基尼系數理論最佳值的探討與現實啟示

郭 軍，馮玉廣（山西師范大學 物理與信息工程學院，山西 臨汾 041004）

基尼系數理論最佳值的探討與現實啟示

郭 軍，馮玉廣
（山西師范大學 物理與信息工程學院，山西 臨汾 041004）

文章以社會經濟系統擬合類比熱力學系統，通過探求玻爾茲曼系統的基尼系數達到探求社會經濟系統基尼系數理論最佳值的目的。依據基尼系數的定義，直接利用玻爾茲曼統計的分布函數并借助Matlab軟件，計算得到洛倫茲曲線和基尼系數，這一結果與現有討論得到的值相當一致。

洛倫茲曲線；基尼系數；玻爾茲曼統計；收入分配；公平

0 引言

基尼系數是根據洛倫茲曲線定義的判斷收入分配公平程度的指標，是國際上用來綜合考察居民內部收入分配差異狀況的一個重要分析指標。其經濟含義是：在全部居民收入中，用于進行不平均分配的那部分收入占總收入的比重[1]。關于基尼系數的定義及計算，首先需要說明的是洛倫茲曲線。洛倫茨曲線是用來反映社會收入分配或財產分配平等程度的曲線。由統計學家洛倫茨于1905年提出。洛倫茲把社會總人口按收入由低到高平均分為10個等級組，每個等級組均占10%的人口，再計算每個組的收入占總收入的比重。然后，以人口百分比為橫軸，以收入百分比為縱軸，繪出一條實際收人分配曲線即洛倫茨曲線[2]。

圖1洛倫茲曲線圖

圖1中，OY表示絕對平均，等份的人數占有等份的收入或財產，OPY表示絕對不平均，社會財富全部集中在一個人。實際中的分配曲線介于二者之間，越接近于OY表示越平均，越接近于OPY表示越不平均。基尼根據洛倫茲曲線，計算出一個反映收入分配平等程度的指標，稱為基尼系數。基尼系數是把洛倫茨曲線圖中實際收入分配曲線與絕對平等線之間面積(用A表示)同這部分面積(A)加上實際收入分配曲線與絕對不平等曲線之間面積(用B表示)之和(A+B)相除，其商即為基尼系數。即：

基尼系數越小，表示越平均，反之則越不平均。

基尼系數的計算難在無法得到準確的洛倫茲曲線，所以通常的辦法是依據大量的統計數據使用的五分法得到。有的學者以一些特殊的已知函數來擬合真實的洛倫茲曲線或分配函數，如多項式函數[3]、對數正態分布函數[4]廣義χ2分布[5]等，從而計算基尼系數。大多數的文章是討論基尼系數的理論計算及統計分析，很少有討論基尼系數的理論最佳值。胡祖光（2004）最開始討論了這個問題[6]，他指出：實踐證明，收入分布平均或懸殊都不是最佳狀態。收入懸殊的弊病人所共知，而收入平均不僅不利于效率，而且也不適應于生產與消費。那么，試問：某一時期的收入分布是否存在著一個理論最佳值呢？他假定收入分配服從簡單的等差級數，后者收入比前者依次高出一個貨幣單位，當人口趨于無窮，也就是個人最高收入趨于無窮時，基尼系數趨于定值他認為這個值就是理論最佳值。洪興建（2007）后來在假定收入分布為合意的橄欖型前提下計算出基尼系數的合意值也為并肯定了這一值的理論參考意義[7]。歐陽葵（2011）否定了認為這個值不僅不是最優值，而且是最差值，他指出胡祖光的假設太過特殊，洪興建的收入分布類型太過經驗性，缺乏理論基礎[8]，但他并沒有給出自己的最優值。本文需要說明的是，胡祖光的假設確實太過簡單，太過理想，洪興建的假定理論性不足。而且，在他們二人的討論中，重在描述，給不出任何的現實意義和實際指導。事實上，基尼系數為的收入分布可以有很多種，陸善民（2006）在他的文章里指出，下面幾條可能的洛倫茲曲線都能得到

