彎曲內力圖教學方法探討

范志毅 / 上海工程技術大學機械工程學院

彎曲內力圖教學方法探討

范志毅 / 上海工程技術大學機械工程學院

材料力學中彎曲內力是重要的內容。通過繪制彎曲內力圖可以確定梁的危險截面，是對彎曲梁進行強度校核的關鍵。學生在求解彎曲內力時，常常會遇到不少問題。簡易法繪制彎曲內力圖簡單且容易操作，需要有一些方法和技巧，如何在教學中教會學生靈活應用，提出了一些想法進行探討。

彎曲內力；剪力；彎矩

一、引言

材料力學中求桿件內力，是最基本的內容。內力的求解主要包含三種：軸向拉壓桿軸力、扭轉軸的扭矩、彎曲梁的剪力和彎矩。其中梁的剪力和彎矩的求解較復雜些。繪制剪力圖和彎矩圖有兩個方法，第一是根據剪力方程和彎矩方程來繪制剪力圖和彎矩圖；第二是只需求出關鍵截面的內力，根據總結的規律繪制內力圖，也稱為簡易法。由于簡易法繪制內力圖簡單，基本上在教學過程中會用較多的課時教授簡易法。熟練掌握簡易法，就能快速簡便地繪制內力圖，但教學的過程中不少學生還是不能很好地掌握。通過教學中不斷總結經驗，對簡易法的教學提出了一些想法。

二、如何在教學中引入簡易法

做截面列剪力方程和彎矩方程繪制內力圖雖然比較繁瑣，卻是引入簡易法的基礎。在教學過程中要首先要詳細講解該方法。在該方法的基礎上引入簡易法，很自然，也容易接受。

講解根據內力方程繪制內力圖時，首先要強調步驟，使學生有明確的繪制內力圖思路。該方法首先要對梁進行分段，這一步驟和簡易法一致。分段點是：桿的端點、集中力作用點、分布力的起點和終點。在講解的過程中，由于反復使用，學生的腦中會有比較深的印象；分段后，在每一段內任做一截面，將桿件一分為二，任取一局部，假設截面上的內力，根據局部的受力圖列平衡方程求解內力方程；最后根據內力方程，繪制內力圖。

為了總結不同載荷作用下內力圖的形狀及特點，在講解根據內力方程繪制內力圖時，要選擇合適的例題。例題最好不要太復雜，就采用單跨的梁，如：簡支梁、懸臂梁。載荷也比較簡單，比如只有均勻分布載荷，繪制內力圖（如圖1）。通過該例題繪制梁AB梁的內力圖，可以知道均勻分布載荷作用的一段，剪力圖是斜直線，彎矩圖是拋物線。除了強調拋物線開口向下，還要明確繪制拋物線的幾個點。如果拋物線有極值點，繪制拋物線就需要三個點。這一段的兩個端點和極值點的彎矩值，繪制成彎矩圖，極值點為最高或最低點。如圖1中的彎矩圖，繪制AB段的彎矩圖需要端點A、端點B和極值點C點的彎矩值連接而成。

再如，簡支梁在載荷為集中力偶（圖2）作用下的內力圖。剪力圖為直線，彎矩圖為斜直線，且彎矩圖在集中力偶作用點發生突變。可以在C截面的左右兩側各做一截面，取局部求截面的彎矩。C截面兩側彎矩的突變值為力偶矩的大小。

通過類似的一些簡單的例題，可以把各種載荷作用下，內力圖的形狀和特點展示給學生，讓學生對例題進行比較和總結。加深學生對簡易法來源的理解。對于常見的載荷、剪力圖和彎矩圖之間的相互關系，可得出如下一些規律：

（三）還可從剪力圖確定彎矩圖中極值點的位置：當)(xq不為零時，如果梁在某截面上的剪力為零，則彎矩圖在相應點出的切線平行于x軸，該截面上的彎矩必為極值。

（四）在集中力P作用處，剪力圖發生突變，突變幅度為集中力的大小。彎矩圖在該處為尖點。 在集中力偶m作用處，彎矩圖發生突變，突變值等于力偶矩m。剪力圖在該點沒有變化。

利用上述規律，可以校核剪力圖和彎矩圖的正確性。

三、應用簡易法的要點

簡易法應用時，常常會碰到多種載荷作用下求梁的內力圖，如圖3是一個非常典型的彎曲內力圖繪制題目，其上載荷包含了常見的三種載荷，集中力、集中力偶和均勻分布載荷。求解時有幾個要點：

（一）要把內力圖和梁的受力圖上下對齊（如圖3），這樣每一段的載荷和內力圖形狀很清晰，在繪制的過程中不容易出錯。

（二）注意每一段分布載荷的集度)(xq，剪力)(xFs，彎矩的微分關系。在內力圖中，就體現在內力圖線形。如圖3中，CA段0)(=xq，那么剪力方程應該是常數，為水平直線，那么彎矩方程更高一階，是一次函數，為斜直線。按照受力圖放在最上方，剪力圖第二，彎矩圖第三，它們的線形也是滿足下面的內力圖線形要比上方圖形的高一階。解題時可以關注，來驗證內力圖是否正確。

（三）注意內力圖發生突變的截面，如集中力作用截面、集中力偶作用截面。如圖3中的A截面和C截面。

如果熟練掌握簡易法，那繪制梁的彎曲內力圖就不需要太多繁瑣的計算過程，繪制時比較容易，也不易出錯。

四、結論

簡易法需要在理解的基礎上，通過一些練習才能熟練掌握。在講解該方法時，要讓學生在課堂上做一些練習，做完練習及時地講解，可以加深印象。可以讓學生做一些找出內力圖錯誤的習題，或根據內力圖畫受力圖的習題，不僅可以提升課堂的趣味性，而且可以突出重點，如內力圖會在什么情況下突變等。

[1]劉鴻文．材料力學[M]．北京：高等教育出版社，2011．

[2]單輝祖．材料力學教程[M]．北京：高等教育出版社，2004．

范志毅（1978-），女，福建人，固體力學，講師。