優化離散灰色冪模型及其應用

楊保華, 趙金帥

(1.江蘇師范大學商學院，江蘇 徐州 221116；2.江蘇師范大學計算機學院，江蘇 徐州 221116)

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優化離散灰色冪模型及其應用

楊保華1, 趙金帥2

(1.江蘇師范大學商學院，江蘇 徐州 221116；2.江蘇師范大學計算機學院，江蘇 徐州 221116)

考慮已有的灰色預測模型主要能對指數型發展系統或冪函數型發展系統進行模擬預測，本文構建了一種不僅能夠模擬指數型和冪函數型的發展系統，并且能夠體現出二者之間的相互作用關系的離散灰色冪模型；并針對初始條件對離散灰色冪模型模擬精度的影響，首先給出了離散灰色冪模型的建模步驟，然后以平均相對誤差最小化為目標、參數之間的關系為約束條件，構建了離散灰色冪模型初始條件的優化模型，實現對離散灰色冪模型初始條件的優化。結果表明，優化的離散灰色冪模型使得平均相對誤差在理論上達到了最小化，其模擬精度和預測精度都高于傳統模型。最后，通過中國網絡購物人數數據預測和仿真數據分析，說明了本文優化方法的有效性和適用性。

灰色系統; 離散灰色冪模型; 參數優化; 網絡購物

1 引言

灰色預測模型[1-2]通過累加生成弱化序列的隨機性，尋找系統變化規律并以此為基礎建立的預測模型，一般具有較高的模擬精度和預測精度，為小樣本信息下行為序列的預測建模提供了有效工具。作為灰色預測模型體系中的核心部分，GM(1,1)模型群[3]已被廣泛應用于能源、教育、經濟、管理等方面，同時眾多學者在GM(1,1)模型群的特性研究、背景值改進、時間響應式優化、擴展研究等方面開展了系統深入的工作[4-6]，極大地推動了GM(1,1)模型群的發展。

由于灰色GM(1,1)預測模型存在著由離散形式的方程到連續形式的方程轉變所造成的誤差，謝乃明[7]提出了離散灰色預測模型避免了從差分方程到微分方程的跳躍。而GM(1,1)冪模型作為傳統GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型的擴展，模型中冪指數可以根據建模的實際背景進行靈活調整，以適用于不同的原始序列建模，較好地反映數據的非線性特征[8]。為提高GM(1,1)冪模型的建模精度, 研究人員分別從GM(1,1)冪模型背景值插值系數的優化[9]、無偏性[10]以及病態型[11]等角度進行了研究。此外,為提高冪模型對震蕩型數據的適應性,學者們又構建了基于傅立葉級數的小樣本振蕩序列灰色預測模型[12],這些模型的建立提高了GM(1,1)冪模型的預測精度,并且在實踐中得到了廣泛的應用[3-15]。在經典GM(1,1)模型和離散GM(1,1)模型的求解過程中，以第一個數據為白化微分方程的初始條件，然而，Liu Sifeng等[2]和王正新等[9]都從理論上證明了第一個數據與模型的發展系數和預測值無關，研究人員給出了一些初始條件選取的改進方法[6-17]。

事實上，時間序列預測在工業生產過程控制、經濟數據分析、氣象學等領域中也有著重要的應用。目前也有許多較成熟的方法，如統計回歸[18]、神經網絡[19]、小波變換[20]、支持向量機[21]和經驗模態分解[22]等，但這些預測方法不僅需要復雜的數學計算，而且依賴于大量的經驗數據。因此，這些方法不適用于短期的小樣本數據預測。而對于具有相對較多的數據的時間序列預測問題，研究人員也將上述的神經網絡、小波變換、支持向量機等方法引入到灰色預測模型，來提高灰色預測模型的預測精度和適應能力[23]。

