淺談一元二次方程根的分布中的所體現(xiàn)的函數與方程思想

姜彬

一元二次方程一直是高考中必考的內容，然而對于有些同學來說一元二次方程一直困擾著.為此本文對該問題作了詳細的解析，以助同學們參考.

一元二次方程（形如：ax2+bx+c=0（a≠0））的根的情況與判別式Δ=b2-4ac有關：當Δ>0時，此方程有兩個不等實根；當Δ=0時，此方程有兩個相等實根；當Δ<0時，此方程無實根.

首先，在我們初中階段有韋達定理可以幫助我們同學解決關于一元二次方程的問題，在此先做一些說明.

類型1（可借助于韋達定理）

韋達定理：若關于的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）存在兩個實數根為x1，x2，則x1+x2=-ba，x1·x2=ca.

例1已知關于x的一元二次方程x2+3ax+2a2+1=0的兩個實數根均為正，求實數a的取值范圍.

分析本題可借助韋達定理來敘述兩個根的和與積的關系，再判斷正負，但是要注意判別式.

解設方程的兩個根分別為x1，x2.

由韋達定理可知x1+x2=-3a，x1·x2=2a2+1.

由題意可知：Δ≥0，x1+x2>0，x1·x2>0，

即（3a）2-4（2a2+1）≥0，-3a>0，2a2+1>0，解得：a≤-2

綜上所述：實數a的取值范圍為a≤-2.

小結利用韋達定理解一元二次方程的問題時一定要注意考慮判別式Δ，否則會出現(xiàn)范圍擴大，若本題不考慮Δ則實數a的范圍是a<0，范圍就被放大了.

例2已知關于x的一元二次方程x2-10x+a=0的兩個根都大于3，求實數a的取值范圍.

錯解設方程的兩個根分別為x1，x2.

由韋達定理可知x1+x2=10，x1·x2=a.

由題可知：Δ≥0，x1+x2>6，x1·x2>9， 即（-10）2-4a≥0，10>6，a>9， 解得：9

綜上所述：實數a的取值范圍為9

錯解分析滿足以上的解不一定能滿足都大于3（如：當a=16時兩根為2和8，此時就符合錯解的不等式組，但不符合題意）.

正解設方程的兩個根分別為x1，x2.

由韋達定理可知x1+x2=10，x1·x2=a.

由題可知：Δ≥0，（x1-3）+（x2-3）>0，（x1-3）·（x2-3）>0，即（-10）2-4a≥0，10-6>0，a-3×10+9>0，

解得：21

綜上所述：實數a的取值范圍為21

小結此種方法適用于一元二次方程的兩個根都要明確于同一個值的大小關系（即（1）兩個根都大于m；（2）兩個根都小于m；（3）一根大于m一根小于m）.此法容易范下兩個錯誤類型：（1）忽略判別式Δ，利用韋達定理時一定要注意判別式Δ；（2）直接考慮x1， x2與3之間的關系即x1+x2>6x1·x2>9，這樣考慮問題會擴大求解范圍.所以在利用韋達定理求解一元二次方程的時候一定要優(yōu)先考慮判別式Δ，而且遇到非0根且與同一個值比較時，一定要將兩個根x1與x2都要減去此根后再進行加或乘.

例3已知關于x的一元二次方程x2-3ax+2a2-1=0的兩個根中一根大于2，一根小于2，求實數a的取值范圍.

解設方程的兩個根分別為x1，x2.

由韋達定理可知x1+x2=3a，x1·x2=2a2-1.

由題可知：Δ>0，（x1-2）+（x2-2）∈R，（x1-2）·（x2-2）<0，

（-3a）2-4（2a2-1）>0，3a-4∈R，2a2-1-2（3a）+4<0，

解得：3-32

綜上所述：實數a的取值范圍為3-32

小結若出現(xiàn)兩個根在同一個值的兩側，則（x1-2）+（x2-2）∈R，對于這個式子就可以不考慮了.