泰勒公式與泰勒級數的比較教學

汪訓洋　張鵬展

【摘要】泰勒公式與泰勒級數是科學與工程計算中的兩大重要數學工具，但對于初學者很難弄清兩者的細微差異從而影響它們在具體問題中的正確應用.本文，我們首先通過分別分析它們的定義指出二者的區別，繼而指出它們在科學計算中的不同作用.最后，我們列舉了二者若干相關應用來結束本文.

【關鍵詞】比較教學法；泰勒公式；泰勒級數；科學計算

引言

比較教學法是教師在教學實踐中傳授的思維過程和方法，主要反映和確定不同教學內容的差異和相似之處.其要素包括“比較”“對比”和“參照”.通常，包括三種類型，即尋求共同點和差異比較，以及相似性比較.比較教學法的運用有助于培養學生獨立思考和自主學習的能力.正確運用該方法可以幫助學生區分概念，提高分析的層次，并最終得出對問題的理解與規律性認識.比較教學方法也應用于物理、醫學、數學等諸多領域的教學.本文將運用比較教學法，探討泰勒公式和泰勒級數的異同點及其作用.

眾所周知，泰勒公式和泰勒級數均為古老的數學命題，它們首次被杰出的英國數學家Brook Taylor所提出并命名.它們在近似計算以及函數性質研究[7，8]等方面發揮著極其重要的作用.我們注意到對二者的應用已經遠遠超出了其初衷，換言之，它們不僅僅作為工具應用于數學領域，它們更加被廣泛地應用于某些應用型學科，譬如力學、分析化學、計算物理等等.因此，它們都被作為大學生在學習專業知識之前的先修內容而出現在“高等數學”中，特別是對主攻科學與工程計算的學生尤為重要.然而遺憾的是，由于大學新生們知識相對匱缺、經驗不足，他們在學習過程中很難辨別二者的細微差異，從而不能方便地應用這兩個重要工具.在學習這些內容時，大學生們面臨如下實際問題：泰勒公式與泰勒級數的區別與聯系是什么？它們在未來的學習中到底有何作用或者應用？

本文結構安排如下.下節，我們詳細討論以上提出的兩個問題，具體地講，我們將通過分析它們各自的定義來明確二者的差異并指出它們的作用與在各方面的應用.最后，我們給出一些相關結論，并希望對學生有所啟發與幫助.

一、泰勒公式與泰勒級數的比較

預備知識

為了方便后續討論，我們首先回顧相關的定義與重要的定理.

定義1假設函數f（x）在點x0處存在直到n階導數，則我們稱多項式

Tn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）2/2！+…+f（n）（x0）（x-x0）n/n！

為函數f（x）在點x0處展開的n階泰勒多項式.

由定義1已知，泰勒多項式Tn（x）具有如下性質：

f（k）（x0）=T（k）0（x0），k=0，1，2，…，n，

該性質揭示了如下事實：在具體工程計算中，常常可用泰勒多項式來代替函數本身進行處理.

定理1假設函數f（x）在點x0處存在直到n階導數，則

f（x）=Tn（x）+o（x-x0）n，（1）

這里Tn（x）就是n階泰勒多項式.

公式（1）通常被稱為泰勒公式，并頻繁地被用于各種數學證明.我們記Rn（x）=f（x）-Tn（x），稱之為泰勒公式的余項.余項Rn（x）有多種形式，譬如o（x-x0）n被稱為Peano-型余項，確切地講，公式（1）應當被稱著帶有Peano-型余項的泰勒公式.另一個常見形式為

f（n+1）（ξ）（x-x0）（n+1）/（n+1）！

被稱為Lagrange-型余項，帶有此余項的泰勒公式形如

f（x）=Tn（x）+f（n+1）（ξ）（x-x0）n+1/（n+1）！，（2）

當我們用Tn（x0）來近似函數值f（x0）時，它經常被用于估計由此引起的誤差.公式（2）也常常被稱為泰勒中值定理.

定義2假設函數f（x）在點x0無窮次可微，則無窮級數

f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）2/2！+…+f（n）（x0）（x-x0）n/n！+…

被稱為函數f（x）在點x0處的泰勒級數.

以下定理由Brook Taylor建立，它指出了泰勒公式與泰勒級數的區別.

定理2假設函數f（x）在x0的某個領域U（x0，r）存在各階導數，則在U（x0，r）內，f（x）=∑∞n=0f（n）（x0）n！（x-x0）n充要條件是limn∞Rn（x）=0，這里，Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1為Lagrange-型余項.

二、泰勒公式與泰勒級數的區別、作用與應用

我們首先來澄清這兩個相似概念中的細微區別.一般而言，計算一個已知函數在某個固定點處的近似值，其精度往往依賴于兩個方面.其一是函數自身的屬性，即當函數在該點只能有限次求導時，函數在該點處不能展為無窮泰勒級數，我們只能利用有限項的泰勒公式來近似計算其函數值.其二是具體要求，如果僅僅需要有限近似，我們往往選擇泰勒公式進行處理，這種情況經常在多個領域的工程計算中會出現.當要求無限近似時，我們就選取泰勒級數，譬如在相關問題的數學證明時.

總而言之，我們有如下結論：泰勒公式常用于不要求足夠精度的近似計算，而泰勒級數是用于研究具有無窮可微性質的函數，特別在函數性質證明方面.

進一步地，我們來討論二者在實際問題與科學研究的共同作用，即它們在近似計算中的應用.近似計算的本質思想是用簡單的多項式函數來代替相對復雜的一般的非線性函數.為了闡述此思想，我們通過一個簡單的例子說明如下.

例估算以下近似計算所引起的誤差：

（1+x）1/2≈1+x/2-x2/8，x∈[0，1].

由公式（2），易得

（1+x）1/2≈1+x/2-x2/8+…+（-1）n-1（2n-3）！！xn/2nn！+（-1）n（2n-1）！！（1+θx）-n-1/2xn+1/2n+1（n+1）！，0<θ<1，

因此，若取n=2，則有

|R2（x）|=3|x3（1+θx）|-5/2/233！≤1/16（1+θ）-5/2≤1/16.

例題表明當x∈[0，1]時，我們用二階多項式1+x/2-x2/8去近似代替非線性函數（1+x）1/2的誤差不超過1/16.

實際上，泰勒公式與泰勒級數在數學中還有以下廣泛的應用，現列舉如下.

（1）它們可用于計算極限問題；

（2）在求解微分方程的解時，我們可以先驗地假設存在無窮級數解，然后代回方程逐次確定各項.即所謂的無窮級數解法；

（3）泰勒公式常常可用于證明不等式問題；

（4）它們可以用來研究函數的極值相關等問題，如凹凸性和拐點等；

（5）它們可以用來證明其他級數的斂散性.

當然，它們還有很多其他方面的應用，不一而足.而且，隨著學科的發展也許還會有一些新的突破性的應用.最近泰勒公式與泰勒級數已經被利用于研究多變量函數的性質，請參閱Reshetnyak的工作.

三、結論

本文旨在幫助大學新生學習與理解泰勒公式與泰勒級數的差異與作用.有鑒于此，我們首先介紹了二者最新的應用以激發大家的學習興趣.然后，我們指出了二者的細微差別，即在近似計算的精度方面，泰勒公式是有限精度而泰勒級數是無限精度.此外，為了啟發大家的學習，我們還列舉出了二者的常見的應用.

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