無論從什么角度對灰色預測模型進行優化分析，都無法避免灰色GM(1,1)模型僅能較好模擬指數型變化序列和GM(1,1)冪模型僅能較好描述冪函數型變化序列的不足。事實上，現實系統的演化趨勢受到多種因素的綜合作用，其變化趨勢不僅表現為指數型的增長[24]或冪函數型的飽和性增長[8]，常常還會受到兩種增長趨勢的綜合性的非線性作用，從而使得系統的時間序列表現出更復雜的變化態勢。

基于此，本文借鑒離散灰色模型的思想，給出一種能夠描述系統變化趨勢表現出復雜的變化規律的離散灰色冪模型，該模型不僅能夠描述時間序列的指數型變化和冪函數型的變化規律，并能綜合考慮他們之間非線性作用；考慮到初始條件的選取對模型模擬精度的影響，構建初始值優化的離散灰色冪模型，應用實例和仿真分析表明新模型可以顯著地改善預測模型的建模精度并具有良好的適應性。

2 離散灰色冪模型及其特性

定義1 設x(0)(k)，x(1)(k)如上所述，稱灰方程：

x(1)(k+1)=β0+β1kγ+β2x(1)(k)

(1)

為離散灰色冪模型，其中γ稱為冪指數。

(2)

其中，

(3)

(4)

性質1當γ=0時，離散灰色冪模型適用于具有近似指數x(t)≈ceat規律的序列建模。

性質2當γ=1時，離散灰色冪模型適用于具有近似非齊次指數x(t)≈ceat+b規律的序列建模。

此外，從定理2和定理3關于離散灰色冪模型的時間響應式可以看出，該模型的模擬和預測結果依賴于參數β0、β1和β2和初始值x(1)(1)、x(1)(n)，選擇不同的初始值將會直接影響到最終的模擬預測結果。下節將研究給定冪指數γ的情況下，離散灰色冪模型初始條件的優化問題。

3 離散灰色冪模型的初始條件優化

3.1 已知參數β0、β1和β2的情形下離散灰色冪模型初始條件的優化

(5)

證明：由離散灰色冪模型DGPM-x(1)(1)的時間響應式可得：

(1)當β2≠1時，

可得：

(2)當β2=1時，

可得：

(6)

證明：由離散灰色冪模型DGPM-x(1)(n)的時間響應式可得：

(1)當β2≠1時，

可得：

(2)當β2=1時，

即：

3.2 未知參數β0、β1和β2的情形下灰色離散冪模型初始條件的優化

以上是假定模型的參數β0、β1和β2已經確定的情形下得到的初始條件的最優解析解。事實上，初始條件和β0、β1和β2之間有著緊密的聯系，一旦利用最優的初始條件c1和cn替代原始條件x(1)(1)和x(1)(n)，參數β0、β1和β2也會相應地變化。因此，有必要考慮參數β0、β1和β2未知的情形下，初始條件優化的問題。

由定理1可知：

令(BTB)i為用BTY替換BTB中第i列所獲得的矩陣，其中i=1,2,3。則有:

(1)對于DGPM-x(1)(1)模型，在上述β0、β1和β2的代數表達式中，令x(1)(1)=c1。并以平均相對模擬誤差(ARPE)最小化為目標，以參數之間的關系為約束條件，構建如下優化模型：

(7)

(2)對于DGPM-x(1)(n)模型，在上述β0、β1和β2的代數表達式中，令x(1)(n)=cn。并以平均相對模擬誤差最小化為目標，以參數之間的關系為約束條件，構建如下優化模型：

(8)

利用運籌學軟件LINGO(或MATLAB、EXCEL等)可以很方便的求解以上模型，得到參數c1、cn、β0、β1和β2的優化值。

4 應用實例與仿真分析

中國電子商務市場隨著社會信息化發展而迅速崛起，網上購物作為一種新興的消費模式應運而生。2012年，中國網絡購物用戶規模已達到2.42億人，網購用戶比例提升至42.9%，交易規模達人民幣12,594億元，占據中國社會零售總額的6%。并自2003年起至2011年期間保持了100%的年復合增長，這一擴張速度已超過世界任何一個國家。對比中國網民總量、寬帶網絡覆蓋率、智能手機覆蓋率、中國人均可支配收入的增長前景，可以發現網絡購物市場的發展遠未飽和。據麥肯錫全球研究院的估計，2020年中國網購規模預估將達到25000-40000億元，保守估計其規模將是2011年的3.5倍。

