對初中數學開放題編制的幾點思考

☉福建省廈門市廈門一中海滄分校 王旭輝

對初中數學開放題編制的幾點思考

☉福建省廈門市廈門一中海滄分校 王旭輝

初中數學新課程標準要求：“為了考查學生的創造能力，可以設計開放性問題.”這里的“開放性問題”就是本文所說的開放題.關于開放題的概念，沒有唯一的答案，在我們初中數學中答案不固定或者條件不完備；具有多種不同的解法或有多種可能的解答；條件多余需選擇，條件不足需補充或答案不固定及答案不唯一的問題等都可以稱為開放題.開放題是種非常靈活的新題型，它的開放性主要在于它的問題的條件可以具有不完備性，答案可以具有不確定性，解題策略具有創新性等特點.

在實施素質教育的今天，培養初中生對數學的積極態度，使學生體驗做數學的樂趣，提高初中生的數學素質，已成為中學數學教學十分重要的任務，同時，近些年在中考中考查開放性題目所占的比重也越來越大.因此，加強對初中數學開放題編制的研究就顯得十分重要和有意義.

一、編制數學開放題的必要性分析

（一）有助于培養學生分析解決問題的能力

由于學生在解答開放題時，會表現出不同層次、多種水平的解答方案：有的學生可能只找到一種答案，有的學生能找到多種答案.不同的解答方案和結果會表現出不同的思維水平.學生通過探索的過程、尋找方法和計算的過程，變簡單機械模仿過程逐步上升為深化提高知識的過程.在這樣的解題過程中，學生分析問題、解決問題的能力得到培養和提高.

（二）有助于強化學生的創新意識

傳統的封閉性題目答案是唯一的，學生往往找到一個答案就不必再進一步思考了.而開放題的答案一般需要根據不同的條件選擇不同的結果.這樣，可以培養學生不斷進取的精神，強化學生的創新意識，提高學生養成創新習慣的自覺性.

（三）有助于形成寬松的教學氛圍

由于開放題可達到教學形式的開放，使學生的學習可以是個別競爭，也可以合作完成；可以是暢所欲言，也可以是實踐操作.在這一過程中，師生之間的教學關系已開放為平等的合作伙伴關系，學生可以懷著輕松、愉快的心情進行學習，有利于形成寬松和諧的課堂教學氛圍.

（四）有助于培養學生的思維品質

開放題的教學，變單一的由教師講解提問為師生共同研究問題的知識與能力的綜合訓練，變個體操作為集中交流合作，并觸發思維的火花.這樣，把開放性問題融入課堂教學中，可有效地激發學生敢于從多角度去思考問題，主動參與知識的建構過程，從而培養與發展學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創造性等良好品質.

（五）有助于學生體驗數學的價值

由于開放題題材多數貼近學生生活實際，吸收并引進與現代工農業生產、科技等密切相關的具有時代性、地方性的數學信息資料，以豐富學生的數學認識.使學生把學習延伸到與之聯系的現實生活中，并拓寬獲得相關領域的新知識，從而認識到數學的價值，體驗數學的本質.

二、數學開放題的編制類型

（一）從構成數學題系統的四要素出發來編制

從構成數學題系統的四要素出發，開放題的編制主要包括四類：條件開放題、策略開放題、結論開放題和綜合開放題.

1.條件開放題

如果一個數學開放題，其未知的要素是假設，則稱為條件開放題.這類開放題給出了結論，要求從多種不同角度去尋求這個結論成立的條件.

例1如圖1，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母與輔助線，要使△ABC≌△DCB，則還需增加一個條件是________.

此題可以根據三角形全等的判定方法，從邊、角等多方面去補充條件.

圖1

圖2

2.策略開放題

如果一個數學開放題，其未知的要素是推理，則稱為策略開放題.這類開放題一般都給出了條件和結論，而怎樣由條件去推斷結論，或怎樣根據條件去判斷結論是否成立的策略未知，或者解法有多種.

例2小蕓在為班級辦黑板報時遇到了一個難題，在版面設計過程中需將一個半圓面三等分（圖2），請你幫助她設計一個合理的等分方案.要求用尺規作出圖形，保留作圖痕跡，并簡要寫出作法.

此題可以通過三等分圓周角，或者把直徑四等分等方法去解決.

3.結論開放題

如果一個數學開放題，其未知的要素是判斷，則稱為結論開放題.結論開放題就是給出了一定的條件，滿足條件的答案有多個.

