發展合情推理，培養創新能力

李云康

創新教育是素質教育的核心，它是教育對知識經濟向人才培養提出挑戰的回應，是旨在激發學生創新意識、培養學生創新能力的教育.在當前建設創新型國家、全面推動素質教育的背景下，以培養創新精神，為培養人才奠基的創新教育開辟了素質教育研究的新領域.同時《數學課程標準》（2011版）指出：“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐活動中發展合情推理能力和演繹能力，清晰地表達自己的想法.”那如何發展合情推理能力，繼而培養創新能力呢？

一、培養和提升與合情推理相關的能力

1959年，波利亞以“數學作為學習合情推理的學科”為題，在美國《數學教師》（The Mathematics Teacher）雜志上發表論文，提出“合情推理”概念，認為在數學研究與數學教學中合情推理占有很重要的地位.隨后在《數學與合情推理》第二卷中，進一步闡述了合情推理及其模式.波利亞的合情推理是指借助于歸納、模擬、限定、推廣、猜測、檢驗等思維活動來認識事物、發現真理的推理形式.其英文詞是“plausible reasoning”，直譯為“似乎可靠的推理”.那么發展合情推理需要哪些具體的能力呢？

（一）發現問題，提出問題的能力

愛因斯坦說過，“提出問題比解決問題更重要”，它“標志著科學的進步”.培養發現問題、提出問題的能力，能激發學生的學習熱情，讓學生在歸納、猜測、探索中不斷地創新.

而豐富的、堅實的基礎知識，深刻的論證思維又決定了發現問題、提出問題的敏銳性和深刻性；好奇心，懷疑心，興趣廣泛與好學上進，追求對問題的透徹理解，是觀察時發現問題，提出問題的動力.因此在平時的教學中，要奠定扎實的知識基礎，注意不斷激發學生的好奇心與學數學的興趣.

（二）觀察能力

1.什么是觀察？

觀察是人們獲取信息，發現問題和解決問題的前提，數學家歐拉曾這樣評價過觀察方法的地位，“今天人們所知道的數的性質，幾乎都是由觀察發現的”.觀察是獲得科學事實和經驗知識的重要方法，在平時教學中，要注意培養在觀察事物時從各個不同的側面考慮問題、周密全面地獲得充分的材料，并能用精確的語言和數學符號準確表達觀察結果的能力.

2.解題中的觀察方法有哪些？

觀察在解題中具有重要的作用，反之，解題訓練也是培養觀察能力的重要手段.

（1）觀察條件（或式子）和所求問題的特征.

簡單地說，就是建立起聯系已知與未知間的橋梁，從而由已知通向未知.如：

例1①運用多項式的乘法計算（x+y）（x2-xy+y2）=，（x-y）（x2+xy+y2）=.

②運用①中的等式把下列各式分解因式a3+b3=（）（），a3+（2b）3=（）（），x3-8y3=（）（）.

分析觀察①中的計算結果x3+y3，x3-y3與原兩個因式的關系，特別注意符號特征，再觀察②中的題目特征與①中的整個等式相比較，分別確定與①中相應的x與y.

（2）觀察數式相應的圖像，用數形結合思想解題.

例2下列各三角形圖案是由若干個五角星組成的，每條邊（包括兩個頂點）有n（n>1）五角星，每個圖案中五角星的總數為s.按此規律推斷：s與n的關系.

分析方法一：由于每條邊上的五角星數包括了兩個頂點，若每邊按n個計算，則發現重算了三角形三個頂點上的三個，所以歸納得出：s=3n-3.

方法二：由圖觀察可知，每個圖案上的五角星總數，隨著各邊上五角星的增多而增多，并發現前面一個圖案中五角星總數總比其后面一個圖案中五角星總數少3，因此可猜想：s=kn+b，根據圖1、圖2中的條件就能求出k，b的值，再驗證是否滿足圖3的條件.

解設s=kn+b，把n=2，s=3；n=3，s=6分別代入上式，得

2k+b=33k+b=6，解得b=-3k=3，∴s=3n-3.

經檢驗：n=4，s=9也滿足s=3n-3，所求s與n的關系為s=3n-3.

（3）觀察隱含條件.

題目中的隱含條件，往往是解題是否正確的關鍵，我們要引導學生善于觀察、發現、利用題目中的隱含條件.如：

例3①計算下列各組算式并觀察它們的共同特點.

7×9=11×13=79×81=

8×8=12×12=80×80=

②從以上的算式中，你發現了什么？請用字母表示這一規律，并說明它的正確性.

