云南民族地區六年級彝族學生數學問題解決表征水平的調查研究

孫雪梅，趙永香，朱維宗，潘永燕，張朝亮

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云南民族地區六年級彝族學生數學問題解決表征水平的調查研究

孫雪梅1，趙永香2，朱維宗2，潘永燕1，張朝亮3

（1．曲靖師范學院數學與信息科學學院，云南曲靖 655011；2．云南師范大學數學學院，云南昆明 650500；3．云南省武定縣民族中學，云南武定 651699）

以云南民族地區的幾所城鎮和農村小學的六年級彝族學生為研究對象，用6類小學數學問題解決為測試工具，通過紙筆測試法、口語報告法、作業分析法和比較研究法．發現六年級彝族學生在不同的數學問題解決中的表征水平有高有低，有的問題解決表征水平已達到了水平4，有的問題解決表征水平還處于水平1；六年級城鄉彝族學生在有的數學問題解決中的表征水平有顯著差異，在有的數學問題解決中的表征水平沒有顯著差異．另外，城鎮彝族學生達到水平3和水平4的學生多于農村彝族學生，農村彝族學生處于水平1的學生明顯多于城鎮彝族學生；六年級彝族男生和女生的數學問題解決表征水平沒有顯著差異；六年級彝族數學優秀生和學困生的數學問題解決表征水平有顯著差異；六年級彝族學生數學問題解決的表征水平與數學學習成績顯著相關，且為正相關．

彝族小學生；數學問題解決；表征水平

1 問題提出

彝族是中國西南地區歷史悠久、人口較多、分布較廣的少數民族．云南、四川、貴州和廣西四省是中國彝族聚居區和彝族人口主要分布地，其中云南省彝族人口數為全國第一．云南的彝族主要分布在橫斷山脈南部、哀牢山脈、烏蒙山脈和金沙江、紅河、南盤江流域．全省境內85％以上的縣（市）都有彝族居住，其中尤以楚雄彝族自治州、紅河哈尼族彝族自治州分布最多[1]．

1987年貴州師范大學在中國率先提出并開展了不同文化背景下數學教育研究．近20年來，民族數學教育日漸引起了社會各界的高度關注和重視．研究者對彝族數學教育進行了相關研究，主要有以下3方面：一是對彝族學生數學學習研究．李金富利用數學表征系統深入分析了四川涼山普格縣彝族農村小學高段學生數學計算過程中思維差異，并對差異背后的文化、觀念、習慣等影響因素進行了剖析．丁云洪等人對彝族農村小學4~6年級學生進行了數學問題解決觀念的調查研究．二是對彝族數學教學研究．阿牛木支通過14年的教學研究和實踐，探索了培養合格彝漢雙語師資的培養途徑和方法．三是對彝族數學及其數學文化的研究．吳雙，周開瑞等對彝族數學及其應用進行了初步的歸納和整理．吉克曲一等人研究了涼山彝族文化中的數學文化．朱黎生研究了彝族服飾圖案中的數學元素，并將這些資源應用于數學教學設計中．阿牛木支等探究了彝族畢摩從事宗教儀式中的插枝圖中的數學思想和數學知識[2~7]．綜上，教育界對有悠久歷史和濃厚文化底蘊、人口較多的彝族的數學教育研究較少，而針對彝族義務教育階段學生從表征視角探討數學教與學的實證研究尚屬空白．

“數學表征”是指用某種形式表達數學概念或關系的行為，也指形式本身．它既指過程，又指結果[8]．近年來，數學表征已成為人們研究數學學習心理的一種重要工具，它日漸受到數學教師的廣泛認同和普遍重視．通過對學生在數學問題解決中的表征研究，能洞察問題解決者的思維過程，了解學生在數學問題解決中是如何理解所學的數學知識，是如何進行數學交流和數學思維的．為此，選取云南民族地區幾所小學的六年級彝族學生為研究對象，通過調查研究他們在數學問題解決中的表征水平如何，以及表征水平是否存在群體差異性，并且表征水平與數學成績間的相關性如何．旨在為了解少數民族學生數學學習的思維特征，改進民族地區少數民族學生的數學教學方式，為縮小民族地區數學教育差異，提高民族地區數學教學質量建言獻策．

