空間滯后誤差自相關隨機前沿模型參數的估計

竇劍軍，張輝國，胡錫健(新疆大學 數學與系統科學學院，烏魯木齊 830046)

空間滯后誤差自相關隨機前沿模型參數的估計

竇劍軍，張輝國，胡錫健
(新疆大學 數學與系統科學學院，烏魯木齊 830046)

文章利用工具變量矩陣方法研究了空間滯后誤差自相關隨機前沿模型參數的估計問題，得到了參數估計的表達式。與極大似然估計相比較，工具變量矩陣法極大地簡化了計算。蒙特卡羅模擬的結果表明,參數估計值十分逼近真值。

空間滯后誤差自相關模型；隨機前沿模型；工具變量矩陣；蒙特卡羅模擬

0 引言

隨著產業經濟學中投入-產出理論的深入發展，生產者越來越關注生產過程中的技術效率問題。作為技術效率測算的參數方法的隨機前沿模型被廣泛地應用于效率的測算中，該方法最早由Aigner、Lovell和Schmidt、Meeusen[1]和Van den Broeck[2]和Battese&Corra[3]三組研究人員于1977年同時獨自提出。其基本思想和理論依據歸結為：以盈利為目的的生產者追求的是利潤的最大化，但是在實際的生產過程中，由于管理水平的不同以及其他一些因素，并不是所有的生產單元都能達到生產前沿面上，也就是廠商的產出未必能實現利潤最大化，而是與前沿面有一個“垂直”的距離。在隨機前沿模型的設定中，這一差異用技術無效率項和外生的隨機擾動項來表示。所謂技術無效率項是指在給定的投入水平下，由于企業在生產過程中的各種管理不嚴和生產者個人技術問題引起生產過程中技術沒有得到最大的發揮，企業生產者沒有達到最大可能的產出，刻畫的是某些生產單元位于前沿面下的事實；而外生的隨機擾動是指不可控制的隨機因素，例如天氣、運氣、測量誤差等。

在以查爾斯·W·柯布和保羅·H·道格拉斯建立的C-D生產函數為基礎的隨機前沿模型中，其基本假定是不同生產單元之間相互獨立，并不考慮它們的相互效應。但是在許多情況下，特別是涉及到區域經濟研究、技術擴散過程中，地理位置上的鄰接關系在生產單元之間起著至關重要的作用，生產單元相互獨立的假設存在很大的缺陷。隨著經濟全球化的深入發展和區域之間經濟合作的不斷加強，任何一個國家或地區其經濟發展都相互借鑒，進行全方位的經濟合作和文化à流。當外生不確定性因素影響一個國家經濟時，其影響以一定的方式進行擴散，影響到其他有經濟合作關系的國家或地區，例如2008年美國爆發的金融危機。

近年來，空間計量經濟學作為計量經濟學的一個全新分支，其理論研究和實證分析迅速發展?？臻g結構關系成為空間計量經濟學模型的一個重要組成部分，將空間效應引入經典計量和統計方法中，并廣泛地應用于計量經濟學、地理學、傳染病學等諸多領域。如果存在空間的à互作用，但隨機前沿模型中沒有引入空間結構，仍然假設生產單元之間相互獨立并對其技術效率做出定量分析，勢必會掩蓋空間層面和地理位置上的相互作用，從而導致參數估計和技術效率推斷有偏。國內外將空間影響關系和隨機前沿模型相結合的研究相對較少，開創性地將空間相互影響和隨機前沿分析相結合的工作來自Druska和Horrace (2004)[4],隨后國內也開始了空間隨機前沿模型的研究工作。本文采用橫截面數據，建立了空間滯后誤差自相關隨機前沿模型，同時考慮因變量在地理位置上的滯后和誤差的空間相關性，用二階段最小二乘法和矩估計方法估計空間滯后誤差自相關隨機前沿模型，具體來說，該方法首先選擇工具變量矩陣對因變量的空間滯后作回歸，這樣因變量的空間滯后就和隨機擾動項不相關，然后采用二乘法求參數的估計。相對于極大似然估計法無法得到參數的解析解，只能用迭代算法，該方法有效地解決了空間滯后誤差自相關隨機前沿模型的估計問題。