分析在這類題中除了要觀察算式的特征，還要注意在①的計算結果中其實隱含了一個條件，即下面一行算式的結果比上一行的要大1，觀察到這一隱含條件就不難得出規律.

（三）歸納能力

1.什么是歸納？

歸納是從多個個別事例中推演出同一類事物的一般性結論的思想方法，其基礎是觀察與實踐，它的一般模式是：x1具有性質p，x2具有性質p，x3具有性質p，…，xn具有性質p.{x1，x2，x3，…，xn}是集合A的真子集，推測集合A的任一元素具有性質p.

歸納是人們尋找真理和發現真理的重要手段.但歸納與演繹推理是不同的，一方面因為在任何事實中包括某一種一般性，這使歸納結果具有某種可靠性；另一方面又因為任何個別都不能完全代替一般，因而歸納的結果也可能是錯誤的.歸納法可分為完全歸納法和不完全歸納法，因此，在利用歸納法的時候，要注意檢驗結果的正確性.在我們初中數學解題中，用的一般是不完全歸納法.

不完全歸納法是通過對一類事物的部分對象的考察，從中做出有關這一類事物的一般性結論的猜想方法.其過程可歸納為：觀察、實踐→推廣→猜測一般結論.

2.歸納的兩個作用是什么？

（1）用歸納法發現問題的結論.

在解題中一般由個別的情況直接歸納、猜測結論，并對結論進行必要的證明.

例4計算：①11-2=3；②1111-22=33；

③111111-222=333；④11111111-2222=3333.

請根據上述規律寫出下式的結果：

11111…112n個1-2222…22n個2=….

分析從①至②式的左邊可以看出：被開方數中被減數1的個數是減數2的二倍，其結果中3的個數是減數2的個數.

解11111…112n個1-2222…22n個2=33…3n個3.

說明解此類題目關鍵是正確觀察分析、歸納出題中的結果數字與算式中數字之間的特殊關系，再從特殊推廣到一般.

（2）用歸納法發現解決問題的途徑.

我們往往從幾個個別問題的處理方法中歸納出一般問題的處理方法，即發現解決一般問題的途徑.如：

例5一個面積為S的等邊三角形，先將其三個邊n（n為大于2的整數）等分，并以相鄰等分點為頂點向外作小等邊三角形（如圖4所示）.

（1）當n=5時，共向外作了個小等邊三角形，每個小等邊三角形的面積為.

（2）當n=k時，共向外作了個小等邊三角形，這些小等邊三角形的面積和為（用含k的式子表示）.

分析從當n=3，n=4，n=5的這幾種特殊情況中，發現每條邊向外作了n-2個小三角形，那當n=k時，也是同樣的思考方法，于是得出當n=k時，有3（k-2）個.同樣，每個小三角形的面積根據相似三角形的面積比與邊長比的關系可得出n=5時，為125S，由同樣的解題方法，可得出n=k時的所有小三角形的面積和為3（k-2）k2S.

解這類題只要找出特殊情況下的解題方法，整道題就迎刃而解了.

（四）猜測（或猜想）能力

數學猜測是指依據已知事實和數學知識，對研究的對象和數學問題進行實驗、觀察、歸納、類比、聯想后，對未知的量和關系做出的一種預測性的判斷，這是一種創造性的思維，當然猜測要讓學生做到猜之有理，猜之有據，不要主觀臆造，胡亂猜.

波利亞說：“數學也許往往像是猜想游戲，在你證明一個數學定理之前，你必須猜想到這個定理，在你搞清楚證明細節之前，你必須先猜想證明的主導思想.”這句話說明了猜想的兩個重要作用：發現數學真理和解決數學問題的有效途徑.在解題中，就要引導學生根據已知條件，在觀察、歸納的基礎上，大膽猜測尋求題目的結論，或猜測探索解題的方向與方法等等.

二、合情推理的應用與教學

當然，在教學中，觀察、歸納、猜測的思想并不是截然分開的，相反，它們在解題中，是在觀察的基礎上歸納、猜測，而后又繼續觀察，甚至再歸納、猜測，這是一個交互與并用的過程.波利亞說過：“通過觀察和比較數學中合情推理的例子，就有可能獲得關于歸納推理的一些知識.”因此，在教學中我們可以這樣做：

（一）在新課教學的定義教學中，提升觀察、歸納、猜測的思想與能力

在教材中，許多定義的得出都為我們安排了觀察、歸納的內容：

如一元一次不等式的教學：觀察下列不等式：①x<4；②3

這時我們可以留一些時間讓學生觀察、比較、分析、歸納它們的共同特點，從而自己發現一元一次不等式的概念，這也是讓學生經歷知識的發生過程，由學生自己發現新知識，主動地建構知識，從中獲得創造的喜悅.類似的定義教學即使教材中沒有安排觀察、歸納的內容，我們也可以創造性地使用教材，創設讓學生觀察、歸納、猜測的環節，讓學生不斷提升這方面的能力，大膽地進行創新.