2 理論基礎

數學問題解決是指運用已知的數學知識去探求和解決新的或不熟悉的情境中的非常規的數學問題的一種過程．數學問題解決既涉及數學陳述性知識（如數學概念、原理等），又涉及程序性知識（如運算、推理、作圖等），還涉及認知策略（如表征、解題策略等），是一種高級的智力活動[9]．個體在解決數學問題時，先要在頭腦中對題目的初始條件、約束條件、數量關系及問題等信息進行捕獲、搜集、整合和加工，從而到達對題目的理解，然后再通過一系列算子，對知覺到的刺激或信息進行記錄、表達并描述出來，這就是對數學問題的表征[10]．波文（Bowen，1990）指出，表征是問題解決者在問題解決時的狀態結構，并且該結構是動態的，能反映問題解決者對任務的理解程度．他還認為表征可以形成一個系統，表征系統是問題解決者構造的能解決問題并能與他人交流的結構和過程的集合．表征不是問題解決過程的一個環節，而是持續整個問題解決過程中，數學問題解決的過程就是一個不斷表征的過程[11]．

希爾伯特（J. Hilbert）等基于表征存在的形式以及表征在心理運作中的角色，認為數學表征應該區分為外在表征及內在表征．外在表征是指以語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或實際情境等形式存在的表征．內在表征是指存在于個體頭腦里而無法直接觀察的心理表征．而戈爾?。℅. A. Goldin）綜合了數學教育領域對表征的研究，歸納了數學外在表征與數學內在表征的區別．他認為數學表征是反映數學學習對象（包括數學概念、命題和問題解決等；或數學陳述性知識、程序性知識、策略性知識和過程性知識等）的外在形式；數學內在表征則是指個體對數學學習對象的意義的賦予與建構，包括個體的語言語義、心象、視空間表征、策略及啟發法、數學的情感體驗等．數學外在表征的本質是數學學習對象的一個替代符號；數學內在表征是學習對象的外在表征內化在人腦中的心理表征，它本質上也是外在數學學習對象的一個替代符號．目前，對這兩種表征的理解達成了如下共識：外在表征和內在表征是相互獨立但又緊密聯系的兩個概念．由于對內在表征的研究在實際操作中有一定的困難，有的傾向于通過不同的外在表征類型間接地推測內在表征的過程，有的認為表征是一個內在表征和外在表征相互轉換的動態認知過程[12~13]．

萊什（Lesh，1981）從交流的角度在布魯納的表征系統（動作表征、表象表征、符號表征）的基礎上增加了口頭語言和現實情境兩種表征，把布魯納的動作表征稱為操作模型表征，表象表征稱作圖像表征，符號表征稱作書面符號表征．并構建了如圖1所示的表征轉化模型圖．這幾種表征方式同時存在于一個問題解決的情境中，當重新組織問題的構成要素和不同要素之間的聯系時，個體要重復使用各種表征和表征序列；同一表征之間或不同表征之間是互動和相互轉化的，內部的箭頭代表同一表征之間的轉化，聯結不同表征的外部箭頭表示不同表征之間的轉化，不同的表征或轉化呈現了不同表征水平．要實現表征之間的轉化，學生就必須理解包含在給定的表征中的概念，而為了用其它表征方式來表征它，就必須重新解釋這概念．學生正是在用不同的表征方式來表征數學概念并實現表征方式內部或者之間轉化的過程中，獲得了對數學概念的理解[12~14]．

