皮亞諾公理與自然數的序數意義（二）

皮亞諾公理與自然數的序數意義（二）

張新春

前面說到皮亞諾公理1和公理2，公理1保證了有一個自然數。公理2保證了每個自然數之后都會有一個自然數。這樣，看起來會有越來越多的自然數，但事實卻不是這樣。如果0后面是1，1后面是0，那么這兩個數也符合公理1和公理2。為了保證自然數有無限多個，皮亞諾給出了下面的公理：

公理3.0不是任何數的后繼數，即對任何自然數n，都有n+≠0。

這條公理保證了不會出現上述周而復始的情況。有了以上三條公理，似乎可以保證有無限多個自然數了，可實際上不是這樣。讓我們考慮由0、1、2、3、4這5個數組成的數系。我們規定，0+=1，1+=2，2+=3，3+=4，若4+=0，則會進入由0而起的周而復始的狀態，上述公理3保證不會出現這個情況。但若4+=1（請注意，這樣并沒有違背公理3），依然會進入一種周而復始的狀態。問題又出現在哪呢？原來是4的后繼數與0的后繼數一樣，從而從側面切入，又周而復始啦。于是，皮亞諾又準備了以下公理來避免這種情況：

公理4.不同的自然數必有不同的后繼數。也就是說，若m，n是自然數，且m≠n，則m+≠n+。等價地說，若m+=n+，則必有m=n。

至此，皮亞諾五公理已經出現了四個，也許你會覺得，這些公理是如此普通，你甚至開始懷疑：這么幾條，就能成為現代數學的基礎嗎？不錯，還應該加上一條：

公理5.（數學歸納原理）設P（n）是關于自然數的一個性質，假設P（0）是真的，并假設P（n）是真的，則P（n+）也是真的。那么對每個自然數n，P（n）都是真的。

這里，P（n）指的是一個關于n的性質或命題。舉例而言，比如P（n）指的是“n是偶數”或者“n+3比n大”，“2n+1是素數”等。當然，這其中我們還有很多沒有定義的概念。我們也可以把P（n）理解為一組編了號的命題。P（0）是第0號命題，P（1）是第1號命題，P（2）是第2號命題……上面的公理是說，如果0號命題是成立的，而且，若第n號命題是成立的，則第n+號命題也是成立的（也就是說第n號后面的一號命題也是成立的），那么所有的命題都是成立的。

公理5還有一個與上述表述完全等價的說法：對于一個集合，若符合以下兩點，則這個集合包含所有自然數。

1.這個集合中包含0；

2.若這個集合中包含n，則這個集合中也包括n+。

我們這里說的集合包括0，是指0是這個集合中的一個元素的意思。

這個表述不難理解，由上述第1點，這個集合包括0，而由上述第2點，這個集合又包含0+，即包含1。再重復利用上述第2點，這個集合又應包含1+，即包括2，由此繼續。這個公理表明，若是這樣的話，這個集合就應該包含所有的自然數。

人們常用多米諾骨牌來說明這個公理。所有的多米諾骨牌都會倒掉，如果滿足以下兩個條件：

1.最開始的那塊會倒掉；

2.若某一塊多米諾骨牌倒掉，則緊跟著它的那塊也會倒掉。

請你停下來想象一下全部倒掉的多米諾骨牌，再看看公理5，后面有不少概念的定義和不少命題的證明都要用到這個公理。因此，我們在這里應用這個公理證明一個結論，熟悉一下這種應用。（請注意，下

面的證明中，n的后繼數n+將被n+1代替）

我們要證明的是，對所有的自然數（這里指大于0的自然數），上述結論都成立。

對自然數1而言，上述結論是指：12=，我們把這個叫做第1號命題。

對自然數2而言，上述結論是指：12+22=，我們把這個叫做第2號命題。

……

對自然數k而言，上述結論是指：12+22+32+…，我們把這個叫做第k號命題。

對自然數k+1而言，上述結論是指：12+22+32+…

于是，我們要證明的是：第1號命題成立，第2號命題成立，第3號命題成立……所有的命題都成立。而根據公理5，要證明這些，我們只要做兩件事：

第二件，我們要證明，如果第k號命題成立，那么第k號命題的下一號命題，即第k+1號命題也成立。

第k號命題成立指的是12+22+32+…+k2=。

我們要在此基礎上證明第k+1號命題成立，即證明：

下面就是這個證明過程：

這樣，我們就證明了第1號、第2號、第3號……所有這些編好了號的命題都是成立的，也就是對任意的自然數n，以下命題是成立的：12+22+32+…+n2=。

對熟悉數學歸納法的讀者而言，以上證明無疑寫得冗長而嗦，筆者只是想通過它讓不熟悉數學歸納法的讀者更容易理解。畢竟相對于書寫格式而言，對數學歸納法本質的理解重要得多。

在此，我們將皮亞諾五公理集中寫下來：

公理1.0是自然數。

公理2.若n是自然數，則n的后繼數也是一個自然數，記作n+。

公理3.0不是任何數的后繼數，即對任何自然數n，都有n+≠0。

公理4.不同的自然數必有不同的后繼數。也就是說，若m，n是自然數，且m≠n，則m+≠n+。等價地說，若m+=n+，則必有m=n。

公理5.（數學歸納原理）設P（n）是關于自然數的一個性質，假設P（0）是真的，并假設P（n）是真的，則P（n+）也是真的。那么對每個自然數n，P（n）都是真的。

皮亞諾關于自然數的公理體系中有一個重要的概念——后繼數。在這個概念下，自然數排好了序。于是，皮亞諾公理體系下的自然數更多的是序數意義。在小學數學引入自然數時，與關注其基數意義一樣，也關注其序數意義。如下圖所示，在1的基礎上增加一個是2，2的基礎上增加一個是3……相當于說2是1的后繼數，3是2的后繼數……

有老師問學生：“自然數有多少個？”學生回答：“無數個。”老師習慣性地（但在這里并不恰當）問：“為什么呢？”有學生回答：“隨便哪個自然數的后面總還有自然數，因此自然數數也數不完，有無數個。”這個學生的回答即可以看成是自發地運用了皮亞諾公理。

在皮亞諾公理體系下，我們其實不太在乎第一個自然數叫什么，0或者1都行。所以，0是不是自然數都沒有關系（只需把公理1修改一下即可）。而在自然數的基數意義下，0作為自然數的理由更充分，因為這時我們是將自然數定義為有限集合的基數的，而空集自然應該被當成有限集合，其基數當然也應該是一個自然數，只有0適合作為其基數。