歸類探究三角函數(shù)中的求最值（或值域）問題

劉洪峰

【摘要】三角函數(shù)最值問題屢屢受到命題者青睞，求函數(shù)的最大值與最小值是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，也是高考中的常見題型，求三角函數(shù)的最值（值域）是近幾年高考的熱點之一.本文對三角函數(shù)的求最值問題進行粗淺研究，望共同探討.

【關鍵詞】三角函數(shù)；歸類；求最值；值域問題

前言

三角函數(shù)的最值問題是中學數(shù)學的一個重要內(nèi)容，也是高考中的常見題型，加強這一內(nèi)容的教學有助于學生進一步掌握三角知識，溝通三角、代數(shù)、幾何之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的思維能力.

三角函數(shù)求最值問題主要有以下幾種類型，掌握這幾種類型后，幾乎所有的三角函數(shù)最值問題都可以解決.本文對三角函數(shù)的求最值問題進行歸類研究，供同學們借鑒.

一、化成y=asinx+b（a≠0）或y=acosx+b（a≠0）型

1.y=asinx+b（a≠0）的最大值和最小值.

（1）當a>0時，若sinx=1，ymax=a+b；若sinx=-1，ymin=b-a.

（2）當a<0時，若sinx=-1，ymax=b-a；若sinx=1，ymin=a+b.

2.y=acosx+b（a≠0）的最大值和最小值.

（1）當a>0時，若cosx=1，ymax=a+b；若cosx=-1，ymin=b-a.

（2）當a<0時，若cosx=-1，ymax=b-a；若cosx=1，ymin=a+b.

例1已知函數(shù)f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.

（Ⅰ）求ω的值.

（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖像，求函數(shù)g（x）在區(qū)間0，π16上的最小值.

分析（Ⅰ）∵f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos2ωx（ω>0），

∴f（x）=sinωxcosωx+1+cos2ωx2

=12sin2ωx+12cos2ωx+12

=22sin（2ωx+π4）+12

由于ω>0，依題意得2π2ω=π，

所以ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=22sin（2x+π4）+12，

所以g（x）=f（2x）=22sin（4x+π4）+12.

當0≤x≤π6時，可得π4≤4x+π4≤π2，

所以22≤sin（4x+π4）≤1.

因此1≤g（x）≤1+22，

故g（x）在區(qū)間0，π16內(nèi)的最小值為1.

變式1已知函數(shù)f（x）=（1+cotx）sin2x-2sinx+π4sinx-π4.

（1）若tanα=2，求f（α）；

（2）若x∈π12，π2，求f（x）的取值范圍.

變式2已知函數(shù)f（x）=sin2x-2sin2x.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值及f（x）取最大值時x的集合.

二、化成y=asin2x+bsinx+c（a≠0）或y=acos2x+bcosx+c（a≠0）型

例2已知函數(shù)f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx.

（Ⅰ）求fπ3的值；

（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值.

分析（Ⅰ）fπ3=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3

=-1+34=-94

（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x-1）+（1-cos2x）-4cosx

=3cos2x-4cosx-1

=3cosx-232-73，x∈R.

因為cosx∈[-1，1]，

所以，當cosx=-1時，f（x）取最大值6；當cosx=23時，f（x）取最小值-73.

點評此題主要是化為某個三角函數(shù)的二次三項式，結(jié)合換元法、配方法.

變式3當0

A.14B.12C.2D.4

變式4函數(shù)f（x）=cosx-12cos2x（x∈R）的最大值等于.

三、化成y=asinx+bcosx或y=sinx+cosx型

方法：形如y=asinx+bcosx的可引進輔助角化成a2+b2sin（x+φ），再利用有界性.

例3設函數(shù)f（x）=cosx+23π+2cos2x2，x∈R，求f（x）的值域.

分析f（x）=cosxcos23π-sinxsin23π+cosx+1

=-12cosx-32sinx+cosx+1

=12cosx-32sinx+1

=sinx+56π+1，

因此f（x）的值域為[0，2].

點評注意熟練掌握

sinx+cosx=2sinx+π4=2cosx-π4

sinx-cosx=2sinx-π4=-2cosx+π4

cosx-sinx=2sinπ4-x=2cosx+π4

變式5已知函數(shù)f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1（x∈R），求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間0，π2上的最大值和最小值.

四、化成y=csinx+dasinx+b或y=ccosx+dacosx+b型

例4求函數(shù)y=3-2sinxsinx-2的最大值和最小值.

分析法一（分離常數(shù)法）

y=3-2sinxsinx-2=-2sinx-3sinx-2=-2（sinx-2）+1sinx-2

=-1sinx-2-2.

