忽如一夜春風來 素養之花遍地開
——從高中數學核心素養的視角看2016年浙江高考數學試題

☉浙 江 師 范 大 學 朱偉義☉浙江師范大學特級教師工作流動站 曹鳳山

忽如一夜春風來 素養之花遍地開
——從高中數學核心素養的視角看2016年浙江高考數學試題

☉浙 江 師 范 大 學 朱偉義☉浙江師范大學特級教師工作流動站 曹鳳山

數學核心素養已成為熱詞.詞是新的，而基于數學核心素養的實踐與考試評價不是一夜之間突然冒出來的，核心素養的提出，是對昨天教育教學實踐的提煉，更是對明天的期待.鑒于目前我國教育教學的現實，以考試評價的杠桿撬動教學改革往往很有效.高考試題命題范式已經經歷了政治立意、知識立意、能力立意三個階段，以后的命題勢必轉化為素養立意.從核心素養考查的角度理解高考試題，對以后的教育教學就有重要的現實意義.下面試從數學核心素養的視角解讀2016浙江高考數學試題.

一、核心素養的考查是注重基礎、數學本質的考查

知識與技能是素養的載體，數學素養首先表現為考生對基礎知識與技能的掌握情況.

以理科試卷為例，從知識點分布看，《說明》要求的各知識模塊都有考查，知識覆蓋面較大.對支撐中學數學知識體系的重點知識重點考查，分數占有較大的比重，如理科的立體幾何、解析幾何、三角函數、函數、不等式以及數列等，在知識的交匯點上下工夫，如理科的不等式部分，結合解不等式、線性規劃、大小比較、絕對值、向量運算及幾何意義、函數與方程、數列等有關知識加以考查.文科的試卷也有類似的特點.

2016年浙江省高考數學（理科）各模塊分值分布與考查內容分析

知識模塊 分值比重考查內容集合與常用邏輯用語 10 7 集合的交、并、補運算；含有一個量詞的命題的否定函數 21 14對數運算；二次函數、絕對值函數的單調性、最值以及分類討論、數形結合、化歸與轉化思想等

三角函數 25 17三角函數有關概念、簡單的恒等變形；正弦、余弦公式、三角形面積公式等平面向量 4 3 平面向量的有關概念、數量積及其幾何意義等數列 16 10 數列的基本概念；an與Sn的關系、等比數列求和；數列為載體的推理與證明不等式 20 13 線性規劃；絕對值不等式；不等式證明立體幾何 30 20空間線、面位置關系判斷；三視圖以及表面積、體積計算；空間位置關系證明以及二面角求解解析幾何 24 16橢圓、雙曲線離心率；拋物線的概念與性質；直線與橢圓、圓與橢圓的位置關系150 100

高考命題一方面重點關注“主干知識”，同時，也兼顧各知識板塊的考查權重.高考命題在進行考查內容抽樣時，關注的是如何使得所抽取的樣本能夠最大程度地檢測考生作為未來公民所必要的數學素養的達成程度，而不是完全拘泥于知識的選取或知識與知識的機械組合，關注點是高中數學知識所涵蓋的數學素養的完整性.

無知則無能.基礎是素養的保證，是以后發展的基石，是高考的考查重點所在.沒有基礎就談不上素養，高考以素養立意并不意味著高考試題絕對難度的整體提升.

案例1（文科第15題）已知平面向量a，b，|a|=1，|b|= 2，a·b=1.若e為平面單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______.

解析：一些考生把它當成一道計算題，甚至看到有老師也是用很長的篇幅算出結果.

圖1

實際上，由|a|=1，|b|=2，a· b=1易得＜a，b＞=60°，|a·e|+|b·e|表示向量a，b在單位向量上的投影的和，如圖1，OB1+B1C1= OC1，當單位向量與a+b共線時，投影為OC，明顯地，|OC1|≤|OC|，即當且僅當單位向量與a，b共線時|a·e|+|b·e|最大，這時∠OBC=120°，則|a·e|+|b·e|的最大值是理科第15題難度相比文科較大，但考查手法如出一轍，顯示出命題人對考查數學本質的執著追求.