事實上，網絡購物人數規模的增長不僅會隨電子商務的快速發展而體現出指數型的增長趨勢，而且其自身規模也具有一定的飽和性(即“S”型增長)，并且二者之間也具有一定的交互作用；即網絡購物人數演化不僅會體現出指數性的快速增長,也會體現出系統發展極限的冪函數性，也受到他們之間相互作用的影響。因此應用本文給出的離散灰色冪模型可以較好地描述這種系統內在演化規律，進而可以為系統發展的短期預測提供可選擇的工具。

以中國2006-2012年的網絡購物人數數據(如表1所示，數據來源于中國互聯網絡信息中心(CNNIC)統計數據)為例, 說明優化離散灰色冪模型的優越性。應用2006-2012年的7個數據, 取γ=1.7774，按照本文提出的優化方法可得， c1=3432.789，β0=4133.995，β1=2023.626和β2=0.53096。離散灰色冪模型為：

(9)

根據時間響應式(9)可對2013-2014年的網絡購物人數進行預測, 應用GM(1,1)模型、離散GM(1,1)模型和初值優化離散灰色冪模型的模擬與預測結果如表1所示。

其中，2006—2012年為模擬值，2013-2014年為預測值。

表1顯示, 傳統優化灰色離散冪模型對2006-2012年我國網絡購物人數的平均模擬相對誤差為2.19%,按照灰色模型的檢驗標準[2]，該模型通過α=0.05的殘差檢驗，可用于短期預測。應用式(9)可以獲得2013年和2014年的網絡購物人數為28174.88和32183.67。

從表1可以看出，應用本文提出的初值優化離散灰色冪模型的模擬高于傳統GM(1,1)模型和離散GM(1,1)模型。此外，據CNNIC發布的2013年第32次中國互聯網發展狀況統計報告，2013年6月底，我國網絡購物網民規模達到2.71億人，與2012年12月底相比，2013年上半年增長率為11.9%。按此增長速度預計，2013年底網絡購物人數將達到3億人。按此數據推斷，初值優化離散灰色冪模型的預測誤差為6%，而GM(1,1)模型和離散GM(1,1)模型的預測誤差分別為28%和14%，因此，優化初始條件的離散灰色冪模型在模擬和預測方面都比GM(1,1)模型和離散GM(1,1)模型更具有優勢。

為進一步討論分析本文構建模型的實用性及其作用效果，下面通過數據仿真來進一步的說明本文所構建模型的適用性。

仿真數據主要考慮6種情形的系統發展態勢：低速增長型、中速增長型、高速增長型、先增后減型、遞減型和先減后增型。其中低速增長型、中速增長型和高速增長型用來模擬系統在不同上升階段情形；先增后減型和遞減型用來模擬系統飽和后逐步衰減的階段；而先減后增型則用來描述增長型系統受到沖擊擾動后的恢復發展情形。

仿真數據的生成：以2.1356為初值，上述6種情形的γ值分別取為1.01324、1.3354、0.9455、0.6354、-1.2354和-0.1335；若生成的仿真數據不滿足上述給定的情形，則重新產生直至生成數據滿足要求，具體生成的仿真數據見表2。

以每組前5個數據作為建立模型的基礎數據，第6個數據作為預測對比數據，應用本文給出的初值優化方法，建立每類數據的優化預測模型，所得的模擬數據與預測數據見表2。從表2的模擬結果的平均模擬誤差與預測結果的誤差來看，本文給出的優化初始條件的離散灰色冪模型對6種典型的數據序列具有較好的模擬與預測效果，這也表明本文給出的小樣本數據預測模型能夠適應多種類型的數據序列，即具有較廣的應用領域。

