觀摩“部優”課例，體會難點突破
——勾股定理逆定理“部優”課例評析

☉江蘇省南通市通州區興仁中學 徐 芹

觀摩“部優”課例，體會難點突破
——勾股定理逆定理“部優”課例評析

☉江蘇省南通市通州區興仁中學 徐 芹

教育部啟動“一師一優課、一課一名師”活動以來，由于省、市、縣各級教育行政部門的推進，很多老師加入曬課行列，從曬課平臺上展示的“海量”課例來看，其中不乏優秀課例.本文關注一節勾股定理逆定理“部優”課例（見國家曬課平臺，網址見文1），嘗試評析該課的一些特點，供研討.

一、“勾股定理逆定理”部優課例教學流程

教學環節（一）游戲引入

創設情境：給每組（兩名）同學發30根木棒，請大家擺出直角三角形.

學生活動：借助三角板的直角，先拼出長分別為3和4的直角邊，再拼上斜邊5.

設計意圖：設計拼圖游戲，開課階段調動學生的參與熱情.并預設如下的PPT，截圖如下（如圖1～4）.

圖1

圖2

圖3

圖4

教學環節（二）提出問題

問題：圖2、圖3中拼的圖形都是直角三角形嗎？

預設：以3和4為直角邊的三角形，用勾股定理計算第三邊長就是5.因此是直角三角形.用圖3中的拼法拼得的三角形也是直角三角形嗎？它和用圖2中的拼法拼得的三角形是全等的嗎？

追問：同學們認為三角形的三邊滿足什么樣的關系就可以判定它們圍成的三角形是直角三角形？

預設：安排學生證明勾股定理的逆定理，注意命題證明的格式，首先要根據題意畫出圖形，然后寫已知和求證.

學生活動：用SSS證明兩個三角形全等后明確逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

過渡：上述證明只是特例情形，如何推廣到一般情形呢？

教學環節（三）形成新知

學生活動：利用已知條件作一個直角三角形，再證明其和原三角形全等，使問題得以解決.先作直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊A1B1=c，則通過三邊對應相等的兩個三角形全等可證.

設計意圖：如何判斷一個三角形是直角三角形？現在只知道有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題轉化為如何判斷一個角是直角.

教學環節（四）定理應用

例1由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形？

a=3、b=4、c=6，a=1、c=3、b=3，a=9、b=12、c=15，a=12、b=16、c=20，a=30、b=40、c=50，a=300、b=400、c=500.

跟進猜想：在△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，請你判斷以ka、kb、kc為三邊的三角形是否是直角三角形.

設計意圖：體會逆定理的條件實際上是三角形中較短的兩邊的平方和等于最長邊的平方，鞏固勾股定理逆定理及其應用

教學環節（五）實際應用

練習1：若小蟲從A點出發，向正東爬行一段距離到達B點，然后向左拐前行至C點，如果你只有一把刻度尺，你能驗證小蟲現在前進的方向是正北方向嗎？請說明理由.

追問：此時，如果你的刻度尺不夠量出AC的距離，你能想出什么解決辦法嗎？

練習2：如圖（圖略），你能在單位正方形組成的網格圖中標記的各點中選擇兩個點與C點連接而成一個直角三角形嗎（不許用所有小正方形的直角）？你能找到幾個滿足要求的三角形？你是怎么找到的？它們之間是什么關系？

教學環節（六）小結作業（略）

二、課例評析

1.理解學情的前提下精準理解教學內容

在上這節課之前，學生已經掌握了勾股定理，可以直接應用勾股定理解決和證明問題，也具備一定的探究性學習和總結問題的能力.但對問題的總結及概括的準確度、完整度上還需要進一步訓練.故設計經歷勾股定理逆定理的探究及證明過程，并理解通過構造一個直角三角形，證明此三角形和原三角形全等，從而掌握證明三角形為直角三角形的方法.并且會應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否為一個直角三角形.這里的難點是勾股定理的逆定理的證明，特別是證明過程中從特殊走向一般的數學思想方法.以下再圍繞難點突破展開詳細評析.