根據以上理論和研究需要，文中通過對學生解答數學問題的外在表征方式來研究個體在數學問題解決中的表征水平．文中涉及的數學外在表征（以下簡稱“表征”）的形式分為以下3種類型：直觀表征（包括現實情境、實物、具體操作、圖表和圖形表征）、語言表征（包括口語和文字表征）、符號表征（包括算術符號、抽象符號、代數式表征）．根據學生呈現的外在表征形式及其表現出來的所實現的表征間的相互轉化情況，文中把表征水平分為以下幾類：直觀表征水平，是指問題解決者的推理是基于形象化的感知，即個體用直觀的表征方式（如現實情境、圖形、實物、具體操作等）來表征自己的思維過程和結果．程序表征水平，是指問題解決者通過程序，即用具體的算法、有序的步驟來表征自己的思維過程和結果，亦即實現了由直觀表征、語言表征到算術符號表征的轉化．抽象表征水平，是指問題解決者能夠清晰地將概念與程序分離，能深刻理解概念的內涵，能抽象概括出數學對象的本質，即在更高水平上，實現了由直觀表征、語言表征、算術表征到抽象符號或代數式表征的轉化．

圖1 表征轉化模型

3 研究目的與方法

楚雄彝族自治州居住有彝、苗、傣、白、回、哈尼、傈僳等26個少數民族，少數民族人口占總人口的33%左右，彝族人口占全州總人口的26％左右．武定縣位于楚雄彝族自治州東部，是一個集“山區、民族、宗教、貧困”四位一體的國家扶貧開發工作重點縣．峨山彝族自治縣是新中國誕生后的第一個彝族自治縣，也是云南省的第一個民族區域自治縣，全縣居住著彝、漢、哈尼、回、蒙古族等，少數民族占全縣總人口的63%左右．新平彝族傣族自治縣的世居民族有彝族、傣族、漢族、哈尼族、拉祜族、回族、苗族、白族等，少數民族人口占全縣總人口的71%左右，彝族傣族人口占全縣總人口的64%左右．因此，選擇楚雄彝族自治州武定縣、玉溪峨山彝族自治縣和新平彝族傣族自治縣作為云南具有地域性、代表性的民族地區的幾所城鎮和農村小學的彝族學生進行調查，能客觀地反映云南民族地區彝族小學生的數學問題解決狀況和表征水平．

3.1 研究目的

通過調查研究，旨在了解六年級彝族學生數學問題解決表征總體水平如何，六年級城鄉彝族學生的數學問題解決表征水平有否差異性，以及六年級彝族男生和女生、數學優秀生和學困生數學問題解決表征水平是否存在差異性，并對六年級彝族學生的表征水平與數學成績間的相關性進行分析．從而得出客觀真實的結論，為提高云南民族地區彝族小學生數學教學質量提供一定的理論參考和實踐依據．

3.2 研究方法

3.2.1 被 試

城鎮的學生選擇了云南楚雄彝族自治州武定縣和玉溪市峨山彝族自治縣的城鎮小學六年級彝族學生97人，農村學生選擇了玉溪市新平彝族傣族自治縣的農村小學六年級彝族學生79人作為直接樣本．樣本具體情況如表1所示．

表1 樣本情況

3.2.2 研究方法

紙筆測試法．用編制的《小學數學問題解決測試題》對學生進行測試，收集整理學生在數學問題解決中數學表征的相關信息并編碼處理，利用SPSS17.0軟件進行數據分析．

口語報告法．測試后，選擇一部分學生，要求學生反思并回答其解題的思維過程．研究中，讓學生對其所思、所想，毫無保留地報告出來，研究者通過錄音筆錄下來，再根據錄音整理信息，然后通過對信息的分析提煉，以此揭示被試在完成任務過程中的思維和操作過程，以便能更準確地確定被試在數學問題解決中的數學表征類型及水平．

作業分析法．對學生解決數學問題的作業進行分析、比較．對他們解決問題的書面過程作分析，記錄下學生呈現的數學表征的類型、表征水平，然后賦予相應分值，用SPSS17.0軟件進行統計分析，最后進行歸納、分類，并得出結論．

比較研究法．對六年級彝族城鄉、男女生、優秀生與學困生的數學問題解決表征水平進行比較．通過比較揭示各類彝族學生在數學問題解決中的表征特征和規律，從而得出客觀真實的結論．