所以，如果你說基尼系數g=1/3是理論最佳值，那首先要說清楚你給出的洛倫茲曲線為什么是最佳收入分配模式。

本文從另外一個方面考慮了這個問題，基于平衡態統計物理學中的玻爾茲曼統計。本文將洛倫茲曲線及基尼系數的概念引入到熱力學平衡態中，以粒子數的累積比為人口累積比，以粒子的能量為人口獲得的收入分配，以粒子的能量累積比為人口收入累積比。熱力學平衡態并不是將系統的全部能量平均地分配給每一個粒子，這一點可以從麥克斯韋速度分布律看到。由此本文可以計算得到熱力學平衡態系統的基尼系數近似于并以此類比社會經濟系統，得出結論：社會經濟系統的最佳基尼系數也是下面將計算出這一結果并討論其帶給我們的現實和理論思考，并且可以借用平衡態分布的物理意義來回答為什么這種分配模式就是最佳。

1 平衡態系統基尼系數的計算

統計物理學上給出玻爾茲曼系統的分布公式為[9]：

εl指第l能級的大小，ωl指第l能級的簡并度，al指第l能級上的粒子數。上式必須滿足兩個平衡態約束條件：

需要說明的是：式（1）的導出是建立在平衡態統計物理的基本假設——等概率原理之上的，而正是這一假設對社會系統具有重要的啟示和指導意義。

為了計算明了簡單，本文做如下記號：

將al代入可得：

從上面兩式可以得到如下公式：

下面先來計算nl，再根據上式得到el，由此便可描繪洛倫茲曲線，并計算基尼系數。在dxdydzdpixdpiydpiz范圍內，分子可能的微觀狀態數為:

將上式代入公式可得:

被積函數只是動量的函數，于是上式可寫為:

上式可以變換為如下形式:

只要求出后面的積分，則通過求導的方式可得到nl及el的表達式。這個積分是一個有限上下限的概率積分，被積函數的原函數不是初等函數，沒有解析形式，但可以找到近似的函數來代替原函數[10,11]，王錦功(1981)和劉清珺等(2009)在各自的文章里提到了這一問題，本文在這里采用劉清珺等人給出的近似公式。令可將上式積分化為標準的概率積分，并利用近似公式可得：

于是nl的表達式如下：

將偏導數求出，化簡可得：

利用關系式（9），可得：

約束條件式（2）在統計物理學中表現為兩個等式：

于是式（16）和式（17）化簡為：

當 pl→∞，γ→∞，nl，el→1；當 pl→0，γ→0，nl，el→0，符合洛倫茲曲線的要求。

根據以上的關系式，并不能直接得到nl與el的關系式，但利用Matlab軟件可以給出其相應的關系曲線。視γ為參數，圖2描繪了nl，el與γ的函數曲線，其中實線表示nl與γ的關系，虛線表示el與γ的關系。圖3即是根據參數關系式（21）和式（22）由Matlab軟件給出的el與nl的函數關系曲線，即平衡態系統的洛倫茲曲線。