（二）在新課教學的定理、法則教學中，培養觀察、歸納、猜測的能力

如，“整式乘法和因式分解”中的同底數冪的乘法法則、除法法則，積的乘方法則，冪的乘方法則等，都是先從幾個個別的例子出發，這時就可讓學生充分觀察這幾個個別例子的計算結果，你發現了什么？你能歸納出什么結論？你還能做什么猜測嗎？

若學生在學習中習慣了運用這一思想方法，就能很自然地運用于平時生活與解題中，從而達到自覺創新的目的.

（三）在解題中培養觀察、歸納、猜測的能力

解題是思想方法運用的舞臺，掌握思想方法能讓我們更迅速，敏捷地解題，相反，在解題中能不斷地提高觀察、歸納、猜測的能力，在解題中可以觀察、歸納、猜測題目的結論，或是解題的方向與方法等等.

例如圖5，△ABC中，A1，A2，A3，…，An是邊AC上不同的n個點，首先連接BA1，圖中有3個不同的三角形，再連接BA2圖中共有6個不同的三角形.

①連接到An時，請用n的代數式表示圖中共有三角形的個數.

②若出現45個三角形，則共需連接多少個點？

分析我們需通過觀察個別情況，歸納出解題途徑與方法，由圖可知，當AC上有1個點A1時，連接點B，所得三角形的個數為（2+1）個；當AC上有2個點A1，A2時，分別連接點B，所得三角形的個數為（3+2+1）個；當AC上有3個點A1，A2，A3時，分別連接點B，所得三角形的個數為（4+3+2+1）個；……由此可以歸納、猜測出：當AC上有n個點A1，A2，A3，…，An時，分別連接點B，所得三角形的個數為[（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1]個.

解①當連接到An時，所得三角形總個數為：

（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+4+3+2+1

=[（n+1）+1]+（n+2）+（n-1+3）+…

=[（n+2）+（n+2）+…+（n+2）]n+12個（n+2）

=（n+1）（n+2）2

②由題意，得（n+1）（n+2）2=45.

原方程化為：n2+3n-88=0，

即（n+11）（n-8）=0，

∴n=8或n=-11（負值不合題意，舍去）.

答：當出現45個三角形時，共連接8個點.

解決此類題，關鍵是從個別情況中，歸納出一般情況下的解題方法與結論.

又如，（太原中考題）如圖6，將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C，D重合），壓平后得到折痕MN，當CECD=12時，求AMBN的值.

類比歸納，在圖中，若CECD=13，則AMBN的值等于.若CECD=14，則AMBN的值等于.若CECD=1n（n為整數），則AMBN的值等于（用含n的式子表示）.

解決此題，在圖中，可連接BM，EM，設AM=y，可得y2+22=BM2=（2-y）2+12，所以y=14，而在三角形ENC中，設BN=x，則（2-x）2+1=x2，可得x=54，所以AMBN=15.同理，在CECD=13，CECD=14時，可觀察發現也能用這一方法很快得出答案為25，917.但這時思考，它們的答案是否有什么規律呢？還是沒有規律，又都重新用勾股定理再算一次呢？猜想，后一種情況是不太可能的，那就肯定能歸納出一種規律.于是引導學生觀察、歸納這三個答案的規律：15，25，917，這三個分數分別與對應的12，13，14相聯系觀察、歸納，可發現第一與第三個，與對應的分數有共同的特點，分母是已知比值分母的平方加1，那第二個答案是否也符合這一規律呢？從而想到把25轉化為410，分母確實也符合這一規律，再觀察分子，分別是對應分數的分子減1的差的平方.由此歸納得出，最后一小題的答案為（n-1）2n2+1.此題的解決充分顯示了觀察、歸納、猜測在探索解題思路、解題結論中的作用.

總之，數學教學中對學生進行合情推理能力的培養，對于我們教師，能提高教學效率，增加課堂教學的趣味性，優化教學條件，提升教學水平和業務水平.對于學生，它不但能使學生學到知識，會解決問題而且能使學生在掌握在新問題出現時該如何應對的思想方法.