1 空間滯后誤差自相關隨機前沿模型的估計問題

待估計的模型為：

其中，y為因變量，x為自變量；β為回歸系數；u為技術無效率向量；v為誤差項，η為隨機干擾項向量；W是空間權重矩陣，Wy為因變量的空間滯后，Wv為誤差項空間滯后；ρ是待估計的空間自回歸系數；λ是待估計的空間誤差自相關系數。

在本文中假設技術無效率項ui～i.i.d.N+(0，σ2u)，隨機干擾項ηi～i.i.d.N(0，σ2e)。

ηi和ui相互獨立且和自變量x之間不相關。對模型(1)進行極大似然估計，u的分布密度函數為：

因為η～N(0，σ2eI)，ν=(I-λW)-1η根據正態分布的性質：

可得v的分布密度函數為：

由于u和v不相關，可得(u,v)的聯合分布密度函數：

由ε=ν-u，根據二元變換定理可知(u，ε)的聯合分布密度函數為：

然后將 f(u，ε)對u積分得到ε的邊際分布密度函數：

由于ε=(I-ρW)y-xβ，基于式(2),可得到模型（1）的對數似然函數：

在上式對每個參數求偏導，令一階導數等于0無法得到參數的解析解，因為計算過程涉及到概率密度函數和累計分布函數。如果直接用修正的最小二乘法(COLS)估計，首先要用普通最小二乘(OLS)方法估計式(1)，但是，由于：

其中，A=I-ρW,在一般情況下，式(4)不等于0，即意味著誤差項ε與Wy之間存在相關性，采用OLS方法估計模型(1)不滿足高斯-馬爾科夫條件，這樣違背基本假設的估計值不是一致估計值，從而導致第二步的修正沒有意義。

2 二階段最小二乘和矩估計方法

通過上面的分析可知，修正最小二乘方法無法估計空間滯后誤差自相關隨機前沿模型的原因在于該方法的基本假定條件不成立。這樣一個很自然的問題就是，如果通過工具變量矩陣做回歸滿足基本假定條件，是否可以得到參數的一致估計量?根據最小二乘原理，答案是肯定的，至此，接下來的問題就是如何用工具變量矩陣作回歸滿足基本假定條件，再用最小二乘法得到參數ρ，β(不含常數項)和λ的一致估計量；在第二階段，由ε?根據矩估計(MEE)得到σ2u和σ2e的一致估計，并對截距項進行修正。

待估計的模型為：

因為ν=λWν+η，可得ν=(I-λW)-1η，將ε=ν-u帶入式(1)可得：

根據Lesage(2009)[5]的方法：

在這里只取前兩項并帶入式(5)得：

令ε=η-u，則模型可變為：

為表達方便，將模型(6)表示為：

其中，Z=(Wy，x，Wη)，δ=(ρ，β，λ)T

由于變量存在內生性問題，無法直接對式(7)進行估計，一個有效的解決途徑是通過構建工具變量矩陣Q對空間滯后因變量作回歸得到的一致估計量：

然后用Z?=(W?y，x，Wη)帶入式(7)，求得δ的2SLS估計量：

在上述求解過程中，一個重要的問題是工具變量的選擇，在這里由于x和Wη共生Wy,所以在選擇工具變量矩陣是應同時考慮x和Wη的作用。對模型(6)進行變形得：

(I-ρW)y=xβ+λWη+ε，進一步有：

其中根據(I-ρW)-1=I+ρW+ρ2W2+ρ3W3+…并帶入式(9)有：

所以工具變量矩陣選擇為Q=[x，Wx，Wη，W2η]

另外一個問題是，對于空間滯后誤差自相關隨機前沿模型，采用式(8)得到常數項的估計值不是一致估計量。因為誤差項ε中同時包含了對稱的雙邊誤差項η和非對稱的單邊非效率項u的均值的共同效應。

為了得到σe2和σu2的一致估計量，將第一階段的估計量δ2SLS帶入式(7)，得到ε的殘差項，以為基礎，構建相應的二階和三階樣本矩：

根據Olsen等(1980)[6]的方法，σ2u與σ2e的一致估計量為：

3 技術效率的估計

上述模型的參數估計是隨機前沿模型估計的第一步，第二步是對生產單元進行技術效率的推斷，找到技術無效率的生產單元，并評價無效率的程度。Jondrow、Lovell and Materovi等(JLMS)(1982)[7]指出各個生產單元的技術效率項ui可以通過E(ui|εi)或Mode(ui|εi)來估計，第i個生產單元的技術效率TEi=exp{-?i}，其中?i=E(ui|εi)或Mode (ui|εi)。為此需要得到 f(u|ε)，根據條件概率分布：

