2018年高考數(shù)列經(jīng)典問(wèn)題聚焦

■陜西省洋縣中學(xué) 劉大鳴（特級(jí)教師）

2018年高考對(duì)數(shù)列主要是圍繞“等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和、一般數(shù)列的切入點(diǎn)的應(yīng)用、累加法與錯(cuò)位相減法求和進(jìn)而求通項(xiàng)、公式法求和、裂項(xiàng)用公式求和、裂項(xiàng)相消法求和、數(shù)列中存在性問(wèn)題的探究證明以及參數(shù)范圍的求解”等展開(kāi)的,凸顯了數(shù)列的工具性和應(yīng)用性以及創(chuàng)新性。

聚焦1 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題

例1 （2018年全國(guó)卷Ⅱ理17）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15。

（1）求{an}的通項(xiàng)公式;

（2）求Sn,并求Sn的最小值。

解析：借助等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式構(gòu)建方程組求通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,再用兩種思維方法探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值。

（1）設(shè){an}的公差為d,由題意得3a1+3d=-15。由a1=-7得d=2。所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9。

變式1 （1）（2018年全國(guó)卷Ⅰ理4）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=（ ）。

A.-12 B.-10

C.10 D.12

（2）（河北衡水中學(xué)2018屆高三第2次調(diào)研）已知數(shù)列{an}中,a1=25,4an+1=4an-7,若其前n項(xiàng)和為Sn,則Sn的最大值為。

聚焦2 等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的應(yīng)用

例2 （2018年全國(guó)卷Ⅲ理17）等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3。

（1）求an的通項(xiàng)公式;

（2）記Sn為an的前n項(xiàng)和,若Sm=63,求m。

解析：可利用等比數(shù)列的基本量法構(gòu)建方程組待定通項(xiàng),利用求和公式分類待定參數(shù)值。

（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由題設(shè)a1=1得an=qn-1。由a5=4a3得q4=4q2,解得q=0（舍去）,q=-2或q=2。故an=（-2）n-1或an=2n-1。

若an=2n-1,則Sn=2n-1。由Sm=63得2m=64,解得m=6。

綜上可知,m=6。

反思：等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）的問(wèn)題,有意識(shí)地應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,我們應(yīng)該注意做到“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”。

變式2 （2018年全國(guó)卷Ⅰ文17）已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2（n+1）an,設(shè)

（1）求b1,b2,b3;

（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由;

（3）求{an}的通項(xiàng)公式。

聚焦3 利用等比（或等差）數(shù)列前n項(xiàng)和與項(xiàng)之間的關(guān)系簡(jiǎn)化求解問(wèn)題

例3 （2018年全國(guó)卷Ⅰ理14）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Sn=2an+1,則S6=。

解析2：利用一般數(shù)列的切入點(diǎn)探究遞推關(guān)系,根據(jù)Sn=2an+1,當(dāng)n≥2時(shí)可得Sn-1=2an-1+1,兩式相減整理得an=2an-1（n≥2）。當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=2a1+1,得a1=-1。所以數(shù)列{an}是以-1為首項(xiàng),以2

反思：一般數(shù)列的切入點(diǎn)為an=應(yīng)用中凸顯方程組觀念及降元意識(shí)和分類討論的方法,但一定要檢驗(yàn)n=1時(shí)是否滿足n≥2時(shí)的式子。利用結(jié)論“若Sn=kan+b,則{an}為等比數(shù)列;若Sn=,則{an}為等差數(shù)列”可尋求簡(jiǎn)化解題的突破口。

變式3 （1）（2018年河南林州一中調(diào)研）數(shù)列{an}中,已知對(duì)任意正整數(shù)n,有a1+a2+a3+…+an=2n-1,則+…+=（ ）。

（2）（福建泉州市2017—2018學(xué)年高三上學(xué)期期末）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an＞0,2Sn=an2+an。若不等式2Sn+9≥（-1）nkan對(duì)任意的n∈N*恒成立,則k的取值范圍是 。

（2）由上面結(jié)論和題意知an為等差數(shù)列。當(dāng)n=1時(shí),2a1=+a1,因?yàn)閍n＞0,所以a1=1。當(dāng)n=2時(shí),2（a1+a2）=+a2,因?yàn)閍1=1,an＞0,所以a2=2。當(dāng)n=3時(shí),2（1+2+a3）=+a3,因?yàn)閍n＞0,所以a=3。故a=n。由于2S

3nn+9≥（-1）nkan（n∈N*）,可得:n2+n+9≥（-1）nkn。

易得,當(dāng)n≤3時(shí),cn＜cn-1;當(dāng)n≥4時(shí),cn＞cn-1。

所以,有c1＞c2＞c3=7＜c4=7.25＜c5＜…。

綜上可得,k的取值范圍是[-7,7.25]。

聚焦4 裂項(xiàng)用公式求特殊數(shù)列的和

例4 （2018年天津文18）設(shè){an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）;{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為T(mén)n（n∈N*）。已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6。

（1）求Sn和Tn;

（2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn,求正整數(shù)n的值。

解析：可采用基本量法構(gòu)建方程組求通項(xiàng)進(jìn)而求和,依據(jù)和式的特征裂項(xiàng)直接用公式求和待定參數(shù)。

（1）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0。

因?yàn)閝＞0,可得q=2,故bn=2n-1。所

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d。由b4=a3+a5,可得a1+3d=4。由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,從而解得a1=1,d=1,故

