基于教材旁白的功能與價值構建數學“慢”課堂*
——以“三角形的高線、中線與角平分線”的教學實錄為例

☉重慶市復旦中學 丁慶彬

☉重慶市二十九中學 鄭 莎

基于教材旁白的功能與價值構建數學“慢”課堂*
——以“三角形的高線、中線與角平分線”的教學實錄為例

☉重慶市復旦中學 丁慶彬

☉重慶市二十九中學 鄭 莎

一、問題背景

慢教育就是提倡日常生活式教育，是潤物細無聲的教育.慢教育是慢活、細活，是生命潛移默化的過程.數學慢教育，就是慢教育理論在數學學科中的滲透和應用，往往也叫“慢數學”.中學數學課堂本應是一種從容、舒緩、優雅的課堂，整個過程充滿著等待、鋪墊和蓄勢，教學設計由單向灌輸走向雙向回流.教師適度的等待和學生慢慢的體驗和感悟，是教育的本真，需要的是教育者的勇氣，生成的是受教育者的智慧.然而，受應試教育的束縛和信息技術的“快、多、省”的影響，許多數學課堂基本上都是“快馬加鞭”、“高歌猛進”，這是違背數學學科學習規律的，學生除了疲于接受和模仿沒有任何數學體驗和思想感悟.筆者有幸參與一項市級重點課題，對人教版初（高）中數學教材旁白的功能和價值進行系統深入研究.在將研究成果運用到實際課堂教學過程中，筆者發現教材中的旁白對實現“慢數學”具有舉足輕重的作用，下面就以“三角形的高線、中線與角平分線”的教學實錄為例，與廣大同仁分享如何運用教材中旁白的功能和價值構建數學“慢”課堂.

二、案例說明

（一）研讀教材旁白，確定教學思路

本節課，教材中共有三處“云朵”旁白，均以問題的形式出現.從內容上看，主要是引導學生動手操作或觀察探究等；從出現的位置來看，三處旁白依次出現在高線、中線和角平分線的旁邊.鑒于這兩個特征，筆者進行了深入思考，旁白的內容給了筆者很好的提示，一定要以“問題驅動”設計教學，旁白的位置告訴筆者一定要給學生留出足夠的動手體驗空間.這樣以來，筆者就確定了本節課的教學思路，即以“問題驅動”為主線，引導學生“積極體驗”和“自主探究”.

（二）用好教材旁白，設計教學過程

1.復習引入

教師：（PPT展示圖1）同學們還記得如何過直線外一點作已知直線的垂線嗎？

生1：借助于三角板通過對齊平移的方式就能作出垂線.（教師同時用多媒體展示過程）

教師：好的，當然，我們也可以用同樣的方法過三角形的一個頂點作它的對邊所在直線的垂線.

圖1

圖2

圖3

2.三角形的高線

教師：如圖2（PPT展示），如何過三角形的頂點A作出它的對邊BC所在直線的垂線？

生2：可以借助過直線外一點作已知直線垂線的方法來做.

教師：很好，借助于剛才的方法就很容易作出BC邊上的垂線AD（PPT展示圖3）.

追問1：根據以前學過的知識，同學們能說出這個三角形的高是什么嗎？

生3：三角形的高是線段AD.

追問2：很好，你能結合圖形簡單概括一下高的定義嗎？

生4：頂點和垂足之間的線段就是三角形的高線.

師生活動：師生一起歸納出高線的具體定義，教師板書在黑板上.

此時，教師利用PPT呈現出第一處旁白（如圖4）并追問.

圖4

圖5

教師：用同樣的方法，你能畫出三角形的另外兩條高線嗎？（教師請出一位同學到黑板上演示）

師生活動：學生在自己的圖形中畫出另外兩條高線，教師巡視指點.

教師：讓我們一起來看看XXX同學畫的情況（如圖5），與自己的圖形進行對照有什么不同之處？

生5：圖形是一樣的，但我畫的圖形沒有標明垂足和垂直符號.

師：很好，黑板上這位同學畫的很完整，而且還標明了相應垂直符號和垂足.

設計意圖：巧妙利用旁白內容進行追問，鼓勵同學動手體驗.在畫圖的細節方面，一開始并沒有直接強調，而是通過學生自己對比和觀察，找出所存在的問題，不僅加深了學生的印象，同時也顯得很自然順暢.

在接下來的環節中，教師進一步引出“高線與垂線的區別是什么”及“一個三角形一共有幾條高線”等問題讓學生去觀察和思考.之后，繼續引導學生分別畫出一個鈍角三角形和一個銳角三角形，并畫出它們所有的高線，同時請出兩位學生到黑板上展示.

師：我們一起來看一下這兩位同學畫的情況，請大家仔細觀察這兩個圖形（圖6），給出自己的評價.

圖6

生6：甲同學畫的圖形中沒有標明垂直符號和垂足，乙同學畫的很好.

師：不錯，觀察的很仔細，點評的也很到位，總體來說兩位同學畫的還是比較完整.我們先看鈍角三角形的三條高線，有幾條在三角形的內部，幾條在外部？

生7：有一條通過鈍角頂點的高線落在三角形內部，另外兩條落在邊的延長線上.

師：回答的很好，那直角三角形呢？

生8：有一條高線在內部，另外兩條高線與直角邊重合.