例3已知點P在第二象限，它的橫坐標與縱坐標的和為1.則點P的坐標是______（寫出符合條件的一個點即可）.

題目的結論很多，比如（-1，2）、（-3，4）等.

4.綜合開放題

如果一個數學開放題，只給出一定的情境，其條件、解題策略和結論都要求解題者自行設定和尋找，這類問題稱為綜合開放題.

例4某家庭裝飾廚房需用480塊某品牌的同一種規格的瓷磚，裝飾材料商場出售的這種瓷磚有大、小兩種包裝，大包裝每包50片，價格為30元；小包裝每包30片，價格為20元，若大、小包裝均不拆開零售，那么怎樣制定購買方案才能使所付費用最少？

此題的解決方法和瓷磚大小的選擇都要由解題者來選擇，答案雖然是唯一，但是過程卻是開放的.

（二）從開放題答案的開口情況出發來編制

從開放題答案的開口情況出發，數學開放題可以分成三類：弱開放題、中開放題和強開放題.

1.弱開放題

弱開放題是指答案情況（包括可能情況）只有兩種的開放題.

例5等腰三角形的兩邊長是4和6，則它的周長是_______.

這里要求我們分4為腰和6為腰兩種情況去討論.

2.中開放題

中開放題是指答案情況（包括可能情況）超過兩種，但其數目是有限種的開放題.

例6桌上擺著一個由若干個相同正方體組成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖3所示，則這個幾何體可以由______個這樣的正方體組成.

圖3

滿足條件的結論是有3種以上的，答案可以是8個、9個、10個或者以上，但是答案有限.

3.強開放題

強開放題是指只能給出部分答案情況，答案情況（包括可能情況）總數難以確定的開放題.

例7有一塊邊長為10米的正方形空地，現在要在空地上設計一個花壇，使花壇的面積是空地面積的二分之一，該如何設計？

此題的答案個數就難以確定了，因為花壇的形狀千變萬化，只要面積是空地面積的二分之一就可以了.

三、數學開放題的設計方法

好的數學開放題，能夠充分體現出新的教育教學理念，加大教改力度，對教學的目標和學生的學習發展方向具有指導意義.現行教材中開放題數量較少，因此教師應該掌握開放題的設計方法.本文總結了如下四種方法：

（一）弱化成題的條件，使其結論多樣化

把原題目的條件減少一個或兩個，可以使題目的結論呈現開放性.

例8已知等腰三角形的底角比頂角大15°，求各內角的度數.

可以將條件改為：等腰三角形的兩個內角之差為15°.這樣就可以讓學生考慮到等腰三角形的內角有底角和頂角之分，達到分類討論思想訓練的目的.

（二）在既定的條件或關系下，探討多種結論

對于一些題目，在其條件不變的前提下，可以把題目的結論刪去，讓學生去發現，從不同的角度去考慮，得到的結果往往不同，從而達到開放的目的.

圖4

圖5

例9如圖4，矩形ABCD的兩條對角線交于點O，且∠AOD=120°，你能說明AC=2AB嗎？

可以將結論改為：你能從中得到什么結論？（至少寫出三個）這樣改變就可以讓學生從邊、角、對角線、三角形等多方面去考慮題目的結論了.

（三）給出結論，尋求使結論成立的充分條件

給出題目的結論，讓學生尋找使結論成立的條件，同樣可以達到題目開放的目的.

例10如圖5，在平行四邊形ABCD中，已知M和N分別是AB、DC邊上的中點，試說明四邊形BMDN也是平行四邊形.

可以改為：如圖5，在平行四邊形ABCD中，要使四邊形BMDN也是平行四邊形，只需添加一個什么條件？

（四）加強結論，追加條件

對一個命題，對其結論進行加強，以研究得到這個結論需增加些什么條件，可得到一些開放題.

例11如圖6，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H，證明四邊形EHFG是平行四邊形.

圖6

可以把題目進一步補充：當添加什么條件時，可以使四邊形EHFG變為菱形？

數學開放題是一種能很好地培養學生創新能力的新題型，它的編制還有很多奧妙的地方，有待在以后的題目編制中進一步的發掘.

1.中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）［M］.北京：北京師范大學出版社，2001.

2.曾黃淑芳.初中數學開放性題目初探［J］.考試周刊，2015（45）.

3.錢麗娟.數學開放題研究及啟示［J］.數學學習與研究，2015（11）.H