由-1≤sinx≤1，得

-3≤sinx-2≤-1，-1≤1sinx-2≤-13，

13≤-1sinx-2≤1，

即-53≤-1sinx-2-2≤-1，

∴ymax=-1，ymin=-53.

法二（逆求法）由y=3-2sinxsinx-2可得sinx=y+22y+3，

∵-1≤sinx≤1，

∴-1≤y+22y+3≤1，解得-53≤y≤-1，

∴ymax=-1，ymin=-53.

點評此題是利用了分離常數(shù)的方法和逆求法求解的.

變式6設a>0，對于函數(shù)f（x）=sinx+asinx（0

A.有最大值無最小值

B.有最小值無最大值

C.有最大值且有最小值

D.既無最大值又無最小值

五、化成y=csinx+dacosx+b型

例5求函數(shù)y=sinx-1cosx-2的最大值和最小值.

分析由已知得ycosx-2y=sinx-1，

∴sinx-ycosx=1-2y，即y2+1sin（x+φ）=1-2y，

∴sin（x+φ）=1-2yy2+1，

∵|sin（x+φ）|≤1，∴1-2yy2+1≤1，

即3y2-4y≤0，解得0≤y≤43，故ymax=43，ymin=0.

點評上述利用正（余）弦函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為以函數(shù)y為主元的不等式，是解決這類問題的最佳方法.雖然本題可以使用萬能公式，也可以利用圓的參數(shù)方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法簡單.

變式7當0

A.2B.23C.4D.43

六、化成y=sinx+cosx+sinx·cosx型

例6求函數(shù)y=sinx-cosx+sinx·cosx的最大值和最小值.

分析設t=sinx-cosx=2sinx-π4，

則-2≤t≤2，

且sinx·cosx=1-t22.

由于y=t+1-t22=-12（t-1）2+1，

故當t=1時，ymax=1；當t=-2時，ymin=-2-12.

點評sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα這三者之間有著相互制約，不可分割的密切聯(lián)系.sinα·cosα是紐帶，三者之間知其一，可求其二.令t=sinx-cosx換元后依題意可靈活使用配方法、重要不等式、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值.應該注意的是求三角函數(shù)的最值方法有多種，像配方法、不等式法等，這里不再贅述，有興趣的同學不妨自己探討一下.

七、化成y=sin（ωx+φ）·cos（ωx-φ）或y=sin（ωx+φ）+sin（ωx-φ）型

例7已知函數(shù)f（x）=sinωx+π6+sinωx-π6-2cos2ωx2，x∈R（其中ω>0），求函數(shù)f（x）的值域.

分析f（x）=sinωx+π6+sinωx-π6-2cos2ωx2

=32sinωx+12cosωx+32sinωx-12cosωx-（ωx+1）

=232sinωx-12cosωx-1

=2sinωx-π6-1

由-1≤sinωx-π6≤1，得

-3≤2sinωx-π6-1≤1，

可知函數(shù)f（x）的值域為[-3，1].

八、化成y=sinx+asinx型

例8求y=sinx+2sinx（0

分析設u=sinx，則y=u+2u（0

∴當u=1時，ymin=1+21=3.

點評若由sinx+2sinx≥2sinx·2sinx=22，可得最小值22是錯誤的.這是因為當?shù)忍柍闪r，sinx=2sinx，即sinx=2>1是不可能的.若把此題改為y=sinx+2sinx（0

變式習題答案：

1.解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx+cos2x

=1-cos2x2+12sin2x+cos2x

=12（sin2x+cos2x）+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2α1+tan2α=-35，

所以f（α）=35.

（2）由（1）得

f（x）=12（sin2x+cos2x）+12

=22sin2x+π4+12，

由x∈π12，π2得2x+π4∈5π12，5π4，

所以sin2x+π4∈-22，1.

從而f（x）=22sin2x+π4+12∈0，1+22.

2.解：（Ⅰ）因為f（x）=sin2x-（1-cos2x）

=2sin（2x+π4）-1，

所以函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當2x+π4=2kπ+π2，

即x=kπ+π8（k∈Z）時，f（x）取最大值2-1.

因此函數(shù)f（x）取最大值時x的集合為

x|x=kπ+π8，k∈Z.

3.D

4.34

5.解：由f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1，得

f（x）=3（2sinxcosx）+（2cos2x-1）

=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6，

所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π.

因為f（x）=2sin2x+π6在區(qū)間0，π6上為增函數(shù)，在區(qū)間π6，π2上為減函數(shù)，又f（0）=1，fπ6=2，fπ2=-1，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間0，π2上的最大值為2，最小值為-1.

6.B

7.C