數學是簡單的，數學是自然的，數學是講道理的，因為數學是建立在概念、定理基礎上的.數字嚴密的刻畫，具體生動的形象，具體情境下的應用顯示了數學概念、原理理解下的數學的價值，是數學素養的基礎.

二、核心素養是注重數學思想方法的考查

凸顯數學思想方法的考查，寓思想方法的考查于基礎知識的考查之中，重要的思想方法在不同題型中以不同的方式考查.重點考查的數學思想方法，如數形結合思想、轉化與化歸思想、函數與方程思想、分類討論思想等.

圖2

解析：試題難度不大，細細思考倒也別有風味.首先畫出可行域，如圖2，求兩條平行直線間的距離的最小值可以考慮以下不同路徑：（1）求出兩個點的坐標，求出兩條平行線；（2）求出兩個點的坐標，求出一條線；（3）求出兩個點的坐標，不求線.

注意到x+y-3=0的斜率為-1，與斜率為1的直線互相垂直，A，B兩點間的距離即要求的直線間的距離.數形結合，要充分發揮形的直觀與數的精確兩方面的優勢，做“給出的題（數、形）”，而不是解一般的題.本題中數形結合思想、化歸與轉化思想運用作用十分明顯.兩個交點A（1，2），B（2，1），這時理科的第3題命題思路如出一轍，可見，命題人對數學思想方法的考查是刻意為之，是命題著重考慮的問題之一.

案例3（文科第12題）設函數f（x）=x3+3x2+1.已知a≠0，且f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）2，x∈R，則實數a= _______，b=______.

解析：也許一些考生會被表面的三次方搞懵，沒有完整地學習三次函數的性質啊！給出的是函數，有待求的未知數，不正是運用函數與方程思想的題材.

由f（x）-f（a）=x3+3x2+1-a3-3a2-1=（x-a）［x2+（a+3）x+ a2+3a］=（x-a）（x-a）（x-b），可知a，b應是方程x2+（a+3）x+ a2+3a=0的根，因此有x2+（a+3）a+a2+3a=0，解得a=-2或a=0（舍）.于是f（x）-f（a）=（x+2）2（x+1），可得a=-2，b=1.

當然，也可以直接考慮待定系數法：因為f（x）-f（a）= a3+3x2+1-a3-3a2-1=x3+3x2-a3-3a2，

且（x-b）（x-a）2=x3-（2a+b）x2+（a2+2ab）x-a2b，

證明：（Ⅰ）f（x）≥1-x+x2；

表面上涉及三次函數、分式函數，實際上，比較大小的根本大法是比差Ⅰ）迎刃而解；（Ⅱ）中，注意到（Ⅰ）f（x）≥1-x+x2，左邊配方即可證明，右邊不用任何技巧，直接作差，由x∈［0，1］得x4≤x3≤x≤1，2x4+x3-3x≤0，x3-1≤0，故，順利求解，體現出考數學思想方法而不是考知識記憶、考數學素養而不是考模式套路的特點.數學背景的新穎才可以真實地檢測應用數學知識、思想解決問題的水平，體現真正的數學素養的差異.

案例4（理科第18題）設a≥3，函數F（x）=min｛2|x-1|，x2-2ax+4a-2｝，其中

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍.

（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）；

（ii）求F（x）在［0，6］上的最大值M（a）.

解析：記f（x）=2|x-1|，g（x）=x2-2ax+4a-2，根據題意為了確定f（x）、g（x）的關系，首先依托圖形確定思路.注意到g（x）過定點（2，2），該定點又恰好在f（x）右支上，如圖3，只要解出折線右支y= 2（x-1）與二次函數的右交點，方程2（x-1）=x2-2ax+4a-2，即x2-2（a+ 1）x+4a=0，一根已知，求解另一個根可以直接寫出x=2a，故所求取值范圍為［2，2a］；形的直觀與數的準確（點（2，2）），數與形互幫互助，自然快捷.

圖3

（Ⅱ）（i）由于二次函數的對稱軸x=a≥3，函數的最小值取決于min｛0，g（a）｝=min｛0，-a2+4a-2｝，下面就是簡單的比較大小.