3.2.3 研究工具及信度

調查采用的是自編測試卷“小學數學問題解決測試卷”．測試試卷的題目主要參照QUASAR（Quantitative Under- standing: Amplifying Student Achievement and Reasoning）項目中的認知評價工具（Lane，1993；Lane等，1995）和蔡金法（2007）《中美學生數學學習的系列實證研究》中的測試題，結合學校和學生情況，設計了一份有10個題的測試卷，并請專家及一線教師對該測試題提出修改意見，刪除了一些語意模糊、目的不清、針對性不強或難度大的問題．而后在一所小學進行了試測，并根據試測情況進行了再次修改，最后確定了6個題作為測試題（測試題詳見附錄）．

問題1是過程受限的數論問題，主要是考查學生的數感和運用數論基本知識解決實際問題的能力和建模意識．問題2是有關平均數的問題，主要考查學生對平均數概念的理解和方程意識．問題3是與模式有關的問題，主要考查學生的符號意識及推理和抽象概括能力．問題4是地圖比例的問題，主要考查學生對比、比值及其應用能力．問題5是面積問題，主要考查學生運算和思維能力．問題6是過程開放的數論問題，主要是考查學生的數感、符號意識及推理能力[15]．這6個題都可用多種解題策略和多種表征方式來解答．

對回收的測試問卷做了信度估計，用SPSS17.0分析得到信度系數為0.788，所用問卷信度較好．由表2知，KMO檢驗系數=0.771，<0.005，說明所用問卷效度較好．

表2 KMO和Bartlett的檢驗

3.3 測試評價標準

評價標準關注學生在數學問題解決中涉及到的數學知識、策略知識和數學表征3個維度．按照對問題所涉及的數學概念和原理理解是否完全，使用的數學術語和符號的適當與否，算法是否完整且正確；是否會使用正式或非正式的相關的外在信息，是否明確問題的所有要素，是否理解它們之間的關系；問題解決的策略是否合適，解答過程是否完整且系統；給出的解答是否完整，使用的圖表是否適當完整正確，使用的數學表達式和符號是否正確進行評價．具體的評價標準見表3[15]．

表3 數學問題解決評價標準

4 調查結果分析

為了從整體上掌握六年級彝族學生在數學問題解決中的表征現狀，以便為后續的分析提供參考，數據處理時將學生解答6個數學問題所使用的表征類型及其水平進行了統計．文中用SPSS17.0統計軟件中的頻數分布分析法、卡方檢驗，以及Spearman等級相關分析法進行統計分析．

4.1 六年級彝族學生數學問題解決表征總體水平

六年級彝族學生數學問題解決表征總體水平如表4所示．

表4 六年級彝族學生數學問題解決表征總體水平百分率統計

統計數據表明：學生對數論問題解決的表征水平總體偏低：對于過程受限的數論問題，有50%的學生處于直觀表征水平（即水平2），尤其是過程開放的數論問題，40.9%的學生無法進入該題的解答．但開放性數論問題中35.2%的學生處于程序表征水平（即水平3），22.2%的學生處于抽象表征水平（即水平4），均高于過程受限的數論問題．對于平均數問題，52.8%的學生處于程序表征水平（即水平3），這表明大多數學生對平均數的理解是工具性理解，只掌握了其算法；26.7%的學生處于抽象表征水平（即水平4），這部分學生對平均數的概念達到了抽象理解，形成了關于平均數的綜合圖式．有72.7%的學生在比例問題解決中處于程序表征水平（即水平3），表明這部分學生對比例的理解處于工具性理解，只有7.4%的學生達到了抽象理解水平．總體來看，在平均數、比例、面積3類問題解決中，大部分六年級彝族學生呈現的表征水平為程序表征水平（即水平3）；在模式問題解決中，有大部分學生達到了抽象表征水平（即水平4）；在解決過程受限的數論問題時，大部分學生的表征水平為直觀表征水平（即水平2），而在解決過程開放的數論問題時，50%左右的學生的表征水平為程序表征水平（即水平3）或抽象表征水平（即水平4），但還有不少學生的表征水平還處于水平1．評價6個問題的各表征水平的具體描述見表5．

