須形成一個系統的知識體系，最終在認得大腦里形成基本的觀念，數學也必須遵循這個規律，但是要將書面的、固有的數學知識轉化為內在的、科學的數學觀念，在課堂教學中，教師在講清基本數學知識的同時，還應當給學生灌輸有關的數學思想與基本的數學方法。例如數學知識產生的實際背景，與鄰近數學知識、學生已有知識以及相關學科的辯證關系等。學生通過了解數學思想，他們能夠形成自己的數學精神，最終實現我們的數學素質教育。

（2）加強數學思想方法的教學，是提高教學質量和培養學生的數學意識與科學素養的重要途徑。高等數學知識不僅包括了各種概念、各種運算法則、各種理論和在物理甚至其他學科中的基本應用，同時還包括這些概念、運算、定理的深層所反映出來的美妙的數學思想和令人驚嘆的數學方法。在課堂教學過程中，教師應當充分利用現代教育技術，通過設計和諧巧妙的課堂情景，利用啟發式、問題體驗式、合作參與式的教學方式，關注學生碎片化的獲取知識的方法，引導學生從基本的數學概念與數學方法出發，進一步揭示數學知識所包含的實際背景以及其產生、發現和發展的過程，才能把數學中的各種概念和原理徹底掌握，學生所學到的高等數學的知識才可能是完整的、可利用的和深刻的“活水”。在教學過程中，有意識地滲透數學思想，有意識地加強數學史的教學、有意識地呈現某一個知識點的問題及發展前景，有意識地加強與某一些知識點有關的現代研究的方向與前沿，無不對學生的學習興趣、學習方法以及培養他們的科學精神有著不可替代的作用。

（3）加強數學思想方法的教學，是培養學生的創新能力和數學應用能力的重要途徑。數學思想方法是隨著數學的發展而發展的。歷史上數學中的突破性發展總是伴隨著數學思想方法的變革，牛頓之所以創立微積分，黎曼之所以創立流形幾何，龐加萊之所以提出了著名的猜想，不僅在于數學知識的積累，最主要的是這些偉大的數學家在數學思想方法上采取了革命性的創造。因此數學思想方法是進行數學研究，發現數學問題、總結數學發展規律的概括，從而成為數學學科本身發展和創新的基礎與源泉，更為其他科學與技術的進步提供了理論基礎。縱觀數學歷史每次數學發現都是數學思想方法出現了變革，因此數學思想的教學可以指導學生自主地運用數學思想與方法去解決問題，有利于培養和提高大學生的數學創新思維與解決問題的能力。

2加強數學思想方法的具體運用

2.1從高等數學中的“存在性”體驗數學思想方法

關于存在性問題，古希臘曾經有一個非常典型的幾何學難題：能否以相同的形狀使體積增為兩倍？這個問題曾經難倒很多哲學家、幾何學家（當時希臘幾何學的作圖工具只有圓規和直尺），因為他們認為能夠以相同的形狀使體積增為兩倍。因此才找不到正確答案。這個問題直到19世紀被證明了不可能做到而宣告結束。這個問題告訴我們，不是所有的問題都存在答案。當一個問題被提出時，我們要敢于質疑，敢于創新，直覺有時候會把我們帶入誤區。在企業內部，每一項新技術的產生，都要經過大量的測試才能應用，這便是數學思想的再現。如果在做題之前不思考這個問題是否存在解，那么對于一個根本不存在解的問題，就會做了很多的無用功。在高等數學教學過程中，存在性問題處處可見，例如：經常需要思考“極限是否存在？函數是否可導？”等，教材中的習題偏重于鞏固知識點，多以計算為主，開放型題目很少，所以需要教師充分引導，或參與課題，體味數學思想的嚴謹性。

2.2從博弈論的經典例子體會數學思想方法的運用

博弈論是利用數學的方法來研究兩個或多個決策者的相互行為所發生直接相互作用時候的決策以及這種決策的均衡問題的一門學問，是一種專門研究各種博弈行為中所有參與方是否存在最合理的行動或者解決方案，以及怎樣找到均衡解的數學理論和方法。

博弈論的經典例子“價格大戰”內容是：A、B兩個商家壟斷生產一種商品，如果兩家都維持高價，則各得到11萬元的高額利潤；如果一家降價，另一家不降價，降價的利潤增加到12萬元，不降價因失去市場而驟降至2萬元；如果兩家都維持低價分別得到7萬元的高額利潤。具體模型見表1：

矩陣表1中，首先分析矩陣中數據的變動，在博弈中，一方降價另一方不降價時，降價者則會因為得到更多的顧客從而使單位產品的固定成本降低，利潤增加，相反，不降價者會因為失去大批顧客而導致單位產品的固定成本增加，利潤自然降低。若雙方同時降價，雖然單位產品的固定成本不變，但單位產品的利潤下降，導致雙方的利潤同步下降。

用箭頭法求解博弈矩陣，先從策略組合（高價，高價）出發，在該策略組合中，商家A、B的得益均為11，商家A和B都認為，如果單獨改變自己的策略就可以增加自己的收益（從11變成12），因此，商家A會改變自己的策略，是原來的策略組合（高價，高價）變成（低價，高價）。用從前一個策略組合的得益數組，指向后一個策略組合的得益數組的箭頭表示這種傾向。同理，商家B為了增加自己的利潤，也會單獨改變自己的策略，使策略組合（高價，高價）變為（高價，低價），用箭頭表示這種變化的趨勢。如表2所示。

由表2可知，（高價，高價）這個策略組合不穩定，但如果策略組合有（高價，高價）變為（低價，高價），商家A會滿足自己的得益，不會做任何的改變，但商家B卻會改變自己的策略，使自己的收益從2到7。同理，如果策略組合從（高價，高價）變為（高價，低價）。商家B會很滿足自己的得益，商家A卻會改變自己的策略使自己的得益從2到7，仍用箭頭表示這種變化的趨勢。如表3所示：

從表3得到在策略組合（低價，低價）下，商家A與B都不會再改變自己的策略，因為無論任何一方改變策略都會使自己的得益變得更低，所以雙方都不愿意打破這種平衡，則（低價，低價）就是該博弈的均衡解。

從矩陣表1中，可以得到（高價，高價）是兩個商家合作的最優戰略，但為何最后的納什均衡解時（低價，低價）？這是因為博弈雙方選擇對自己而言最優策略，都為了追求自己利益的最大化，結果導致最終的解不是對雙方最優的結果。

從而得到：直覺有時會使人走進誤區，不能只看到表象，要培養嚴謹的科學態度和數學思想。

3結語

數學思想的教學效果不能被量化考核，但是其對提升學生的數學學習能力和創新意識的效果是很明顯的。數學思想能夠讓學生認識到數學知識的內在意義和知識形成的來源背景，而不只是對已有的、枯燥的數學知識的記憶。在高等數學教學過程中，我們應該加強和重視數學思想方法的教學以及研究工作，這樣不但有利于提高學生的數學素養，對學生以后學習其它課程也是很有幫助的。