高中數學重要的思想方法
——函數與方程思想

江蘇省淮陰師范學院附屬中學 竇劍眉

高中數學重要的思想方法
——函數與方程思想

江蘇省淮陰師范學院附屬中學 竇劍眉

函數與方程思想是高中數學中一種重要的思想方法，也是高考考查的重要思想方法之一。 函數與方程思想以函數知識做基石，用運動變化的觀點分析、研究數學對象間的數量關系，使函數知識的應用得到極大的擴展，豐富并優化了數學解題活動，給數學解題帶來很強的創新能力。 因此，函數與方程思想越來越成為數學高考中長考不衰的熱點。

函數思想；方程思想；轉化；應用

函數與方程思想就是高中數學的常用思想方法之一，也是歷年高考長考不衰的熱點。函數思想與方程思想的聯系十分密切，解方程f(x)=0，就是求函數y=f(x)當函數值為零時自變量x的值；求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個數，就是求函數y=f(x)與y=g(x)的圖像的交點或交點個數；參數方程更具有函數因素，屬于能隨參數的變化而變化的動態方程。它所研究的數學對象已經不是一些孤立的點，而是具有某種共性的幾何曲線。 正是這些聯系，促成了函數與方程思想在數學解題中的互化互換，豐富了數學解題的思想寶庫。

下面我將結合平時的教學實踐，對“函數與方程”在解題中的運用及其求解策略進行初步分析，以期起到拋磚引玉的作用。

一、 函數與方程思想在應用時的相互轉化

例1 如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范圍。

【分析】：可分離變量為a＝－cos2x＋sinx，轉化為確定的相關函數的值域。

解法一：把方程變形為a＝－cos2x＋sinx。

設f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，])。顯然當且僅當a屬于f(x)的值域時，a＝f(x)有解。

易求得f(x)的值域為(－1，1]。

解法二：令t＝sinx，由x∈(0，]，可得t∈(0，1]。將方程變為t2＋t－1－a＝0。

依題意，該方程在(0，1]上有解。設f(t)＝t2＋t－1－a。

其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸t＝－。

【評注】研究此類含參數的三角、指數、對數等復雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一是分離參數構建函數，將方程有解轉化為求函數的值域；二是換元，將復雜方程問題轉化為熟悉的二次方程，進而利用二次方程解的分布情況構建不等式或構造函數加以解決。

二、 函數與方程思想在求最值或參數范圍中的應用

【分析】參數a隱含在一個復雜的復合函數的表達式中，欲直接建立關于a的不等式（組）非常困難，故應轉換思維角度，設法從原式中把a分離出來，重新認識a與其他變元(x)的依存關系，利用新的函數關系，常可使原問題“柳暗花明”。

三、函數與方程思想在數列問題中的應用

例3 設等差數列{an}的前n項的和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0 。

①求公差d的取值范圍； ②指出S1、S2、…、S12中哪一個值最大，并說明理由。

【分析】： ①問利用公式an與Sn建立不等式，容易求解d的范圍；②問利用Sn是n的二次函數，將Sn中哪一個值最大，變成求二次函數中n為何值時Sn取最大值的函數最值問題。

【評注】數列的通項公式及前n項和公式實質上是定義在自然數集上的函數，因此可利用函數思想來分析或用函數方法來解決數列問題。也可以利用方程的思想，設出未知的量，建立等式關系即方程，將問題進行算式化，從而簡潔明快。由此可見，利用函數與方程的思想來解決問題，要求靈活運用、巧妙結合，發展了學生思維品質的深刻性、獨創性。

總之，綜觀高中數學，函數的圖象及性質在解題中的應用非常廣泛，而函數與方程思想是高中數學最重要也是最常用的思想方法之一，在解題中數學老師要做好函數與方程關系的揭示與轉化，啟發學生深刻認識數學問題的實質——數學知識的精髓，才能將知識轉化為能力，才能提高學生靈活運用函數與方程思想解決問題的能力。