表5 六年平級彝族學生數學問題解決表征水平的評價描述

4.2 六年級彝族學生表征水平的比較研究

下面分別按城鄉、性別、成績分類對六年級彝族學生的數學問題解決表征水平進行差異比較．

4.2.1 六年級城鄉彝族學生數學問題表征水平的比較研究

為了比較六年級城鎮和農村彝族學生在數學問題解決中的表征水平是否存在差異，研究者對此進行了卡方檢驗．具體情況如表6所示．

表6 六年級城鄉彝族學生數學問題解決表征水平卡方檢驗

統計數據表明：六年級城鄉彝族學生在數論、平均數、地圖比例3類數學問題解決中的表征水平有顯著差異（<0.05），在模式、面積兩類數學問題解決中的表征水平沒有顯著差異（>0.05）．另外，城鎮學生程序表征水平和抽象水平的學生多于農村彝族學生，錯誤表征或無法進入數學問題解決的農村學生明顯多于城鎮彝族學生．

4.2.2 六年級彝族男女生表征水平的比較研究

為比較六年級彝族男生和女生在數學問題解決中表征水平是否存在差異，對男生和女生數學問題解決表征水平進行了卡方檢驗，具體情況如表7．

表7 六年級彝族男女生數學問題解決表征水平卡方檢驗

統計數據表明：對于所測試的6道題，值均大于0.05，說明六年級彝族男生和女生數學問題解決表征水平沒有顯著差異．

4.2.3 六年級彝族數學優秀生與學困生表征水平的比較研究

為比較六年級彝族數學優秀生和學困生數學問題解決表征水平之間的異同，對優秀生和學困生的數學問題解決表征水平進行了卡方檢驗，具體情況如表8．

表8 六年級彝族數學優秀生和學困生數學問題解決表征水平卡方檢驗

統計數據表明：6道題目的值均小于0.05，說明六年級彝族數學優秀生和學困生在這6類數學問題解決中的表征水平有顯著差異．大部分彝族數學學困生沒有能力進入這六類數學問題的解決，能夠解答這6類數學問題的學困生數學問題解決表征水平基本處于直觀表征水平（即水平2）或程序表征水平（即水平3），而大部分彝族數學優秀生對這6類數學問題解決的表征水平處于程序表征水平（即水平3）或抽象表征水平（即水平4）．

4.3 六年級彝族學生表征水平與數學問題解決成績相關性

為了尋找六年級彝族學生數學問題解決表征水平與數學問題解決成績之間是否有相關性，如果有相關性，相關性是否顯著的問題．研究者對六年級彝族學生數學問題解決表征水平和數學問題解決成績進行了Spearman等級相關分析，其中表征水平和成績只能取有限的值，每個表征水平和成績代表著不同程度，表征水平和成績之間的差異無法衡量，符合Spearman等級相關分析的基本假設．具體情況如表9．

表9 表征水平與數學問題解決成績間的相關性檢驗

注：**.在置信度（雙側）為0.01時，相關性是顯著的

統計數據表明：對所測試的6道題的分析結果均顯示<0.001，即六年級彝族學生數學問題解決表征水平與學習成績顯著相關，且為正相關．這說明學生的數學問題解決表征水平越高，學生在數學問題解決中的數學成績越好．

5 結論和教學啟示

5.1 研究結論

通過以上的調查研究可以得到以下結論．

（1）大部分六年級彝族學生在平均數、比例、面積數學問題解決中的表征水平達到了程序表征水平（即水平3），在模式問題解決中達到了抽象表征水平（即水平4），而在數論問題解決中的表征水平只達到直觀表征水平（即水平2），甚至還有不少學生的表征水平還處于水平1．

（2）六年級城鄉彝族學生在數論、平均數、地圖比例3類數學問題解決中的表征水平有顯著差異，在模式、面積兩類數學問題解決中的表征水平沒有顯著差異．另外，城鎮彝族學生達到程序表征水平和抽象水平的學生多于農村彝族學生，農村學生處于水平1的學生明顯多于城鎮彝族學生．

