對稱不等式的解題技巧探究

☉上海復旦附中高三（4）班 梅靈捷（指導老師：汪杰良）

對稱不等式的解題技巧探究

☉上海復旦附中高三（4）班 梅靈捷（指導老師：汪杰良）

在不等式中，變量擁有著兩兩之間的對稱性或輪換性，統稱為對稱性不等式.破壞對稱性是指通過規定順序、指定最值等方式，打破不等式原先固有的對稱性，從而達到簡化不等式或方便估計的思想方法.該思想在對稱的代數不等式和組合不等式上較為有用.

證明：不妨令c=min｛a，b，c｝，

說明：無限趨近于等號的條件是兩邊相等，一邊趨向于零.也就是說，有兩條最長邊.這也為我們的估計增加了兩種可以套用的不等式.當遇到不對稱的取等條件時，我們可以使用破壞對稱性的思想.通過變元之間的部分替換，可以將表達式內界決定上界的那一部分進行轉化，以達到使估計精確的目的.

例2 集合S?Z+，|S|=n，對于集合A，B，其中A，B?S且的最小值［2］

解析：令S的元素為a1≤a2≤…≤an.

Tm=｛ai|1≤i≤m，i∈N｝有2|Tm|-1=2m-1個非空子集，且每兩個非空子集的元素和不同?元素和最大的子集Tm元素和為

以下對m使用數學歸納法.

（2）假設m=k成立，令m=k+1.

當且僅當ai=2i-1時取等號.

說明：我們并不能控制S指定一個元素的范圍，因為元素的排列遠不如它們的和稠密.因而需要通過對一定個數元素的和進行估計.關鍵在于一定個數元素的和中最小的那一個如何確定.

注意到在解答中多次出現了將ai與2i-1進行比較的情況，這是由ai之間的順序保證的.將兩個在取等條件下相等的數作差，可以將差放大，估計精細.

例3 （2013年土耳其數學奧林匹克第二輪）求m的最大值，使得?a，b，c∈R+，a3+b3+c3-3abc≥m（ab2+bc2+ ca2-3abc）.

分析：首先可以看出，a，b，c的地位是不同的，這也與原式右邊是輪換非對稱式相符.因而我們可以破壞對稱性，使得限制m的范圍時等式兩邊都不為零.注意原式右側是輪換非對稱式，只能取定最大或最小或中間值，不能固定順序.

解：當a=b=c時一定成立.當a，b，c不全相等時，a3+b3+ c3-3abc，ab2+bc2+ca2-3abc＞0.

原題轉化為求滿足?a，b，c∈R+，m≤時m的最大值.

不妨令a=min｛a，b，c｝，以下進行分類討論：

（1）當b≤c（a≤b≤c）時，令b-a=x，c-b=y（x，y≥0）?其中A，B，C，D是與a無關的正常數因而T的極小值在a→0或a→+∞時取到.

（2）當b≥c（a≤c≤b）時，（ab2+bc2+ca2-3abc）-（ac2+ cb2+ba2-3acb）=（a-b）（b-c）（c-a）≤0，即m（ab2+bc2+ca2-3abc）≤m（ac2+cb2+ba2-3acb）.

說明：在一開始，本題通過孤立變量m，將恒成立問題變為求最值問題，同時減少了一個變量，簡化了運算.實際上，將T趨向為零或無窮大時，運用了調整的思想.

本題通過將破壞對稱性后兩種截然相反的對偶式進行比較，從而達到了化歸的效果，既契合了原式右側的輪換對稱性，又縮小了篇幅.

破壞對稱性思想在對稱不等式證明中具有著重要的作用.破壞對稱性思想可以在如下情況時使用：①有不對稱的取等條件的；②內界需要進行變元替換的；③需要加強較弱估計的；④需要提煉最有價值的關系式的；⑤需要利用某些調整法的；⑥利用對偶式的差別進行化歸的.通過掌握破壞對稱性思想，可以解決大量使用普通方法無法完成的對稱不等式.

1.蘇勇，熊斌.不等式的解題方法與技巧［M］.上海：華東師范大學出版社，2005.

2.Yong-Gao Chen.Distinct subset sums and an inequality for convex functions［J］.Proc.Amer.Math.Soc. 128（2000）.

3.“Turkey National Olympiad Second Round 2013· Art of Problem Solving”，［Online［·Available：http：//www. artofproblemsolving.com/Forum/resources.php.c=174&cid= 95&year=2013.