師：好的，同學們再結合圖形仔細觀察一下BC、AC邊上的高是分別是什么？

生9：BC邊上的高是線段AC，AC邊上的高是線段BC.

師：請同學們根據高線的定義，再想一想線段AD是哪個三角形的高，又是哪條邊上的呢？

生10：線段AD在△ACD中，且垂直于CD，因此它是△ACD的邊CD上的高線.

師：很準確.我們在判斷高線的時候，務必抓住兩點，一是看在哪個三角形中，二是看在哪條邊上的.

設計意圖：引導學生通過不斷的體驗和觀察進一步理解高線的定義和特征，同時鼓勵他們大膽點評，給予合理的評價和建議，對培養學生的辯證思維能力起著很好的作用.

3.三角形的中線

通過復習線段的中點引入三角形的中線，讓學生在練習本上找出△ABC的BC邊上的中點D，并將A、D連接起來（如圖7）.

圖7

圖8

圖9

師：讓我們借助于歸納高線定義的方法歸納出中線的定義，哪位同學愿意給大家分享一下？

生11：連接頂點與它對邊的中點所得的線段，叫做三角形的中線.

師：是的，由此可以看出中線同樣也是一條線段，同樣要注意標出相應的字母.（教師板書定義）

盡管有了高線的鋪墊，筆者并沒有將中線的相關概念一帶而過，仍然利用PPT呈現出教材中的第二處旁白（如圖8）.

師：用同樣的方法，你能畫出另外兩條邊上的中線嗎？

師生互動：同學們自己動手完成另外兩條高線的畫法，教師巡視指導.

師：我來看看XXX同學畫的情況（圖9），結合中線的定義請思考一下圖9中有哪些線段是相等的？

眾學生：BD=CD，AG=BG，AF=CF.

師：不錯，若把三條中線的交點記為點O，再想一想線段OG是哪個三角形的高，為什么？

生12：△AOB的中線，因為G是AB的中點，O是△AOB的一個頂點，連接頂點和對邊中點的線段就是三角形的中線.

師：很有道理，我們在判斷中線時要結合定義，找準邊的中點和所對的頂點.同時還要學會用數學語言來表述中線的一些性質.（教師在黑板上做如下板書）

設計意圖：本環節主要是師生一起探討三角線中線的畫法、定義和相關性質，以學生自主嘗試、自主探究和自主歸納為主.

4.三角形的角平分線

教師引導學生先動手畫出△ABC，并作出過頂點A的一條角平分線，教師用投影儀展示（圖10）.

圖10

圖11

圖12

師：通過這位同學所畫的圖形，同學們能觀察和歸納出角平分線的定義嗎？

師生活動：同學們觀察、思考，教師請出一位同學并引導其歸納出角平分線的定義，同時將定義板書在黑板上.

師：三角形的角平分線與一個角的平分線有什么區別和聯系？

生13：相同點是他們都能平分角，不同的是三角形的角平分線是一條線段，而一個角的平分線是一條射線.

教師給予肯定，同時再次利用PPT展示出教材第三處旁白（圖11），引導學生繼續動手體驗角平分線的畫法，并觀察和探究角平分線的特征.

師：（教師投影呈現圖12）仔細觀察自己所畫的圖形，你有什么發現？

生14：三條角平分線相交于三角形內部的一點.

師：是的，它們都交于內部一點，沿著這樣的思路，請同學們思考和探究三角形的高線和中線的交點情況，請每個小組進行討論，并歸納出自己的結論.

設計意圖：此處旁白明顯有別于前面兩處，對能力的要求有所增加，除要畫另外兩條角平分線外，還要觀察三條角平分線的特征.在這處旁白承上啟下的作用下，筆者很自然地帶領學生對已畫過的高線、中線的交點情況進行探討，同時再次呈現出剛剛畫的圖形，與學生一起觀察和歸納.

（三）總結反思，一“慢”到底

教師繼續通過提問的方式引導學生一起對本節內容進行梳理和總結.

師：我們今天學到了什么？

眾學生：三角形的高線、中線和角平分線的畫法和定義.

師：我們需要注意什么？

生15：畫圖時要注意表明相應的符號和字母，辨別三種類型的線段時要找準三角形.

師：很好，那么三條線段各有什么特征呢，比如說它們的位置及所在直線的交點如何？

眾學生回答，教師用PPT呈現出小結內容.

1.楊衛東.理解教材旁白，跟進教學設計——以人教版九年級上冊為例［J］.中學數學（下），2016（10）.

2.黃益全，李波，丁慶彬.品味教材旁白，追求真實自然——對人數社A版“點到直線的距離”過程性教學設計的思考［J］.中學數學教學參考（上），2016（5）.

3.趙麗娜.品教材旁白，育學科素養——對人教版七下“實數”旁白的解讀、補充及教學建議［J］.中學數學（下），2015（12）.

4.霍庭蕓.從數學學習的心理過程看數學“慢教育”［J］.初中數學教與學，2015（7）.H

*本文是重慶市教育科學“十二五”規劃2015年度基礎教育課程改革專項重點課題“人教版初高中數學課標教材中旁白的功能價值與教學應用研究”（課題批準號：2015-JC-041，課題負責人：黃益全，筆者系課題主研）的階段性研究成果.