（2）由（1）知T1+T2+T3+…+Tn=（21+22+23+…+2n）-n=2n+1-n-2。

由Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn

整理得n2-3n-4=0,解得n=-1（舍去）,或n=4。所以n的值為4。

反思：對(duì)于特殊數(shù)列求和,應(yīng)依據(jù)通項(xiàng)選擇不同的方法,當(dāng)通項(xiàng)為多項(xiàng)式時(shí)常常裂項(xiàng)用等差或等比數(shù)列求和公式求和。

（1）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并求出bn;

（2）求T2n。

聚焦5 裂項(xiàng)相消法求特殊數(shù)列的和

例5 （2018年天津理18）設(shè){an}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）,{bn}是等差數(shù)列。已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6。

（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式。

（2）設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n（n∈N*）。

（i）求Tn;

解析：可采用基本量法構(gòu)建方程組求通項(xiàng),通項(xiàng)為分式的數(shù)列求和,裂項(xiàng)相消法求和證明等式。

（ii）通項(xiàng)為分式,可從通項(xiàng)部分分式裂為兩項(xiàng)切入。將bk=k,Tk=2k+1-k-2代入,得:

反思：通項(xiàng)為分式的數(shù)列求和,常選用對(duì)通項(xiàng)部分分式裂為兩項(xiàng),然后重新將數(shù)列和的每一項(xiàng)裂為兩項(xiàng),展開(kāi)后構(gòu)成n-1個(gè)零,進(jìn)而求出數(shù)列的和。常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式有:

解析：（1）

由已知Sn=2an-2和Sn-1=2an-1-2（n≥2）可得an=2an-1（n≥2）,即數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列,賦值可得到a1=S1=2a1-2,a1=2,故an=2n。

聚焦6 一般數(shù)列的切入點(diǎn)應(yīng)用與錯(cuò)位相減法求和

例6 （2018年浙江20）已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng)。數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{（bn+1-bn）an}的前n項(xiàng)和為2n2+n。

（1）求q的值;

（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式。

解析：詳細(xì)解答請(qǐng)參考本期第38～39頁(yè)《降低重心 提升素養(yǎng)——談數(shù)列學(xué)習(xí)與問(wèn)題求解》一文的例4。

反思：本題是將一般數(shù)列的切入點(diǎn)、等差數(shù)列求通項(xiàng)的方法與錯(cuò)位相減法有機(jī)地進(jìn)行了交匯。用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意:（1）要善于識(shí)別題目類型,如等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的數(shù)列;（2）在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”相減;（3）若公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論求解。

變式6 （2018年河北唐山二模）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=（2n-1）an,且a1=1。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（2）若bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

聚焦7 數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的交匯

例7 （2018年江蘇20）設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,{bn}是首項(xiàng)為b1,公比為q的等比數(shù)列。

（1）設(shè)a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1對(duì)n=1,2,3,4均成立,求d的取值范圍。

（2）若a1=b1＞0,m∈N*,q∈（1,m2],證明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1對(duì)n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范圍（用b1,m,q表示）。

解析：可先利用等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和題設(shè)賦值構(gòu)建不等式組求公差的范圍,再依據(jù)題設(shè)和目標(biāo)意識(shí)解絕對(duì)值不等式得到d的區(qū)間范圍,構(gòu)造區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)研究最值進(jìn)而求解。

（1）由條件知:an=（n-1）d,bn=2n-1。因?yàn)閨an-bn|≤b1對(duì)n=1,2,3,4均成立,即|（n-1）d-2n-1|≤1對(duì)n=1,2,3,4均成立,賦值構(gòu)建不等式組求交集:

（2）存在性證明只需找到一個(gè)即可,由條件知:an=b1+（n-1）d,bn=b1qn-1。若存在d,使得|an-bn|≤b1（n=2,3,…,m+1）成立,即|b1+（n-1）d-b1qn-1|≤b1（n=2,3,…,m+1）成立。

設(shè)f（x）=2x（1-x）,當(dāng)x＞0時(shí),f'（x）=（ln2-1-xln 2）2x＜0。

反思：存在性問(wèn)題的證明只需找到一個(gè)即可,對(duì)于存在性參數(shù)范圍問(wèn)題,常常通過(guò)解絕對(duì)值不等式求交集求解,復(fù)雜的通過(guò)解不等式得到參數(shù)的上下限,選主元構(gòu)造上下限的函數(shù),借助定義法（作差或作商）和構(gòu)造函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值,進(jìn)而確定存在性參數(shù)范圍,凸顯了數(shù)列中的“代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)導(dǎo)數(shù)及不等式”的綜合應(yīng)用以及“探究與創(chuàng)新”解決新穎問(wèn)題的能力。

變式7 （2018年浙江10）已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）。若a1＞1,則（ ）。

A.a1＜a3,a2＜a4B.a1＞a3,a2＜a4

C.a1＜a3,a2＞a4D.a1＞a3,a2＞a4

解析：先證不等式x≥ln x+1,再確定公

比的取值范圍,進(jìn)而作出大小判斷。

若公比q＞0,則a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3＞ln（a1+a2+a3）,不合題意。

若公比q≤-1,則a1+a2+a3+a4=a1（1+q）（1+q2）≤0,但ln（a1+a2+a3）=ln[a1（1+q+q2）]≥ln a1＞0,即a1+a2+a3+a4≤0＜ln（a1+a2+a3）,不合題意。

因此-1＜q＜0,q2∈（0,1）,故a1＞a1q2=a3,a2＜a2q2=a4＜0,應(yīng)選B。