其中μ和Ω定義前面已經給出，易見 f(u|ε)服從N元截尾正態分布N+(μ，Ω),估其眾數為：

因此，一旦求出u的點估計，各生產單元的技術效率估計可表達為：

4 蒙特卡羅模擬

考慮如下數據數據生成過程：

其中ui～i.i.d.N+(0，0.82)，ηi～i.i.d.N(0，0.22)，(β0，β1，β2， β3)=(4，5，6，7)，解釋變量x1，x2和x3均服從標準正態分布，將 ρ的取值固定為0.5，誤差自相關系數 λ考慮-0.9，-0.7，-0.5，-0.3，-0.1，0,0.1,0.3,0.5,0.7,0.9共11種情況?？臻g權重矩陣取為Rook規則型權重矩陣和Queen規則型權重矩陣，每種權重矩陣經過行標準化處理，考察的樣本量為N=196,400，模擬次數均為50次。結果見表1和表2。

表1 Rook型權重矩陣估計結果

從表1可以看出，ρ，β0，β1，β2，β3的估計值不隨λ的變化而變化，當樣本量為196時ρ，β0，β1，β2，β3的估計值已經非常接近真值，當樣本量增大時，這幾個值沒有顯著的變化，但σu2，σe2的估計值當樣本量增大時，估計值越來越接近真實值。λ的估計值有一點的偏差但偏差不大，基本接近真實值。

表2 Queen型權重矩陣估計結果

從表2可以看出，ρ，β0，β1，β2，β3的估計值和Rook型權重矩陣一樣，仍然不隨λ的變化而變化，在樣本量為196時，ρ，β0，β1，β2，β3的估計值已經非常接近真實值，所以當樣本量增大時，變化不是很大，但是σu2，σe2的估計值隨樣本量的增大越來越靠近真實值，λ的估計值和真實值有一點偏差但不大，基本接近真實值。

5 結論與展望

本文構建了半正態空間滯后誤差自相關隨機前沿模型，用二階段最小二乘法和據估計方法對該模型進行了估計，得到了參數估計的表達式，該方法有效地解決了極大似然估計模型無法得到參數解析解只能用近似迭代算法的問題。蒙特卡羅模擬的結果表明，本文采用的方法對模型有很好的估計。

本文僅考慮了誤差的空間自相關性的情況，沒有考慮技術無效率項的空間自相關性。如何對空間滯后誤差和技術無效率空間自相關模型作估計還需進一步的研究，對技術無效率項還可以作其他形式的假定，以及模型的具體應用還需進一步的討論。

[1]Aigner D,Lovell K,Schmidt P.Formulation and Estimation of Sto?chastic Frontier Production Function Models[J].Journal of Econo?metrics,1977,(6).

[2]Meeusen W,van den Broeck J.Effciency Estimation From Cobb-Douglas Production Functions With Composed Error[J].International Economic Review,1977,(18).

[3]Battese G,Corra G.Estimation of a Production Frontier Model:With Application to the Pastoral Zone of Eastern Australia[J].Australian Journal of Agricultural Economics,1977,(21).

[4]Druska V,Horrace W.Generalized Moments Estimation for Spatial Panel Data:Indonesian Rice Farming[J].American Journal of Agricul?tural Economics,2004,86(1).

[5]James Le Sage,Robert K.Pace:Introduction to the Spatial Economet?rics[J].Statistical Papers,2011,52(2).

[6]Olson J,Schmidt P,Waldman D.A Monte Carlo Study of Estimators of the Stochastic;Frontier Production Function[J].Journal of Econo?metris，1980,13(1).

[7]Jondrow J,Lovell K,Materov I,et al.On the Estimation of Technical Ineffciency in the Stochastic Frontier Production Function Model[J]. Journal of Econometrics,1982,(19).

（責任編輯/易永生）

F222

A

1002-6487（2016）24-0004-03

國家自然科學基金資助項目(41261087);教育部人文社會科學青年研究項目(12XJJC91001);新疆大學博士啟動基金資助項目(BS130103)

竇劍軍(1987—),男，甘肅白銀人，碩士研究生，研究方向：空間統計學、空間計量經濟學。