高考函數命題的新動向
——函數中的五點

張德文● 陳 亮●

湖南省瀏陽市第一中學(410300)

高考函數命題的新動向
——函數中的五點

張德文● 陳 亮●

湖南省瀏陽市第一中學(410300)

函數是貫穿中學數學的一條主線，是學好高等數學的基礎，每年的高考對函數問題的考查所占的比例都很大，可以說是常考常新.其中涉及函數的零點、極值點、拐點、不動點、穩定點的問題，是高考命題的新動向；是考查函數知識的一個新“亮點”.下面舉例說明，旨在總結這部分試題的考題類型，并揭示解決此類問題的方法與規律.

一、函數的零點

函數零點的定義：對于函數y=f(x)，把f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.函數零點的判定的常用方法有:(1)零點存在定理;(2)數形結合;(3)解方程f(x)=0.

例1 (2016年全國高考壓軸題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.(Ⅰ)求a的取值范圍；(Ⅱ)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

解 (Ⅰ)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(ⅰ)設a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點.

(ⅲ)設a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

綜上，a的取值范圍為(0,+∞).

(Ⅱ)不妨設x1f(2-x2),即f(2-x2)<0.

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex).所以當x>1時，g′(x)<0,而g(1)=0,故當x>1時，g(x)<0.從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.

二、函數的極值點

定義 設函數y=f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點都有f(x)f(x0)則稱f(x0)為y=f(x)的一個極小值，點(x0，f(x0))為y=f(x)的一個極小值點.極大值點和極小值點統稱極值點.對于可導函數，若x0為極值點，則f′(x0)=0

例2 設x=1和x=2是函數f(x)=x5+ax3+bx+1的兩個極值點.(Ⅰ)求a、b的值； (Ⅱ)求f(x)的單調區間.

解 (Ⅰ)f′(x)=5x4+3ax2+b,由假設知f′(1)=5+3a+b=0,f′(2)=24×5+22×3a+b=0.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=5x4-25x2+20=5(x2-1)(x2-4)=5(x+1)(x+2)(x-1)(x-2).

當x∈(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)時，f′(x)>0，當x∈(-2,-1)∪(1,2)時，f′(x)<0.

因此f(x)的單調增區間是(-∞,-2),(-1,1),(2,+∞),f(x)的單調減區間是(-2,-1),(1,2).

三、函數的拐點

對于函數y=f(x)，做如下定義：設f″(x)是函數y=f(x)的導數y=f′(x)的導數，若方程f″(x)=0有實數解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”.

例3 已知三次函數y=ax3+bx2+cx+d的圖象過點(0，2)，在x=1處的切線方程為：y=10x-3，且f″(1)=12.請解答以下問題：

(1)求函數y=f(x)的解析式及“拐點”P的坐標；

(2)檢驗y=f(x)的圖象是否關于“拐點”P對稱；

(3)證明：①任何一個三次函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)均存在拐點.②猜測：任何一個三次函數是否一定存在對稱中心？若存在，請寫出對稱中心的坐標，不需證明；若不存在，請舉一反例.

∴y=x3+3x2+x+2.再由f″(x0)=0得6x0+6=0，∴x0=-1.故P(-1，3).

(2)設A(x，y)為y=f(x)圖象上一點，則A關于P對稱點的坐標是(-2-x，6-y)，只需驗證f(-2-x)+f(x)=6即可.由f(-2-x)+f(x)=(-2-x)3+3(-2-x)2+(-2-x)+2+x3+3x2+x+2=6，故y=f(x)圖象關于P對稱.

評注 本例實際上是把高等數學中的函數圖象的“拐點”，用中學生能夠理解的形式表述出來，這體現著在知識的接合點命題的思想.

四、函數的不動點

例4 (北京大學理科實驗班入學考試題)f(x)的定義域是R，若c∈R使f(c)=c，則稱c是f(x)的一個不動點.設f(x)的不動點數目是有限多個，下述命題是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一個例子說明.

?? (1)f(x)是奇函數，則f(x)的不動點數目是奇數；(2)f(x)是偶函數，則f(x)的不動點數目是偶數.

解析 由新定義可知，函數f(x)的不動點個數就是函數y=f(x)與y=x的圖象交點的個數.由于情境比較陌生，不妨先考慮兩個特殊函數(如y=x3及y=1)的情形，顯然y=x3與y=x的圖象有三個交點，因而猜想(1)正確，進而考慮證明它正確；而y=1與y=x的圖象僅有一個交點，故(2)不正確.