圖2 nl，el與γ的函數曲線

圖 3el與nl的函數關系曲線

使用Matlab軟件將nl20等分，可以找到其對應的el的值，見表1。如此可以用下面數據依據張建華給出的計算基尼系數的方法[12]來得到基尼系數。

表1 nl與el的20等分對照表

現在來計算基尼系數。按照國際上通用的五分法來計算，可得到基尼系數為：

用十等分和二十等分的數據得到的結果分別為：

用Matlab在圖3的基礎上，將nl10000等分，用插值法計算的結果為：

2 社會系統類比玻爾茲曼系統的幾點說明

首先說明玻爾茲曼統計描述的系統的幾個主要方面：

（1）系統由大量粒子組成，粒子數在1023數量級。

（2）系統處于平衡態，粒子數與能量不變。

（3）系統達到平衡態是通過自發的熱運動。

（4）粒子之間通過碰撞傳遞能量，除此之外，別無其他相互作用。

（5）系統滿足等概率原理和最概然分布。

等概率原理表明粒子與粒子之間是平權的，最概然分布是滿足最大多數，基本上是全部狀態出現的要求。

社會系統的幾點說明：

（1）系統由全部人口組成，但國民收入分配不只以人為分配單位，收入的一部分給了地租，這一部分由土地的擁有者獲得。

（2）在一定時間內，全部人口及全部國民收入基本穩定，不會出現躍變。

（3）系統的穩定，不僅表現在人的主觀性上，還表現在國家的調控上，而且國家的控制對于穩定起到非常重要的作用。

（4）人與人之間的關系是相當復雜的，可以說，人的社會就是一個關系的社會，人與人之間的連帶關系對于人的發展及收入分配有著決定性的作用。

（5）一般來說，除去特殊情況，人與人并不存在本質上的區別，無所謂天生的高與低，無論從生理上，還是智力上，人與人之間，除了“編號”，并沒有什么不同。人一出生，從不曾就定下層級，定下能力，限制將來的所作所為。每個人都必須是平等的，每個人獲得每種生活品質，得到任何一種分配報酬都是一樣的可能性，就像玻爾茲曼系統的粒子，它們處在任何一個能級的概率都是一樣的，在某個時間點是不公平的，但在全部時間內一定是平均的。

關于兩個系統的共性，做一些類比，改變人類系統不同與自然系統的特點，可以將二者統一對待，自然系統的最佳基尼系數就是人類系統的最佳基尼系數，這也就是本文的目的。

（1）國民總收入類比于系統總能量。

（2）個人和土地類比于粒子，粒子是能量的載體，個人和土地是收入的載體，土地的收入會歸在個人身上，但土地的歸屬可變，每個人擁有任何一塊土地都是一樣的可能性。

（3）個人按收入的分布類比于玻爾茲曼分布。本文認同人與人是平等的，每個人處在每一種生活狀態的概率都是一樣的，即已是類比了等概率原理和最概然分布。

雖然已經做了類比，但還有幾個方面需要說明。在上文指出，社會系統與自然有很大不同，這些不同從根本上區別了社會系統與自然系統。自然系統是我們無法改變的，自然原理就是存在法則，自然規律就是自然界的憲法，任何存在都不可能違背該憲法，自然的存在就是對自然憲法最好的適應。既然平衡態系統是自然規律要求下達到的最終的狀態，它無疑就是最佳的狀態，這也是上文算出的基尼系數就是最佳值的原因。那么，如何改變社會系統，以使其達到最佳狀態呢？參照前面給出的不同，本文提出如下幾點意見：

（1）保證人與人之間的平等。這里主要包括兩個方面的平等：第一，出生的平等，包括人的出生不帶著先天的缺陷，人權上的平等，社會和政治上的平等。第二，發展的平等，包括成長環境的平等、教育的平等、公共資源分配的平等。

（2）國家憲法，這是類比于自然憲法而言的。個人在社會的合理存在必須遵從憲法原則，違背自然規律的現象是不可能存在的。前提是國家憲法必須合理有效。

（3）人與人之間的關系是最大的不同，這點似乎不可能克服。消除或者降低人與人的連帶關系，也就是使個人的主觀性在某個事態中不能起主要作用，那么，一切依照準則、規章、法律和制度，則能強調法律的作用，弱化人的干預。

