平面向量題解法的切入點探究

寧衛兵

【摘要】平面向量是高中數學中重要的、基本的概念，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具.在高考中常以兩種形式出現：其一，小題的形式出現時，主要圍繞向量的基本運算和利用向量研究角、模長、平行和垂直等問題，考查向量的基礎知識；其二，解答題形式出現時，向量與三角函數、解析幾何等其他知識的綜合問題，考查運用平面向量解決問題的能力，凸顯平面向量的工具作用.

【關鍵詞】平面向量；解題；探究

平面向量的小題大多涉及知識點少，題目入口寬，思路靈活多變.如何靈活運用已有的平面向量知識，選擇有效的方法，快速準確地解決問題，困擾了不少學生.本文試圖通過對一道平面向量問題的多角度分析，來總結平面向量問題常用的解題切入點予以歸納，為大家提供參考.

題目已知向量a，b，c滿足a+b+c=0，（a-b）⊥c，a⊥b，若|a|=1，則|a|2+|b|2+|c|2的值是.

切入點一：數量積的直接運用

求解模長是平面向量的常見問題，應用數量積是容易入手的方法.對于數量積的應用，學生較易入手，此類解題思路最為常用.這個切入點需要在解題進行中不斷調整，對于數量積的公式變換應用，如何將問題轉化為已知條件的數量積表示是解題成功關鍵.

方法一（數量積的合理變換）

想求解|a|2+|b|2+|c|2可從a+b+c=0變換開始尋找思路.

由a+b+c=0可推出（a+b+c）2=02=0，即

a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0.（*）

只要解得三組數量積就能得出答案.

開始分析已知條件：

由a⊥b可得a·b=0，①

由（a-b）⊥c可得（a-b）·c=0，

即a·c-b·c=0.②

由a+b+c=0可知a·（a+b+c）=a·0=0，

即a2+a·c=0.③

上述三式聯立可得a·c=b·c=-1.

代入（*）中可得|a|2+|b|2+|c|2=4.

方法二（數量積的合理變換）

由a+b+c=0可得c=-（a+b），結合（a-b）⊥c可知（a-b）⊥（a+b），即

（a-b）·（a+b）=a2-b2=0，

于是a2=b2=1.

由a⊥b可得a·b=0，

結合c=-（a+b）可知

c2=（a+b）2=a2+2a·b+b2=a2+b2=2.

于是|a|2+|b|2+|c|2=4.

切入點二：平面向量的坐標運算

平面向量的坐標是平面向量基本定理數量化體現，將平面向量統一標準度量.坐標運算能把學生從復雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達成解題目標.對于條件中包含向量夾角與長度的問題，都可以考慮建立適當的坐標系，應用坐標法來統一向量表示，達到轉化問題，簡單求解的目的.

方法三（平面向量的坐標應用，將向量問題轉化為坐標問題）

由a⊥b可以考慮借助坐標系，把向量問題坐標化.

由|a|=1，不妨設a=（1，0），b=（0，y）（y∈R），

則由a+b+c=0可得c=（-1，-y）.

由（a-b）⊥c可得（1，-y）·（-1，-y）=0，即y2=1，

那么|a|2+|b|2+|c|2=1+y2+1+y2=4.

切入點三：圖形運算與數形結合

向量的圖形法則與數形結合切入點，適用于能將多個向量的計算問題轉化為一個圖形中的某個量計算.此類方法建立在學生熟悉平面幾何中常見圖形：三角形、平行四邊形的相關性質，能夠將圖形中反映的幾何度量問題與向量的圖形運算有效結合起來，達到轉化問題，減少運算，進而達成解題目標.

方法四（向量運算的圖形法則運用，數形結合思想應用）

由a+b+c=0可得c=-（a+b），結合（a-b）⊥c可知（a-b）⊥（a+b），于是將圖1中的矩形可進一步確定為正方形.（如圖2）

至此，題目中所涉及的向量均已在圖中體現，由|a|=1可推得|b|=1，|c|=2.

于是所求|a|2+|b|2+|c|2=1+1+2=4.

單獨考查平面向量的問題多為選擇、填空題，要求學生能達到快速準確解答.這就要求學生整合個人知識方法，根據題目條件靈活選擇數形結合法、坐標轉化法、數量積的應用等方法，完成問題的等價轉化之后進行求解.在日常練習中進行多角度思維訓練，不斷總結知識方法的應用情境，增強分析問題、轉化問題、解決問題的能力.