高中數學課堂中“問題串”設計策略的思考

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

高中數學課堂中“問題串”設計策略的思考

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

《高中數學“問題串”教學模式的實踐研究》是筆者主持研究的江蘇省南京市教育科學“十二五”規劃課題.該研究旨在改變高中數學傳統教學的“一言堂”、“滿堂灌”，從而教學效率不高等現象，為打造高中數學“優效課堂”提供一條有效途徑，以期以較少的精力、有限的時間投入獲得最優的教學效能.要真正地做到這一點，在數學教學中就要精心設計“問題串”.好的“問題串”能激發學生的學習興趣，促進學生積極探究、思考，真正讓數學課堂教學“活”起來，以達到事半功倍的教學效果.因此，在高中數學教學中開發“問題串”，并以之來組織教學，可以使得數學課堂高效.下面筆者結合平時的教學實踐談談“問題串”的開發策略.

一、創設數學問題的情境中設計 “問題串”，激發學生的學習興趣

學生在學習新內容前，課本新知識通常會與已有知識背景、與現實生活產生認知沖突，此時他們似懂非懂、似會不會，為了盡快消除認知失調帶來的不悅，學生就會有迫切掌握知識的沖動和渴望.因此，在新課的導入中，根據學情和教學內容，在問題情境中精心設計“問題串”，使學生出現“憤徘”狀態，從而充分調動起他們學習的興趣與積極性，利于學生在獲取知識的同時增長能力.

案例1“復數概念”教學，可以設計如下創設情境的“問題串”：

問題1 將10分成兩部分，使兩者的乘積為40.

問題2 有沒有兩個數之和為10呢？之積為40呢？

問題3 那為什么剛才的問題無解呢？（五百年前意大利數學家卡爾丹所遇到的問題）

問題4 實數集中有沒有這兩個數？

問題5 你知道數集的發展經歷了幾次擴充？

問題6 每一次擴充都解決了什么問題？

問題7 你能總結下幾次數集擴充的共同特點嗎？

問題8 你能寫出卡爾丹要找的數嗎？（引入什么樣的數，才能解決負數不能開平方的矛盾呢？）

師：1545年，卡爾丹在《大衍術》中寫道：“要把10分成兩部分，使二者乘積為40，這是不可能的，不過我卻用下列方式解決了：

師：1637年，法國數學家笛卡爾把這樣的數叫做“虛數.1777年，瑞士數學家歐拉在其論文中首次用符號“i”規定：i2=-1，稱i為虛數單位.新數i叫做虛數單位，并規定：（1）i2=-1；（2）實數可以與i進行四則運算，并且原有的加法與乘法的運算律仍然成立.

問題10 你還能寫出其他含有i的數嗎？

問題11 你能寫出一個形式，把剛才所寫出來的數都包含在內嗎？

設計策略：這里設置的問題串，都是基于學生已有的知識經驗與基礎上提出，而且對相同的內容從不同的角度去思考，接地氣，學生容易理解、接受.通過“問題串”的設置，學生形成了認知沖突；通過“問題串”的設置，引領了學生追溯歷史，提煉數系擴充的原則；通過“問題串”的設置，幫助學生建立了新的認知結構，讓數學理論自然誕生在學生的思想中.

二、數學概念的形成過程中設計 “問題串”，有助于學生對概念的理解

數學課程標準認為，概念的建構應該有四個重要環節：問題情境→學生活動→意義建構→數學理論.而根據維果茨基的理論，數學教學的高效就在于圍繞學生“最近發展區”設計出科學的問題.由此，利用“問題串”進行數學課堂教學，這是符合新課改精神的，也應該成為我們數學教學的追求.

案例2“正切函數的圖像及性質”教學，可以設計如下的“問題串”展示正切函數的圖象及性質形成過程：

問題1 我們是怎樣作出正弦函數的圖像的？

問題2 你能簡單說出作正弦函數圖像的過程嗎？

問題3 為何先作這個區間上的圖像？

問題4 與正弦函數相比哪些地方需要修改？

問題5 你覺得作出正切函數的圖像要分幾步完成？

問題6 你能從正切函數圖象出發，討論它的性質嗎？

設計策略：讓學生理解并作出正切函數圖像是本課的難點和重點，由于是學習了正余弦函數的圖像與性質之后接觸的另一個函數，故設計上述“問題串”，引導學生在不斷的對比、類比中將已有的知識經驗遷移到新內容中.同時，在解決問題的過程中，師生、生生討論交流合作，自然地呈現數學概念的形成過程，進而實現教學目標.某種意義上說，“問題串”就是整節課的“骨架”，而問題就應該是設置在其最重要的“關節”處，具有較強的指向性、探究性、啟發性和階梯性.

三、探索數學的規律時設計“問題串”，提高探究能力

從數學的發展看，它本身也是充滿著觀察與猜想的探索活動.許多數學定理、性質、公式、法則的發現都經歷了一個艱苦曲折的思維推理過程，教師應充分挖掘向學生展現“做數學”的過程.探索型問題串能較好地幫助教師引領學生參與此過程.探索型問題串的設計主要圍繞定理、法則、和公式的發生、形成、發展三個過程展開，通過引導學生觀察、動手操作、比較分析、猜想歸納，在“做數學”中學數學，獲得數學學習的體驗，提高探索能力，體味到數學的無窮魅力，以此促進學生的數學學習.