（3）六年級彝族男生和女生數學問題解決表征水平沒有顯著差異．

（4）六年級彝族數學優秀生和學困生在這6類數學問題解決中的表征水平有顯著差異．大部分彝族數學學困生沒有能力進入這6類數學問題的解決，能夠解答這6類數學問題的學困生數學問題解決表征水平基本處于直觀表征水平（即水平2）或程序表征水平（即水平3），而大部分彝族數學優秀生對這6類數學問題解決的表征水平處于程序表征水平（即水平3）或抽象表征水平（即水平4）．

（5）六年級彝族學生數學問題解決的表征水平與數學學習成績顯著相關，且為正相關．

通過測試可以看到在數學問題解決中的表征水平為程序表征水平的學生占的比例較大，說明大部分學生對能用具體的算法、程序操作來解決的問題完成得較好．學生遇到熟悉的問題，有現成的公式可利用時，如處理平均數、面積、比例等問題時學生就傾向于選擇程序表征．其次，學生使用直觀表征的頻率是最少的．除了模式問題外，有一半的學生在過程限制的數論問題中使用了直觀表征，在其它的4類問題中，學生極少使用直觀表征．這與教材的編寫注重抽象的解釋和算法化的程序操作的特點，以及教師教學時喜好的表征傾向是有關的．同時也說明學生掌握了更高級的表征方式后，不再愿意使用繁復的、直觀的表征方式．通過對測試卷的分析及學生的口語報告可以看到，能達到抽象表征水平的學生處理問題時，能較好地將現實問題轉化為數學問題，并恰當地選擇相應的數學知識和方法來解決問題，如遇到過程受限和開放的數論問題時，能將問題轉化為公倍數問題來解決．并且這部分學生解決問題的方法多樣，表征的方式也是多元的，且能較好地實現各種表征間的轉化．這表明達到抽象表征水平的學生已從“算術思維”過渡到了“代數思維”，能順利地找出問題中的等量關系并列出相應方程來解決問題，說明他們對方程的本質有了深刻的體會．測試表明，學生的數學問題解決表征水平越高，那么他們在數學問題解決中的數學成績越好．這也說明直觀表征最后必須上升到抽象表征才是“數學”，因為直觀表征能幫助學生理解抽象的數學內容，并不能直接實現學生的深層次的數學理解，而數學優秀生和學困生的表征水平測試的結果也驗證了此結論．處于水平1的學生，這部分學生大多是數學學困生，他們對問題涉及概念理解不清楚或理解錯誤，公式記憶不正確，算法錯誤，計算和推理能力欠缺，對問題的重要信息理解不清楚或理解錯誤，更談不上能選擇合適的策略和表征來解答問題[16~18]．

5.2 教學啟示

根據以上研究所得結論，教師在教學中要給學生一定的時空，充分使用實物、模型、學具等，先讓學生在動作操作、直觀表征中思維，學會利用直觀表征尋求解答，讓學生從直觀的角度來構建自己對數學概念、法則及關系的表征，以此幫助學生理解抽象的數學概念和思想方法．如果教師在教學中僅提供符號化、形式化的表征，基礎差的學生因為難以理解數學內容的抽象意義，因而對數學學習望而生畏，甚至失去學習數學的信心．

教師在教學中要注意多元表征的使用，除了關注言語化表征（如話語文本、書寫文本、數學公式、符號表示、邏輯表示等表征），還要重視視覺化表征（如圖形、圖象、圖表、教學模型、動畫、動作操作等表征）在數學學習中的促進作用．因為單一表征只反映數學對象的某個角度，完整理解數學對象需要從多個角度把握．多元表征能進一步豐富學生的知識結構，讓學生能從多角度認識數學對象，從而增強學生對數學對象的深刻理解，提高學生學習數學的信心，最終促進學生從具體思維向抽象思維的發展．

