聯想，讓解題更自然
——一道三角形中三角問題的解題教學探究

☉江蘇省南通市天星湖中學 葛建華

聯想，讓解題更自然
——一道三角形中三角問題的解題教學探究

☉江蘇省南通市天星湖中學 葛建華

三角問題是高考數學中的必考問題，在填空題和解答題中都有體現，常常被認為只需掌握三角公式和幾個定理即可，但實際上在解題時，如果角度選得不對，往往繞半天也解不出結果.最近筆者在整理高三必考問題時，發現一道三角形中的三角問題，與學生一起多角度探討并進行了有效拓展研究，再現當時的過程，與同行探討.

一、問題呈現

題目：在△ABC中，角A，B，C滿足lgtanA+lgtanC= 2lgtanB，則角B的取值范圍是__________.

二、師生探討

（一）閱讀問題，嘗試解題

讓學生仔細閱讀題目，并認真分析，稍給一點時間做一些思考，嘗試獨自解決.由于題干比較簡短，學生似乎馬上就讀懂了，也匆匆就下手解題了.

師：此題中條件有何特點？怎么處理？有什么注意的？問題的解決需要先解決何問題？

生1：條件是含對數的等式，首先要去掉對數，真數均為正，在三角形中，可知三個內角都是銳角，再找與角B有關的條件進行轉化.

對學生給予肯定后，發現學生馬上就能得到tanA· tanC=tan2B，但接下來似乎很難往下繼續了.

（二）深入問題，把握本質

師：三角形中角可以由什么來刻畫即角具有什么本質？求角B的范圍，應先求什么？注意什么？

生2：三角形中的角是三角形本身決定的，本質上某個角可由其他的角來刻畫或由邊來刻畫.常常是先求角B的某個函數（如tanB或sinB或cosB）的范圍，注意三角形的形狀和角的大致范圍，再結合條件求出角B的準確范圍.

（三）多角度研究，尋求解答

師：根據三角形中角的本質，可以從什么角度研究？對式子tanA·tanC=tan2B又如何處理？

生3：可以從角或邊的角度來考慮了.由于是正切的式子，所以可以從函數名角度分析應該有兩個角度：切化弦和直接用正切解決.

1.切化弦角度

生4：可以將正切化為正余弦，再運用積化和差公式，利用內角和A+B+C=π將三個角進行轉化，求sinB或cosB的范圍，再求出角B的準確范圍.

解法一：由題可知，tanA·tanC=tan2B，切化弦得，整理得cos（A+C）=cos（A-C）cos2B，從而有-cosB=cos（A-C）（2cos2B-1），即由題易得

小結：將對數運算等價轉化后，由正切聯想商數關系，采用“切化弦”的策略，利用余弦函數的有界性求范圍，角本身的范圍也是一個不容忽視的方面.

2.角化邊角度

師：三角形中角的正余弦除了利用三角公式解決外，還能借助三角形中其他元素來解決嗎？求cosB的范圍還可以利用什么來解決？

生5：可利用正余弦定理，將角轉化為邊來處理，借助于邊的關系求出cosB的范圍.

解法二：由題可知，tanA·tanC=tan2B，切化弦得利用正余弦定理可得化簡得從而因此可得角B的取值范圍是

師：試比較解法一和解法二，各有什么優缺點？

生6：在三角形中，實現邊角互化是解決問題的常用方法，對于解法一需要三角公式準確變形，簡潔；解法二利用角化邊處理，避免了三角公式，需要代數運算變形，有時可能比較煩瑣.

3.方程角度

師：從正切角度如何解決？可否從正切有關的三角公式入手？

生7：有兩角和的正切公式，可以很容易得到tan（A+ C）=-tanB，再求出tanB的范圍，從而可求出角的范圍，但接下來似乎不容易轉化，不知從哪個角度解決.

讓學生把能得到的寫出來觀察，再將得到的結論進行變式，于是得到tanA·tanC=tan2B，①tanA+tanC=-tanB·（1-tan2B）.②

師：觀察①②式，將tanA，tanC的和與積都表示成了含tanB的式子，我們會聯想到什么？

生8：韋達定理，所以可以把tanA，tanC看成某個二次方程的兩個根，再利用二次方程根的分布解決.

解法三：由題可知，tanA·tanC=tan2B，由tan（A+C）=可知tanA+tanC=tan（A+C）（1-tanAtanC），所以tanA+tanC=-tanB（1-tan2B），從而tanA，tanC可看成方程x2+tanB（1-tan2B）x-tan2B=0的兩個根，且由題可知均大于0，故

小結：借助兩角和的正切公式的變式建立了tanA· tanC與tanA+tanC和tanB的關系，聯想到二次方程中韋達定理，從而轉化為含tanB的方程的根，再利用二次方程有兩正根的等價條件解題.

4.數列角度

師：觀察tanA·tanC=tan2B左右兩邊的結構形式，還能聯想到什么？

生9：tanA，tanB，tanC成等比數列，可以借助等比數列的知識來解決.

解法四：由題可知，tanA·tanC=tan2B，故tanA，tanB， tanC成等比數列，設公比為q（q＞0），則qtanB.