圖4

（ii）求F（x）在［0，6］上的最大值M（a），根據圖4可以看出，最大值的可能位置有三個，只要確定max｛f（0），f（2），g（6）｝=max｛2，34-8a｝，問題也就很簡單.19題一題三問，含有參數，看起來挺復雜，實際上，只要思想清晰，數形結合，分類討論，不斷的轉化問題，無論是解方程或者是不等式，計算量都很少.試題出發點重在數學思想方法.

三、核心素養的考查重在體現中學數學的六大核心素養的考查

即將頒布的《課程標準》中明確了中學數學的6個數學核心素養：數學抽象，邏輯推理，數學建模，數學運算，直觀想象，數據分析.根據現行的課程標準下的高考，也可以看出以上核心素養的影子.核心素養的特點不同，考查側重互異，限于篇幅，這里僅就數學運算這一大家比較關注的核心素養為例加以分析.

1.觀察發現，多思少算

圖5

案例5（理科第14題）如圖5，在△ABC中，AB= BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是_______.

解析：試題越來越注重考查學生的思維能力，計算不可或缺，但不再是煩瑣量大的計算，更注重的是要求學生在短時間內開放思維，探索問題的本質.S△BCD的面積一邊、一角已經確定，取決于CD，四面體的高取決于PD，猜想，點D位于AC的中點時所求體積最大，這時平面PBD⊥平面ABC.實際上，設PD=AC=x，h為三棱錐P-BCD的高，因為PB=PA，△PBD≌△ABD，當且僅當時，等號成立VP-BCD最大值為

解析：該題與案例5有異曲同工之妙.根據已知條件及雙曲線的定義，|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2，△F1PF2為銳角三角形，考慮兩個極端位置：直角三角形△F1P1F2，△F1P2F2，兩種情況下可以分別求出，進而得到所求的取值范圍為

2.利用特值，多思少算

案例7（文科第6題）已知函數f（x）=x2+bx，則“b＜0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：本題充分條件的判斷相對簡單，必要條件的判斷則需要一定靈活性，可以考慮比較特殊的情況，如b=0時，f（x）=x2，f（f（x））=x4，兩個函數的最小值相等，不能推出b＜0，故選A.

案例8（理科第8題）已知實數a，b，c

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2＜100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2＜100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2＜100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2＜100

解析：本題是大家一致反映比較難的一道題.教師的“難”主要是對背景的探索、一般方法的思考，學生主要難在形式不能進入計算.實際上，在考場上，只要取特殊值即可.如a=b=10，c=-110，排除A；a= 10，b=-100，c=0，排除B；a=100，b=-100，c=0，排除C.

另外，通過數形結合、設而不求等多種方法的應用，充分體現重點考查思維品質，減少計算量.

圖6

由以上案例分析可以發現，數學離不開計算，素養下的數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果.重在運算法則的掌握、運算方向的探究、方法的選擇，也就是“多一點想、少一點算”.

基于核心素養視角的教育教學將是今后相當長時間段內的熱點，數學教學勢必由知、能視角下的教學轉變為有意識的核心素養的教學.關注核心素養下的數學教學是每一位數學教師義不容辭的責任.教學一線的教師不僅要明確核心素養的重要性，關鍵是弄清數學核心素養的內涵，探索數學知識教學與數學核心素養培育之間的途徑，歸納、總結基于數學知識教學提升數學核心素養的方法和策略.

基于多次教改的經驗，離開具體知識教學的支撐，核心素養的形成就會落空.知、能教學的成功經驗、三維目標有效地落實舉措不能偏廢，還要繼續發揚光大，數學核心素養的培養只能是“第三個包子”，前面兩個“包子”“個大質優”才有“第三個包子”的完美效果.

1.柯躍海，陳清華.高考數學：命題目標的確立與實現［J］.數學通報，2013（1）.

2.何小亞.學生“數學素養”指標的理論分析［J］.數學教育學報，2015（1）.

3.陳昂，單旭峰，任子朝.我國高考命題的范式和范式轉換研究［J］.中國高教研究，2015（3）.