案例3“函數的零點存在定理”教學，可以設計引導學生探索數學規律的“問題串”：

如圖，課前準備一根細繩（細繩兩端記為A和B）、一支小棒.

問題1 細繩和小棒何時有交點？

問題2 若將小棒視為軸，細繩視為函數的圖像，能否將問題1中的結論用數學語言描述？

問題3 若細繩兩端在棒的同側（異側），那么細繩和小棒的交點有幾個？你發現有什么規律？能否用數學語言描述出來？

問題4 在什么樣的條件下，細繩和小棒有且僅有一個交點？

問題5 根據剛才的實驗操作，研究y=x4+2x3-2x2-2x的圖象，并驗證結論的正確性.

設計策略：本案例中五個問題由動手操作到進一步的追問，使學生從單純的動手操作引向有意義的思考，再使之抽象到坐標系中，鼓勵學生比較分析、大膽歸納，最后問題4的追問告訴學生要得到可靠的結論，需要邏輯的嚴格證明，培養學生嚴謹的治學態度，而問題5則是鞏固和運用性質.五個問題以“為什么探究邊性質→怎么探究→結論是什么→依據是什么→結論的推論是什么”為主線步步深入緊緊圍繞性質的發生、形成、發展進行設計融合成一個整體.通過搭建“適切”的、腳手架式的5個問題串，一步一步、環環相扣、由淺入深，在“最近發展區”讓學生處于“跳一跳”摘到了“桃子”的狀態，達到“道而弗牽，強而弗抑，開面費達”的境界.

四、探究解決問題的方法時設計 “問題串”，拓寬學生的思路

問題串教學讓數學課堂教學走向自主、合作與開放.通過問題變式，提出恰當的，對學生數學思維有適度啟發的問題，可引導學生思考和開展探究活動；同時它能激發學生最大限度地來體驗與參與發現、設計創新，形成一種積極、主動、探究的高效學習方式，在這個學習過程中會產生許多有價值的生成性資源，有利于學生探究能力和創新精神的培養，提高解決問題的能力.

案例4“求數列的通項公式”教學，設計求解數列通項公式的問題串：

基于學生學習了等差、等比數列的通項公式以后，專門探究求數列的通項公式的題型與方法.

例題 已知數列｛an｝的前n項和Sn=n2+1，求通項an.

問題1 已知數列｛an｝的前n項和為Sn，若log2（Sn+1）= n+1，求an.

問題2 已知數列｛an｝中，若2n+5，求an.

問題3 已知數列｛an｝中，a1=1，n≥2時，有a1·a2·…· an=n2，求a3+a5.

問題4 已知數列｛an｝中，a1=1，an+1-an=2n，求an.

問題5 已知數列｛an｝中，a1=2，Sn=n2an，求an.

問題6 已知數列｛an｝中，a1=1，n≥2時，an=3an-1+2，求an.

設計策略：本課例的問題串設計，以最基礎的例題為出發點，通過改變已知條件，設置不同情境下的問題串，從而引出了求數列通項公式的六種常規方法，讓學生在在實際操作中獲取知識，同時培養了學生的比較、分析、綜合、歸納等能力，養成歸納反思的好習慣.變式型“問題串”主要以教科書中例、習題為對象，在保持原題本質的基礎上進行延伸拓展，通常變換條件或結論或因果關系倒置.通過變式型問題串的訓練，學生對某一孤立、零散的問題形成有規律可循的一系列問題，對所學知識舉一反三、觸類旁通，從而提高課堂教學的有效性.

五、糾錯過程中設計“問題串”，增加學生對錯題的“免疫力”

學生在數學學習中出現錯誤是不可避免的，它往往能暴露學生的真實想法，反映學生的思維過程，包含著有價值的成分.教師若能善于發現錯誤背后隱藏的價值，巧用典型錯誤，通過設計“問題串”，變換問題的條件和結論，變換問題的形式，而不變換問題的本質，使學生更容易看清問題的本質.

案例5 針對學生作業中的錯題：“已知a∈R，若任意的x∈（0，+∞），都有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則實數a的取值集合是______.”設計以下問題串以求解決這類問題的通法：

學生在解決這個問題時出現錯誤，在給學生解決方法后可以設計一下問題串，幫助學生進一步的理解.

問題1 已知（2ax-1）lnx≥0對任意x∈（0，+∞）恒成立，則實數a的取值集合是________.

問題2 已知t＞0，若任意的x∈（0，+∞），不等式txlnx+20lnt≥txlnt+20lnx恒成立，則實數t的取值集合是_________.

問題3 已知t＞0，若任意的n∈N*，不等式ntlnn+ 20lnt≥ntlnt+20lnn恒成立，則實數t的取值集合是_________.

通過對4個問題的練習與講解，使學生對這類題的本質的了解更加全面，在應對高考過程中真正地做到了未雨綢繆.波利亞說：當你找到第一個蘑菇或做出第一個發現后，再四處看看，它們總是成群生長的，問題串就是那成群生長的蘑菇.設計“問題串”的目的是幫助學生在跳出題海的同時對所學的知識能夠融會貫通，從而達到學習的優效、高效，體會學習數學的樂趣.

好的問題是一堂成功的數學課的重要組成部分，成功的問題串設計可以打開學生學生的思維，培養學生的創新能力.作為一線教師，我們要經常反思我們的數學教學，精心設計好數學教學的“問題串”，不斷追求問題串的精湛、精準，讓學生在獲取知識的同時增長能力，真正提高課堂教學效率與質量.