小結：從式子的結構形式聯想到等比數列，再巧妙地利用數列知識將角A、C轉化為公比q和角B的正切，從而得出tanB的范圍得出結果.

5.基本不等式角度

師：重新審視tanA·tanC=tan2B和tanA+tanC=-tanB·（1-tan2B），從和與積之間的關系，我們還會聯想到什么知識來求出tanB的范圍？

生10：可以利用基本不等式，直接建立關于tanB的不等式.

解法五：由題可知，tanA·tanC=tan2B，而tanA+tanC= tan（A+C）（1-tanAtanC）=-tanB（1-tan2B），由題易得tanA＞ 0，tanC＞0，tanB＞0，所以2|tanB|=2tanB，從而有-tanB（1-tan2B）≥2tanB，不難得出從而得到角B的取值范圍是

小結：由三個正數tanA、tanB、tanC與等式的形式（和積式）聯想到可用基本不等式建立tanB的不等式.

6.減元思想角度

師：剛才我們從三角形中三角知識角度，三角公式及其變式角度進行了思考，進行多角度研究，那么對于多元的等式關系求某個變量的范圍問題，能否從數學思想角度考慮呢？

張明楷教授認為：民眾的輿論與社會的穩定密切相關，當民眾普遍認為一個罪犯應當判處死刑，由于沒有判處死刑而引起公憤時，決策機構總會擔心民眾在輿論上的公憤轉化為現實社會秩序的不穩定，因而要求對罪犯判處死刑，從而平民憤，保穩定[5]543-556。這說明，在適用死刑的過程中，大眾的普遍心理預期直接影響到了刑罰的確定。

生11：我們要求角B的范圍，可以消去角A或角C，但利用內角和關系只可以消去一個角，故可以消去角C，從而得到一個關于角A和角B的方程，再利用方程的根的問題來解決.

解法六：由題可知，tanA·tanC=tan2B，即tanA·［-tan（A+B）］=tan2B，所以整理可得tan2A+（tanB-tan3B）tanA+tan2B=0，從而關于tanA的方程在 （0，+∞） 上至少一根，故可得從而不難得到角B的取值范圍是

小結：多元問題從數學思想角度不難聯想到減元思想，在三角形中利用內角和進行消元使得三元變兩元，再將兩變量分別看成未知量和參數構造方程來解決.

7.特殊化角度

師：作為填空題，可否“猜”結果呢？

生12：從tanA·tanC=tan2B中發現角A和C地位相同，可以令A=C來探求角B的最值.

解法七：由tanA·tanC=tan2B，令A=C得tanAtanA= tan2B，可知tanA=tanB，即從式子本身來看，角B是中間角，此處最值應該為最小值，由于三角都為銳角，故可猜得角B的取值范圍是

（四） 方法總結，比較反思

讓學生回顧此題的解決角度和途徑，并比較各種解法的優劣，總結解決此類問題的常規有效的方法.

小結：對于給出條件關系求角的范圍問題，要善于觀察并靈活運用三角公式，往往先求函數值范圍再求角的范圍.解法一、解法二思路較容易想到，雖變形比較復雜，但不失為一種常見思路；解法三、解法六雖然都是借助方程來解決，但切入口不同；解法三、解法四、解法五都來源于對中間結論中式子形式的觀察，選擇了合適的角度并運用相應知識解決，構思巧妙，解答簡單完美；解法七雖是一種猜的辦法，但也是有一定依據去猜的，所以對填空題來說也不失為一種討巧的方法.

三、拓展研究

師：我們可否變換此題條件，再進行研究呢？

生13：（變式1）在△ABC中，角A，B，C滿足tanA· tanC=tan2B，則角B的取值范圍是__________.

解析：由于在三角形中，tan2B＞0，可知tanA，tanC同號且均大于零，類似解法四可知，tanA+tanC=tan（A+C）若tanB＜0，則-tanB（1-tan2B）≥-2tanB，所以tan2B≤-1不成立，故tanB＞0，不難得到角B的取值范圍是

點評：去掉了對數的外衣，似乎少了一些限制，但利用三角公式進行推理，發現條件并未減弱，這其實都緣于三角形內在的制約，所以挖掘隱含條件也成為解三角問題的一大關鍵.

師：觀察條件特征，剛才同學將條件變成等比數列形式，是否還有可以有其他變形，再探究呢？

生14：（變式2）在△ABC中，角A，B，C滿足tanA+ tanC=2tanB，則角B的取值范圍是__________.利用例題中解法不難得到角B的取值范圍是

師：類比等比數列來研究等差數列似乎很自然，通過研究，發現雖然條件發生變化，但結論并沒有改變，這也是三角的魅力所在.前面幾種變式都是等式，能否變成其他條件呢？或者結論也能不變呢？

生15：（變式3）在△ABC中，角A，B，C滿足lgtanA+ lgtanC≥2lgtanB對任意的角A，C都成立，則角B的取值范圍是__________.