3 結論

本文基于玻爾茲曼系統求得其基尼系數，并以社會系統擬合熱力學系統，探求收入分配的理論最佳。本文得到這個值近似于在數值上，這與胡祖光和洪興建給出的值一致。但他們并沒有將問題說清楚。主要有以下幾個方面：（1）為什么這個值是最佳值。（2）相應的分布也即洛倫茲曲線是如何的。（3）這樣的分布在現實中的意義。（4）政府應該怎么做。下面來回答這幾個問題。第一，平衡態是熱力學系統發展的最終狀態，它是在最大限度滿足各種狀態的出現的前提下實現的，等概率原理的假設完全滿足了粒子與粒子之間的平等要求，這種平衡態是系統發展的理想狀態，它所對應的基尼系數就是最佳值。社會系統不同于熱力學系統，但熱力學系統可視為社會系統一種簡化的、理想的模型，因此熱力學平衡態對社會系統具有一定的參考和指導價值，所以說是社會系統基尼系數的理論最佳值。第二，同一收入水平的人群數量與收入量的關系應滿足玻爾茲曼分布函數，即式（1）。相應的洛倫茲曲線如圖3所示。第三，該分布是在一定約束條件下的最概然分布，該分布表示在整體上，在人人平等的前提下，最大限度實現了公平。這也是玻爾茲曼系統帶給我們的啟示：真正的公平，決不是收入上的絕對平均，更不可能是收入上的絕對不平均，人與人的收入在本質上就一定會存在一定階梯。那么什么才是真正的公平？玻爾茲曼系統告訴我們，本質上的公平就是粒子與粒子之間屬性的相同，它們之間除了可區分的“編號”，都是一樣的，都是平等的。也就是說，社會的公平，本質上在于人與人屬性的相同，在生理、智力、環境、政治上，除了個人的“編號”，人與人都是一樣。那么，這也就為國家更好地成為人民的保護傘提供了指導方向。第四，國家的存在，就是要盡可能的保證和促使人與人之間達到屬性上的一致，身體上都是一樣的健康，也就是醫療配置上的合理；智力上一樣的發達，即教育資源上公平，本文認為這個最為關鍵，個人在意識上認同了人與人的平等，那么就能更好地發揮人的主動性，更好地認識、接受和適應本質上收入不平均的社會狀態，更好地追求一切皆平等概率的社會生活可能。不存在怎樣的主宰者賦予一些人高質量高收入的權利，也不存在一些人就應該長久待在社會最底層的限制。就業上一樣的待遇，沒有連帶關系，沒有主觀差異；政治上享受同等的權利和盡責同等的義務。

[1]逄錦聚，洪銀興，林崗，劉偉等.政治經濟學（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003．

[2]龔紅娥.基尼系數及其實際應用[J].市場與人口分析，2002，8(6)．

[3]莊健，張永光.基尼系數和中等收入群體比重的關聯性分析[J].數量經濟技術經濟研究，2007，(4).

[4]成邦文.基于對數正態分布的洛倫茲曲線與基尼系數[J].數量經濟技術經濟研究，2005，(2).

[5]張順，郝卉，韓書平，林道榮.基于廣義χ2分布的洛倫茲曲線簡潔模型[J].數學的實踐與認識，2015，45(3)．

[6]胡祖光.基尼系數理論最佳值及其簡易計算公式研究[J].經濟研究，2004，(9)．

[7]洪興建.基尼系數合意值和警戒線的探討[J].統計研究，2007，24(8)．

[8]歐陽葵.理論基尼系數及其社會福利含義的討論[J].統計研究，2011，28(5)．

[9]汪志誠.熱力學統計物理（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008．

[10]王錦功.概率積分在整個區間上的近似公式[J].吉林大學自然科學學報，1981，(4)．

[11]劉清珺，陳婷，陳舜琮，劉清.正態分布近似計算公式及其在實驗結果中的應用[J].現代測量與實驗室管理,2009，(9)．

[12]張建華.一種簡便易用的基尼系數計算方法[J].山西農業大學學報（社會科學版）,2007，6(3)．

（責任編輯/易永生）

F224.7

A

1002-6487（2016）24-0019-04

郭 軍（1990—），男，山西太原人，碩士研究生，研究方向：統計物理。馮玉廣（1954—），男，山西長治人，教授，研究方向：統計物理。