教師在教學中要關注從“現實問題”到“數學問題”模型化的過程，以及從“數學問題的結果”到對“現實問題檢驗、解釋、預測、解決及推廣”的過程．教師和學生平時較多關注從“數學問題”到“數學結果”的過程，較少關注從“現實問題”到“數學問題”模型化思想的應用．學生在遇到如測試卷中的問題1（過程受限的數論問題）時，51%的學生選擇用畫出日歷表，然后再按要求一個個數日期來找到正確答案．只有20%的學生會把這問題轉化為“公倍數”的問題來解決它，有的雖然想到用公倍數問題來解決，但沒有根據現實問題來檢驗結果的正確性，多找或少找了正確答案．在數學問題解決中，關注數學建模的過程，通過一題多解，或多題一解，能較好地促進學生對數學概念、法則和關系等數學對象的深入理解，提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力．

另外，通過與一些教育專家的交流，建議教師在教學中要從彝族的歷史、文化、民俗、服飾、宗教、節日和生產生活中開發出適合彝族學生實際的數學教學資源，利用具有彝族特色的數學教學資源能讓學生找到民族自豪感和認同感，從而激發學生數學學習興趣．如果能用雙語進行教學的老師要盡可能用彝漢雙語進行數學教學，慢慢過渡到漢語教學，這樣可以幫助彝族學生跨越語言障礙，更好地切合彝族學生思維特點，使學生能正確深刻地理解抽象的數學對象[19~22]．

6 反思與展望

研究以數學問題解決為載體試圖了解云南少數民族地區彝族六年級學生表征狀況，力求真實地反映學生在數學問題解決中的表征水平，從而以表征為視角分析研究民族地區民族數學教育的現狀及存在的問題．但因為一些主觀和客觀原因，研究中還存在許多不足：問題的設計未能考慮到彝族學生的語言、習俗和生活環境等因素，導致學生對有些問題的理解不夠清楚明確．另外，樣本選擇的代表性不夠，只選取了部分民族地區，農村小學中的彝族學生的數量也不多．通過此次研究發現有許多值得進一步研究的問題，比如，彝族和漢族、其他少數民族學生數學表征問題的比較研究，各學段彝族學生數學表征問題研究，表征視角下民族數學教與學策略研究，彝族數學文化及教學資源開發等問題．唯愿此文能起拋磚引玉的作用，能引發教育工作者對彝族數學教育的深入研究．

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[15] 蔡金法．中美學生數學學習的系列實證研究——他山之石，何以攻玉[M]．北京：科學出版社，2007．

[16] 王光明，廖晶．“探索世界”范式及其對數學教育的啟示[J]．課程·教材·教法，2013，（12）：116-119．

[17] 夏小剛，呂傳漢．跨文化視野下中美學生數學思維差異的比較[J]．比較教育研究，2006，（8）：63-67．

[18] 張定強，蔣會兵，蔡娟娥．中國少數民族數學教育研究的回顧與展望——基于1993—2013年CNKI期刊數據的分析[J]．數學教育學報，2015，24（1）：69-74．

[19] 孫雪梅，賽麒麟，朱維宗．曲靖市農村中學高二理科生學習風格的調查研究[J]．數學教育學報，2012，21（6）：35-41．

[20] 任偉芳，偶偉國，龔輝，等．“工具性理解”“關系性理解”和“創新性理解”[J]．數學教育學報，2014，23（4）：69-73．

[21] 孫雪梅，潘永燕．基于表征理論的“雞兔同籠”問題教學設計[J]．數學之友，2014，（24）：10-12．

[22] 李燕清，唐劍嵐．京族和漢族小學生估算能力及影響因素的調查研究[J]．數學教育學報，2015，24（1）：60-63．

附錄：小學數學問題解決測試卷

問題1（過程受限的數論問題）：海邊有一個小漁村，村里有一老一少兩個漁夫同住一個房子里．3月1日那天，他們開始打魚，老漁夫連續打3 天然后休息1天（即3月1日、2日、3日打魚，4日休息，5日、6日、7日打魚，8日休息，以下依此類推……），年輕漁夫連續打5 天然后休息1天（即3月1日、2日、3日、4日、5日打魚，6日休息，7日、8日、9日、10日、11日打魚，12日休息，以下依此類推……）．有一位朋友想在3月份趁兩人一起休息的日子去看望他們，這位朋友可以選哪些天去才能同時碰到他們倆？