略解：利用兩角和的正切公式和不等式可得tanAtanC≥3，由tanA·tanC≥tan2B對任意的角A，C都成立，可得3≥tan2B，即從而可得角B的取值范圍是

生16：（變式4）在銳角△ABC中，角A，B，C滿足tanA+ tanC≥2tanB對任意的角A、C都成立，則角B的取值范圍是__________.類似地得到角B的取值范圍是

點評：由等式條件變為不等式條件，探求范圍變得更復雜，于是增加為恒成立條件得以解決，這也正體現了數學中的辯證統一.

四、反思提升

讓學生回顧解決此題和變式探究的研究過程，總結解題研究的思維模式.

生17：思維過程：

師：很好！這正是我們解題研究的一般模式，以后我們將可以進行有效的自我解決和研究問題.

經過剛才的研究，學生拓展研究的熱情并未消減，思緒飛得很遠，將條件中正切函數變為正弦和余弦函數并做了探索研究和猜想，然后分組研究得出下面一些條件不同而結論相同的探索問題，由于篇幅關系僅給出正弦的命題，證明過程從略.

探索問題：在△ABC中，角A、B、C滿足條件①sinA· sinC=sin2B，條件②sinA+sinC=2sinB，條件③sinA·sinC≥sin2B，條件④sinA+sinC≥2sinB中的任何一個條件時都可以得到角B的取值范圍是

點評：由于三角形中利用正余弦定理可以實現邊角的轉化，因此解決問題很多時候可以用邊來解決，但遺憾的是缺少了正切和差角公式中一致性（都是正切），所以如果運用正弦和差角公式則增加了運算轉化的難度.

例題中將對數相加轉化為真數相乘，從而去掉對數符號，如果改為對數相乘，那又如何處理呢？將正切函數改為正、余弦函數是否也有類似的結論？學生于是又大膽的進行了改變條件和猜想，于是又有了下面變式題留到課后繼續研究：

變式5：在△ABC中，角A、B、C滿足lgtanA·lgtanC= lg2tanB，則角B的取值范圍是__________.

變式6：在△ABC中，角A，B，C滿足lgtanA·lgtanC≥lg2tanB對任意的角A、C都成立，則角B的取值范圍是__________.

五、教法感悟

1.解題需要先探尋問題的本質，進行本原思索，方能本原解題

《普通高中數學課程標準（實驗稿）》中明確指出，數學課程應強調對數學本質的認識與理解.解題時必須從問題的本質角度出發尋找思路，進行本原解題，所以首先要充分熟悉題目，探尋問題的本質，搞清概念的本質和問題的已知與未知的本質聯系.聯想就是要讓思維接近自己的“最近發展區”，所以學生對原有知識的學習與掌握是前提，只有對一些公理、定理、定律、公式等的徹底理解，并能靈活運用才能產自然的聯想.

2.多角度研究已知條件，適時追問促進聯想尋求解題思路

單墫先生說：“解題到底靠什么？我靠的也就是平常的、普通人的常識.”［1］就是說要自己動手解題，尋求問題中的知識與自己掌握的知識的聯系點，從而產生聯想，并能運用所掌握的知識、技巧解題，這樣才能進行多角度研究.在解題教學中，教師也要適時進行必要的追問，激活學生的思維，進行多角度研究.如例題中我們通過多角度觀察聯想涉及了三角、數列、不等式、函數與方程等多種知識，解決了恒成立、角的范圍問題，滲透了類比、減元、等價轉化、數形結合等思想和特殊化處理問題的方法，體現研題的一般思路，拓寬解決問題的角度.

3.加強解題后的回顧與反思提升，做到知其然且知其所以然

解出問題只是對某個問題的解決的結束，但數學題有太多，甚至可以說是“題海”，我們不可能將所有問題都做一遍，所以就有必要對自己做的問題進行及時回顧與反思.要想讓學生形成這種習慣，教師就必須要求學生解題后進行反思，弄清自己解決的是什么問題？有哪些角度？哪幾個是關鍵步驟？為什么這樣做？審視剛才的解法中的缺陷和優點，這樣才能弄清一類問題，讓學生體會到：“沒有任何一個題目是徹底完成了的.總還會有些事情可以做；在經過充分的研究和洞察以后，我們可以將任何解題方法加以改進；而且無論如何，我們總可以深化我們隊答案的理解.”［2］

4.激發學生的探索熱情，進行有效拓展研究

學生的潛力是無限的，學習和探索的熱情是很高漲的，這些都需要教師積極的挖掘和適時有效的評價.數學問題的解決離不開思考，數學的魅力離不開發現，若能從解題過程中多角度研究，不斷深入探索，將問題進行變式研究或推廣，我們將有更多的創新和收獲.當然要能引導學生進行思考和自主探究還需要教師自身的提高，研究題目應成為我們數學教師的解題習慣，多角度發散考慮，深度思考，探究問題，有利于提高我們自身的數學素養，才更有利于提高課堂教學的有效性，提升學生的核心素養.

1.單墫.我怎樣解題［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2013.

2.波利亞.怎樣解題［M］.涂弘，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2015.

3.劉智娟.注重高中數學解題中的“四大法寶”［J］.中學數學（上），2014（12）.

4.葛建華.讓“研題”成為數學教師的解題習慣［J］.中小學教學研究，2013（7）.