從一道試題的挖掘談試題結構分析

☉山東省青島第九中學 段旭東

從一道試題的挖掘談試題結構分析

☉山東省青島第九中學 段旭東

眾所周知，數學學習成績的提高離不開試題的訓練.回頭望望，傳統的成績提高訓練離不開大量試題的訓練，即所謂的題海訓練戰術.這在新知教學以及高一、高二教學中的確起到了一定的作用，也是很多教師屢試不爽的教學法寶之一.隨著數學知識難度的增加，這種題海訓練模式的弊端迅速在高三教學中顯現出來，其一是各種各樣的試題太多，學生的學習時間有限，不可能把所有的試題面面俱到地解答一遍，而且很多試題沒有價值，浪費了時間和精力；其二是沒有思考的訓練，沒有挖掘的練習，往往導致了學習的低效性，這些現象的改變需要在學習中精選問題，在有限的時間內做好高效復習.

近期筆者在一次課后提問中，嘗試了對一個問題的深入思考和探索，與同學們一起研究試題處理的角度和多樣性，深刻體會了羅增儒教授所描述的“題不在多，有深究則靈”這一話語，讓筆者對于如何思考問題、解決問題以及對問題培養專研精神有了更多的收獲.

問題：已知（fu）=u2+au+（b-2），其中x≠0），若a，b可使方程f（u）=0至少有一個實數根，求a2+b2的最小值.

當4-|a|≥0和a2-4（b-2）≥0時，則2|a|≥b+2，若b+2≥ 0，則即當若b+2＜0，則a2+b2＞4（舍去）.

當4-|a|＜0和a2-4（b-2）≥0時，a2+b2＞16（舍去）.

評析：本題是筆者在復習中，引入的一個函數零點問題.這是標準答案提供的解法，仔細一看該解法也比較工整，推理也比較嚴密，分類切入也比較合理，是一個不錯的解決方案.但有的同學會問筆者：這個方法要求根，很啰嗦，有沒有更好的解法呢？筆者陷入了思考.我們解決問題有時因為種種原因，總是陷入標準答案之中，用他人的思考替代了自己的思維，這種“照搬答案”的解法自然是無法吸引同學們積極學習數學的興趣，因為筆者認為應該從一個值得研究的問題入手，合理探究、共同探討，培養問題思考角度的多樣性和探究的理性精神.

重新思考：本題的變量較多，但是按照次序和整體性而言，首先應該考慮u，從這一字母出發，進而思考a，b，最后解決a2+b2.即（1）求出u的值域；（2）從f（u）=0的根u的范圍來得到a、b所滿足的條件；（3）求出a2+b2的最小值.筆者將知識處理的流程用框架結構展示出來（如圖1所示），大家可以清楚地看到問題處理所需要的流程，以及所運用到的基本知識和基本技能（如圖2所示）.

結構分析：（1）上述解法采用了最直接的思路，利用f（u）=u2+au+（b-2）=0的根得到絕對值不等式，進而轉化為無理根式不等式解決問題，但是無理根式處理的難度較大，一般學生只能放棄，因此從理論上可行但是學生實際操作困難重重；（2）上述解答中第二問起到了承上啟下的作用，是關鍵步驟；（3）上述解法是從正面入手，環環相扣.

解題反思：從正面角度入手，思維量比較簡單，但是運算比較復雜，很明顯同學們很難從這樣的運算中得到最終的答案.那么我們應該思考另一個問題：是不是有更佳的入手角度呢？從哲學角度來說，解決途徑正難則反易，是不是換一個角度來得更為容易呢？

從上面的結構分析中可以看到，原解法中有三個未知數，a、b、u，在原解法中突出了u的地位，強調了u的優先使用權，a，b退居二線，所以我就以它們的地位不同得到下面的結構特征.

第一問的情況較簡單，我們分析的重點放在第二問和第三問，在第二問的解決中始終圍繞f（u）=u2+au+（b-2）=0至少有一實根，它的結構特征的探討如下：

特征1：u2+au+（b-2）=0看成關于u的一元二次方程，在這里突出u的地位.

特征2：f（u）=u2+au+（b-2）看出二次函數y=f（u）與u軸的交點的個數至少有一個，在這里還是突出u的地位.

特征3：u2+au+（b-2）=0處理成一個恒等式問題，a，b，u地位是相同的.

特征4：u2+au+（b-2）=0關于a，b的直線方程，把u看成常數，a，b地位突出.

與此同時，第三問a2+b2的最小值的解決辦法將決定整個解題的方向，下面a2+b2的最小值就本題而言體現選取的策略如下：

特征5：a2+b2的最小值轉化為二次函數問題來解決.

特征6：利用基本不等式來求解a2+b2的最小值.

特征7：利用a2+b2的幾何意義來解決a2+b2的最小值.

在這里多種特征方式的出現，體現了知識間結構的清晰度和連通性，同時也開辟了解題途徑的多樣性，為我們下面的新解法做好基礎性的鋪墊.從我們的上述分析的主要本質步驟和第二問中的特征1、2、3、4以及第三問的特征5、6、7重新組合為更接近問題的深層結構的新解法.

評析：本題的解法是特征3和特征5、6的資源重組，利用恒等式的恒等變化為關于a的一元二次函數來求解，最后利用基本不等式來求解，最大的優點避開了煩瑣的分類討論，但在式子上過于復雜，沒有扎實的基本功是解不出來的.

所以得到f（u）=0至少有一根在平面直角坐標系中表示的區域為（*），其中（*）為表示區域的補集.

利用線性規劃知（*）表示的線性區域如圖所示：圖中陰影部分表示a、b的滿足的范圍，由幾何意義知a表示點（a，b）到原點距離的平方.從圖像觀察，原點到線形區域上的點（a，b），是點到直線2a+b+2=0或者2a-b-2=0的距離的平方最短.易由解析幾何知識知d2=時取等號.

評析：此題的解法是常規解法，大部分師生做到第二問的a，b所滿足的（*）式，接下去求a2+b2的最小值感覺無能為力，如果沒有對a2+b2的最小值的探索是得不到這個解法的.所以我們感到有必要實施解題分析.從而我們另辟新徑利用a2+b2的幾何意義，結合線形規劃知識（本質是數形結合），使問題得以順利解決.

評析：此題的解決是在新解1和新解2的前提下，尋求的新的解法.題目的解決關鍵是把u2+au+（b-2）=0看成關于a，b的直線方程.這正是由于我們對題目反思的結果.既簡化計算，又是思維清晰.不失為一種最佳答案.

小結：根據上面的分析，我們可以感到解題分析的重要性和功效.也初步了解了如何進行解題分析.下面簡單概括以下幾點.

（1）確定一個分析的視角：分析的角度可以是多方面的，本例的分析角度選取了這樣一個模式：提出問題—問題特征—策略選擇—資源配置—反思回饋.

（2）解題分析的收獲：我們從上面的分析可以得到以下幾個方面的成果.

從微觀層面上，將有助于理解問題的深層結構，不僅能簡化過程、完善解題，而且會產生陳題新解、難題簡解、佳題巧解等效果；

從宏觀層面上，將有助于數學解決問題能力的提高，具體表現為問題的識別和結構特征，將有助于解題思路的主動設計，方法的靈活運用；

總之，解題后一定要進行解題分析和解后思.一思，解決對的問題，二思，解決優化，三思，解決通法.在分析和反思的過程中不斷總結方法、技能以及經驗教訓，真正領悟到數學思想和本質問題，優化認知結構，提高思維能力，從而更大的發揮和提高同學們的智力和潛能.