5 結語

人類面對的大量實際系統都具有信息不完全的特點，正是現實世界中普遍存在的小樣本、貧信息不確定性系統為灰色系統理論提供了十分豐富的研究資源[24]。 本文借鑒已有的灰色預測模型研究的優勢，提出并構建了離散灰色冪模型，新模型不僅能夠模擬指數型增長序列和冪函數型增長序列，并能夠綜合考慮它們之間的相互作用的影響。在上述分析基礎上，建立了給定冪指數γ的情況下，考慮了參數β0、β1和β2已知和未知兩種情形下離散灰色冪模型初始條件的優化問題。應用實例和仿真結果表明，優化初始條件可以有效地改善離散灰色冪模型的建模精度。但考慮到離散灰色冪模型冪指數γ取值的多樣性和靈活性的特點，如何根據實際問題的數據特點，建立合理的優化模型求解離散灰色冪模型的冪指數將是一個研究的重點。此外，以往的研究證明了第一個數據與模型的發展系數和預測值無關，這顯然與灰色系統的最少信息原理相違背[2]，因此，研究建立能夠體現灰色系統最小信息原理的新型預測模型也將是一個重要的研究方向。

表1 GM(1,1)模型、離散GM(1,1)模型和優化離散灰色冪模型的建模結果

表2 基于優化初始條件的離散灰色冪模型6種數據情形的模擬預測對比分析表

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Optimized Discrete Grey Power Model and Its Application

YANG Bao-hua1, ZHAO Jin-shuai2

(1. Business school ,Jiangsu Normal University, Xuzhou 221116,China；2. Computer college,Jiangsu Normal University, Xuzhou 221116,China)

A large number of practical systems have the characteristics of incomplete information, it is prevalent in the real world of the small sample, and the uncertainty of poor information system provides a very rich resource for the study of gray system theory. Grey prediction model has provided a useful tool for the small sample data predict. But, the existing research suggests that grey forecasting model can better simulate exponential function changes system and power function system, but the existing prediction model cannot better reflecting the exponential and power function combined effects to the system, so it is difficult to apply these model to predict the small sample data which effect by complex multifactorial impact. Based on this consideration, a new grey forecasting model-discrete grey power model is proposed.The new model add one time power function in the existing discrete grey model, and it also allows the power parameters by endue any value. So, the time-responsive features of this model can reflect the exponential and power function changes system, and includes the interaction characteristics of power function and exponential changes in the system. Based on the new model, taking into account the effect of the initial condition in the discrete grey power model, two optimization models are constructed with the objective of minimum average relative error, the constraints of relationships between parameters in order to optimize the initial condition. The example of online shopper from 2006 to 2012 in China is used to compare the simulation and prediction results of GM (1,1) model, discrete GM (1,1) model and the new method, the results show that the optimized model has better simulation and prediction accuracy than other two grey models. Additionally, in order to test adaptive of the new model, under the conditions of a given power exponent, six kinds of situations data Low-growth data、Medium-growth data、Rapid-growth data、Volatility data、Disturbance-growth data and Attenuation data are genercated by using randomly generated method, and the new model is used to simulate and predict the rand data, the results also show that the new model has better stability, which is further illustrated the validity and applicability of the new model. Therefore, the new prediction model constructed in this paper not only enriches the theory of grey forecast model system, but also provides a more rich set of tools for the prediction of small sample system under the combined effects of multiple factors.

grey system; discrete grey power model; parameters optimization; online shopper

1003-207(2016)02-0162-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.02.020

2014-03-11；

2015-05-20

國家自然科學基金資助項目(71301064)；教育部人文社科基金項目(12YJC630262)

簡介：楊保華(1979-)，男(漢族)，河南周口人，江蘇師范大學商學院副教授，研究方向：灰色系統、應急管理、物流工程，E-mail:mathyang@126.com.

N941.5

A