用盡可能多的方式解決此問題，并寫出你的全部解答過程．

問題2（平均數問題）：一商店出售籃球．下圖列出了該商店在前三周售出的籃球數：

問此商店在第四周應該賣掉多少個籃球，才能使每周售出的籃球平均數為7？

用盡可能多的方式解決此問題，并寫出你的全部解答過程．

問題3（模式問題）：一些點按下面的模式排列．

（1）畫出第五個圖．

（2）畫出第十個圖．

（3）說明你為什么把第十個圖畫成這樣．

問題4（比例問題）：下面的地圖上標有3個縣城：

清水縣與長江縣的實際距離是54千米，在地圖上，清水縣與長江縣的距離是3厘米，在地圖上，太湖縣與長江縣的距離是12 厘米．太湖縣與長江縣的實際距離是多少千米？

用盡可能多的方式解決此問題，并寫出你的全部解答過程．

問題5（面積問題）：某小學有一間教室將變為校長辦公室．

如上圖，不鋪地毯的地方將安置一張辦公桌，別的地方會鋪上地毯．

（1）沒有地毯部分的面積是多少？寫出你的解答過程．

（2）有地毯部分的面積是多少？寫出你的解答過程．

（3）房間的幾分之幾鋪了地毯？寫出你的解答過程．

問題6（過程開放的數論問題）：李萍告訴她的弟弟李俊她在數學課上所做的游戲．

李萍說：“李俊，今天我在數學課堂上用了積木方塊．當我把積木方塊分成每2個一組時，多出了1個積木方塊；當我把積木方塊分成每3個一組時，還是多出1個積木方塊；當我把積木方塊分成每4個一組時，仍然多出1個積木方塊．”

李萍問：“李俊，你猜猜總共有多少積木方塊？”

李俊給出的答案是什么？

用盡可能多的方式解決此問題，并寫出你的全部解答過程．

Study of Sixth-Grade Yi Students’ Capability of Mathematics Problem Solving in Yunnan Ethnic Region

SUN Xue-mei1, ZHAO Yong-xiang2, ZHU Wei-zong2, PAN Yong-yan1, ZHANG Chao-liang3

(1. College of Mathematics and Information Science, Qujing Normal University, Yunnan Qujing 655011, China;2. College of Mathematics, Yunnan Normal University, Yunnan Kunming 650500, China;3. Wuding Middle School of Yunnan Province for Nationalities, Yunnan Wuding 651699, China)

Selecting sixth-grade students of Yi nationality at town and rural in Yunnan ethnic region as research samples; using six categories of capability of mathematics problem solving as evaluation tools; completing pencil and paper test, verbal protocol, job analysis and comparative study, we found that sixth-grade students of Yi have different representation level in different capability of mathematics problem solving, some students reach representation level 4, some students only have representation level 1; there is a significant difference between some capability of mathematics problem solving and representation level, and there is NO significant difference between some capability of mathematics problem solving and representation level also. Furthermore, there are more students of town reach level 3 and 4 than students of rural; there are much more students of rural only have level 1 than students of town; there is NO significant difference between boys and girls; there is a significant difference between excellent students and students with learning difficulty; there is a significant correlation between representation level and math scores, and a positive correlation.

elementary school student of Yi nationality; capability of mathematics problem solving; representation level

[責任編校：周學智]

G420

A

1004–9894（2016）03–0085–08

2016–01–15

云南省教育科學“十二五”規劃課題一般項目——云南民族地區5~6年級彝族學生在數學問題解決中的數學表征研究（BE14014）；曲靖師范學院2016年重點課題——云南少數民族數學文化的挖掘及其應用（2016JZ001）；曲靖師范學院2014年精品課程建設項目（JPKC2014003）；曲靖師范學院2015年研究生項目——5~6年級漢族和彝族學生在數學問題解決中的表征研究（2015YJS02）

孫雪梅（1970—），女，云南大關人，教授，碩士，碩士生導師，主要從事中小學數學教學研究及民族數學教育研究．