2.勾股定理逆定理教學難點是如何突破的

從該課的開課引入開始，雖然是一個游戲情境，然而極具數學味，并沒有讓游戲味沖淡數學味，因為簡短操作拼圖之后，就是學生思考兩種拼圖為什么都能得到直角三角形，這是非常有挑戰的數學問題.教師正是用這樣匠心獨運的活動設計，把勾股定理逆定理的證明精巧地包裝、展示出來，接著安排學生證明特例情況下的勾股定理逆定理問題（如圖5、6），由于學生在拼圖過程中已有兩種圖形的經驗，所以構造圖6這樣的輔助圖形就容易想到，難點也就這樣被突破了，教師的引導被巧妙地隱藏起來.有學者說教師要學會“匿身”，大概也是這個意思.接下來的另一個難點是，思考一般意義下的勾股定理逆定理的證明，其實就是將上述證明過程“一般化”，證明思路仍然是一致的.

圖5

圖6

3.注重從生活現實中恰當分離、抽象出數學問題

義務教育數學課程標準強調教學情境的創設要注意兼顧生活現實、數學現實和其他學科現實.從本課引入及課中素材的選擇來看，教師注意選擇了生活現實，且源于學生動手操作得到的數學問題，并通過恰當的追問使得生活問題“數學化”，抽象出數學問題，從而引入新知探究.這里既保證了學生動手操作的全員參與，又啟發學生思維的參與，讓更多學生的思維被“卷入”數學活動中.

4.曬課過程中的一些欄目規范值得關注

作為教育行政部門主導的大型曬課活動，分類查閱市優、省優、部優課例可以發現，這些獲獎課例曬課的各個欄目都非常規范，比如教學目標、教學重點、難點分析，教學流程詳實，設計意圖解釋清楚，配套的課件清新簡約，隨堂練習題設計恰當，上傳的視頻錄制得也符合技巧規范.我們也注意到有些課例由于錄制視頻時晃動、音頻也有噪聲，使得觀看效果不好；還有些課例視頻錄制得不錯，但是配套展示的課件不太規范、各個欄目下的文本解讀也不全，影響了評級的等次.

三、教學難點突破的進一步思考

我們知道，教學難點和重點有時并不是一回事，難點常常是高層次學生能夠接受和挑戰的數學知識，而難點如何突破又影響著這部分學生更順暢地理解教學難點.像本文課例中這節“部優”課例，對教學難點的認識是準確的，教學難點的突破是藝術的，潤物無聲值得學習.以下再圍繞教學難點的突破給出兩點思考.

1.對教學難點的認識要認真讀教師用書

教師用書是教材編寫組對教材的進一步解讀，寫給教師看的，往往對教學重點的揭示、教學難點的辨別都寫在教師用書的邊欄、底欄，如果教師在備課時不注意閱讀教師用書，而根據主觀判斷，則有時容易混淆教學難點和重點.

2.教學難點的確定還要兼顧學情實際

教學難點除了兼顧教師用書上教材編寫者的提示，還需要基于我們的實踐經驗，針對所教學生的學情進行取舍.如果整體學情薄弱，則有可能教學難點需要適當放棄或進一步鋪墊才能順利攻克教學難點.比如，七年級有理數乘法的“負負得正”這一教學難點的突破，甚至教材也采取了模糊的處理，而不再糾結于如何說清“負負得正”的證明，因為不管我們如何努力，試圖明辨其中道理，效果往往適得其反，這時還不如以一組算式的運算，歸納猜想出“負負得正”的法則.

1.http：//1s1k.eduyun.cn/portal/1s1k/sportal/index.jsp？sdResIdCaseId=ff8080814cf994a3014d03b9944a6c5b&t= show.

2.劉東升.基于HPM視角重構“勾股定理”起始課教學［J］.教育研究與評論（課堂觀察版），2016（1）.

3.蔡宗熹.千古第一定理——勾股定理［M］.北京：高等教育出版社，2013.Z