例談構造函數解決導數問題

☉江蘇省常熟市梅李高級中學 馬俊華

例談構造函數解決導數問題

☉江蘇省常熟市梅李高級中學 馬俊華

近年來，導數一直是高考的壓軸題，常常需要構造函數，構造函數是難點，也是高考的熱點，近幾年高考題中出現了很多需要構造函數的題，還有一些是二元變量的最值問題，這更是讓學生感覺無從下手，部分學生有一些思路，但是沒有方法，本文對導數中的構造函數法，提供一些方法，希望能夠給學生一些啟發.

一、構造函數求參數范圍

在求參數范圍的題目中，常常分離參數再構造函數或者直接構造函數，然后轉化為利用導數求函數的最值或極值問題.

例1 設f（x）=lnx+x，方程2mf（x）=x2有唯一實數解，求正數m的取值范圍

當x＞1時，Φ（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上單調遞減；當0＜x＜1時，Φ（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調遞增.所以在x=1處g（x）取極大值，g（1）=1.

和y=g（x）有唯一的交點，必須作出y=g（x）的大致圖像，求極限的目的是為了更準確的作圖.讀者可以嘗試用構造函數特別注意t（x）在（0，1）上有漸近線，不如上面的方法好.

解法二：（直接構造）2mf（x）-x2=0，即2m（lnx+x）-x2.

在-2x2+2mx+2m=0中，Δ=4（m2+4m）＞0且兩根之積為負數，則必有一正根，一負根，即

在x=x2處取極大值且

構造函數Ψ（x）=2lnx+x-1在（0，+∞）上單調遞增，且Ψ（1）=0，即解得

點評：分離參數法是很常規的想法，但是很多時候分離參數后，無法做下去，高考題中很多也是這樣，所以解法二直接把方程右邊部分減過來，構造函數h（x），轉化為該函數在（0，+∞）上有唯一的零點，通過求導，判斷函數單調性，作出函數圖像，發現要保證函數在（0，+∞）上有唯一的零點，需極大值點成為唯一的零點.

二、構造函數證明不等式

導數是證明不等式的一種重要方法，也是高考中導數考查的一個熱點，通常要把不等式恒成立問題通過構造函數，轉化為利用導數求函數最值或值域的問題.解題的基本思路是從函數的角度分析和理解需要證明的不等式的結構特征，然后去構造最佳的函數.

例2 已知f（x）=x2+aln（1+x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2）.

（1）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調性；

點評：本題第一問中要注意數形結合，要判斷出兩個根的范圍，要注意到兩根之和為1，根的范圍相當于新構造的函數的定義域，所以要準確，新構造的函數不能再含有參數a，那么如何把參數a解決掉呢？要注意利用導函數，解得參數a，然后代入原函數，這樣可以得到關于x2的一個函數，不再含有參數a，可以求導求最值了.

（1）求a的取值范圍；

（2）若x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求證：f（x2）-f（x1）＞e+

解析：（1）略.

在x=t1處取極大值，在x=t2處取極小值，則

點評：f（x2）-f（x1）的最小值，即極小值減極大值，把二元變量和參數a全部用一個變量t2表示出來，構造函數求最小值，在導數的很多問題中都會出現二元變量，我們可以在導函數中找兩個變量的關系，從而把二元變量變成一元變量求最值.

三、構造函數解答抽象函數題

抽象函數沒有具體的解析表達式作為載體，理解研究起來比較困難，是高中數學函數部分的難點.但抽象函數問題既能考查函數的概念和性質，又能考查學生的思維能力，因此備受命題專家的青睞.構造可導差函數求解是一種很好的方法.

例4 函數f（x）的定義域是R，f（0）=2，對任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，則不等式ex·f（x）＞ex+1的解集為_______.

解析：構造函數g（x）=ex·f（x）-ex，因為g′（x）=ex·f（x）+ ex·f′（x）-ex=ex［f（x）+f′（x）］-ex＞ex-ex=0，所以g（x）=ex·f（x）-ex為R上的增函數.又因為g（0）=e0·f（0）-e0=1，所以原不等式轉化為g（x）＞g（0），解得x＞0.

點評：求不等式ex·f（x）＞ex+1的解集，等價于求ex· f（x）-ex＞1的解集，構造差函數g（x）=ex·f（x）-ex后借助導數求解.

四、構造函數解答函數的零點問題

在求函數y=f（x）與函數y=g（x）交點個數問題中，構造函數h（x）=f（x）-g（x），問題轉化為求函數h（x）=f（x）-g（x）的零點個數.

例5 已知函數y=lnx與函數y=x+a有兩個不同的交點，求實數a的取值范圍.

當0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；當x＞1時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減.函數f（x）=lnx-x-a在x=1處取得極大值f（1）=-1-a.

因為函數y=lnx與函數y=x+a有兩個不同的交點，即函數f（x）=lnx-x-a有兩個不同零點，所以f（1）=-1-a＞0，所以a＜-1.

所以a的取值范圍為（-∞，-1）.

點評：函數y=lnx與函數y=x+a有兩個不同的交點，即差函數f（x）=lnx-x-a有兩個不同的零點，借助導數求解.

例6 （2014年高考新課標卷Ⅱ文科第21題）已知函數f（x）=x3-3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸的交點橫坐標為-2.

（1）求a的值；

（2）證明：當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點.

解析：（1）a=1.（具體解答略）

（2）由（1）知，f（x）=x3-3x2+x+2，設g（x）=f（x）-kx+2= x3-3x2+（1-k）x+4，由題設知1-k＞0，當x≤0時，g′（x）=3x2-6x+1-k＞0，g（x）單調遞增，g（-1）=k-1＜0，g（0）=4，所以g（x）=0在（-∞，0］上有唯一實根.當x＞0時，令h（x）=x3-3x2+4，則g（x）=h（x）+（1-k）x＞h（x）.h′（x）=3x2-6x=3x（x-2），h（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，所以g（x）＞h（x）≥h（2）=0，所以g（x）=0在（0，+∞）上沒有實根.綜上，g（x）=0在R上有唯一實根，即曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點.

點評：當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點轉化為證明差函數g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+ 4只有1個零點.

總之，構造函數在高中數學解題中的運用非常廣泛，本文只是涉及了幾種比較常見、重要的方面.只要我們在平時的教學實踐中用心總結、反思，就能做到舉一反三，觸類旁通，提高解題能力.