不動點定理在微分方程中的應用

譚東杰

【摘 要】文章在論述不動點定理這一結論的基礎之上，著重研究了運用Banach壓縮映射的原理去證明Picard以及Schauder不動點兩個定理，同時再進一步證明Peano解的存在性，繼而再運用Banach壓縮映射原理與Schauder定理一起綜合去研究不動點定理在微分方程內的應用方法。

【關鍵詞】不動點定理;Banach壓縮映射原理;微分方程

引言

不動點定理在泛函分析中是一個非常重要的部分，在數學中能夠用到很多不同類型的不動點定理，它們在自然科學研究中的應用十分的廣泛。文獻[1]內作者通過Picard的逐次迭代法去證明微分方程中初值解及其唯一性的定理;文獻[2]內作者通過Schauder不動點定理以及不等式去證明積分方程的解及其唯一性;文獻[3]內運用Banach不動點定理去簡化Picard定理的證明過程，同時通過Leray?—Schauder不動點定理去說明不動點定理在微分方程的運用;文獻[7]通過分析方法去討論Banach壓縮映像原理以及Schauder不動點定理二者在Picard解的唯一性以及Peano解的存在性定理在進行證明時的運用。

1不動點定理結論

所謂的不動點，其實是個函數的術語，其在數學里主要指被該函數映射到自身一個點。我們定義1為T：（X，ρ）（X，ρ）是一壓縮映射，若是有0<α<1會使ρ（Tx，Ty）≤αρ（x，y），（?x，y∈X）.

定理1.1：壓縮映射原理，假設X為某一完善的度量空間，映射?：Χ→Χ 將每兩個點之間的距離壓縮λ倍，也就是d（?（x），?（y））≤λd（x，y），該處的λ為小于1的常數，則?肯定有且只有一個不動點，同時從Χ的任一點x0出發做出序列x1=f（x0），x2=f（x1），…，xn=f（xn-1），…，那么該序列必然會收斂到該不動點。此定理為證明很多種方程解的存在性以及惟一性、迭代解法的基礎原理。

定理1.2：布勞威爾不動點定理：假設Χ為歐氏空間里的一個緊凸集，則Χ至自己的每一連續映射都會存在最少一個的不動點。運用該定理能夠證明代數的基本原理，即復系數的代數方程必然會存在復數解。將布勞威爾定理內的歐氏空間變為巴拿赫空間，即為紹德爾不動點定理，這一定理通常在偏微分方程理論中。以上的定理都能從單值的映射擴展至集值映射，在微分方程理論以外還經常在對策論以及數理經濟學的研究中應用。

定理1.3：萊夫謝茨不動點定理，假設Χ為一個緊多面體，?：Χ→Χ為映射，則?不動點的代數數量等于?的萊夫謝茨數L（?），其為一很方便計算的同倫不變量。當L（?）≠0的時候，和?同倫的每一映射均最少存在一個不動點，該定理對布勞威爾定理的基礎上進行了發展。

定理1.4：假設為Banach空間X的一個非空緊凸集，T：M→M為一個連續映射，那么在中存在不動點。

2不動點定理的運用

這里主要研究的是2個原理，即 Banach壓縮映射原理以及Schauder不動點定理。

2.1對Banach壓縮映射原理的運用

針對一階微分方程內的初值

（1）

有關其解的存在和唯一性，有以下Picard定理：

假設二元函數f（x，y）在矩形D={（x，y）||x-x0|≤a，|y-y0|≤b}中是連續的，同時y能夠滿足Lipschitz的條件，也就是有常數L>0，?（x，y），（x，y）∈D，有

那么問題（1）在區間中存在唯一的解，其中

證明：問題（1）等價于積分方程

（2）

令

那么為Banach空間的閉子空間，因此亦為完備的，同時映射所以， 為中的連續函數，也就是并且

因此另外，

由于因此T為重的壓縮映射。故而，根據壓縮映射原理，有唯一的使得也就是積分方程（2）存在唯一的解即為問題（1）在區間中存在唯一的解。

2.2 Schauder不動點定理的運用

主要是運用J Schauder在上世紀30年代給定的一個應用非常廣的不動點定理，也就是Schauder不動點定理去證明Peano解的存在性， 其一直到現在仍然為研究非線性微分方程的解的存在性的主要工具。首先看常微分方程：

（3）

其中f：G→Rn，G?R×Rn如果設定（τ，ξ）∈G，（τ∈R，ξ∈Rn）那么方程求一個函數Φ（t）可以滿足：

（4）

的問題可以叫做方程（3） 的Cauchy 問題， 而 Φ（ t ） 可以叫做Cauchy問題（4）的解。

定理3.1：Peano的解的存在性定理，假設函數f（x，t） 處于R×Rn內的閉區域G：|t-τ|≤a， 中是連續的， 那么Cauchy初值在區間I：|t-τ|≤h中至少會有解的存在，而此處

證明：（6）等價于積分方程的求解。

使 F： 具體可表示為：

很容易看出F為連續映象，令，當x∈C[τ-h，τ+h]

≤Mh

又

<ε

F（c）相對比較緊，因此F為全連續映象，且F（ ） ，按照Schauder定理， F在 Ω存在不動點，也就是說Cauchy問題（4）有解。

看非線性積分方程 此為一特殊的Hammerstein積分方程， 接下來證明其存在連續的解。

證明：定義映像為：

任意取ε>0存在σ>0，當||x1-x2||<σ時，有|cos（λx1（s）-cos（λx2（s））|<ε

因此

<ε

故而F為連續的。同時， 當x∈C[0，1]，有

.

并且

<ε

根據Arzela- Asco li定理，F為全連續映象。如果讓，那么很明顯F（） 。根據Schauder不動點定理，F在 中存在不動點，也就是說積分方程有連續解。

四、結論

不動點定理不但可以在微分方程以及積分方程內進行應用，還在代數方程解的存在以及唯一性證明中也起著發揮著非常重要的作用。總而言之，運用不動點原理去證明微分方程解的存在性十分簡便，非常巧妙。

參考文獻：

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