(1)正確.證明如下：∵f(x)為奇函數，且x∈R,∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.因此0是f(x)的一個不動點.假設c≠0是f(x)的不動點，則由定義知f(c)=c.又因為f(x)是奇函數，所以f(-c)=-f(c)=-c,因此-c也是f(x)的不動點.顯然c≠-c，這表明f(x)的非0不動點如果存在，則必成對.又根據題設知f(x)只有有限個不動點，因此f(x)的不動點數目為奇數.

(2)不正確.例如，f(x)=1是偶函數，設c是f(x)=1的不動點，則一方面f(c)=c，另一方面f(c)=1，由此得c=1.因此f(x)=1有且只有一個不動點.故命題不正確.

五、函數的穩定點

例5 對于函數f(x)，若f(x)=x，則稱x是f(x)的“不動點”;若f(f(x))=x，則稱x是f(x)的“穩定點”.函數f(x)的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f(x)=x}，B={x|f(f(x))=x}.

(1)求證：A?B;(2)若f(x)=ax2-1(a∈R，x∈R)，且A=B≠?，求實數a的取值范圍.

證明 (1)若A=?，則A?B，顯然成立；

若A≠?，設t∈A，則f(t)=t，f(f(t))=f(t)=t,

即t∈B，從而A?B.

(2)A中元素是方程f(x)=x即ax2-1=x的實根.

B中元素是方程a(ax2-1)2-1=x，即a3x4-2a2x2-x+a-1=0的實根.

由A?B知，上述方程左邊含有一個因式ax2-x-1，即方程可化為(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0

因此要A=B，則方程a2x2+ax-a+1=0①要么沒有實根，要么實根是方程ax2-x-1=0②的根.

若①沒有實根，則Δ=a2-4a2(1-a)<0，由此解得a<3/4,若①有實根，則①的實根是②的實根，由②有a2x2=ax+a,代入①，有2ax+1=0，由此解得x=-1/2a.

故a的取值范圍是[-1/4，3/4].

C.電容器的電容為kmgd/U2

D.將極板N向下緩慢移動一小段距離，油滴將向上運動

例4 如圖4所示，正三角形abc區域內有勻強磁場，方向垂直于紙面向里，在斜上方有一與邊ac平行的屏.正三角形邊長為L，且ab邊豎直.質量為m、電荷量為+q的粒子，以大小為v0的速度與ab邊成30°角垂直射入磁場后從ac穿出，并以與屏成30°角方向打在屏上，不計粒子所受的重力.則關于磁場的磁感應強度的可能值為( ).

例5 有一平行板電容器，內部為真空，兩個極板的間距為d，極板長為L，極板間有一勻強電場，U為兩極板間的電壓，電子從極板左端的正中央以初速度v0射入，其方向平行于極板，并打在極板上的D點，如圖5所示.電子的電荷量用e表示，質量用m表示，重力不計.求：(1)電子打到D點時的動能；(2)D點與電子出發點間的水平距離；(3)電子的初速度必須滿足什么條件，電子才能飛出極板.

解析 (1)設電子打到D點時的動能為Ek，

(3)設電子剛好能打到極板邊緣時的入射初速度為v，L=vt， ⑥

例6 如圖6所示，在半徑為R的圓形區域內有水平向里的勻強磁場，圓形區域右側距離圓形區域右邊緣距離為d處有一豎直感光板.圓形區域上側有兩塊平行金屬極板，金屬極板上側有一粒子源，粒子源中可以發射速度很小的質量為m的2價陽離子(帶電荷量為+2e)，離子重力不計.(1)若離子從圓弧頂點P以速率v0平行于紙面進入磁場，求在兩塊平行金屬極板間所加的電壓U；(2)若離子從圓弧頂點P以速率v0對準圓心射入，若它剛好從圓形區域右側射出，垂直打在豎直感光板上，求圓形區域內磁場的磁感應強度B；(3)若圓形區域內磁場的磁感應強度為B，離子以某一速度對準圓心射入，若它從圓形區域右側射出，以與豎直感光板成60°角的速度打在豎直感光板上，求它打到感光板上時的速度v的大小；(4)若在圓形區域右側加上豎直向下的勻強電場，電場強度為E，粒子從圓弧頂點P以速率v0對準圓心射入，運動一段時間后水平射出磁場，求離子打在MN上的位置距離圓形區域圓心O的豎直高度h.

G632

B

1008-0333(2016)34-0023-02