高中數學解題中換元法的運用

☉江蘇省鹽城市亭湖高級中學 侍昌亞

高中數學解題中換元法的運用

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換元法是高中數學中一種常見的數學解題方法.在數學解題過程中有很多比較復雜的或者存在兩個及兩個以上未知條件的數學題，解題時根據知識間的內在聯系，適時地轉化題目中的數量關系，通過各個變量間的條件轉換，把一種問題轉化為另一種問題，從而簡化整個解題過程.換元的方法有很多，比如函數換元、等量以及不等量換元、變量換元、三角函數換元等等，在數學解題時，如果能靈活運用換元法，不僅能有效地鍛煉學生的思維敏捷性，而且能有效地提高學生的思維能力.下面筆者結合平時的教學實踐分析各種換元法在高中數學解題中的靈活應用.

一、通過三角函數關系換元

三角換元在高中數學解題中運用比較廣泛，它的解題思路有一定的技巧性，運用三角換元解題，使復雜的問題簡單化.利用三角換元解題的主旨是：通過適當的三角換元，將代數表達轉化為三角表達，進而把代數式的證明或解答轉化為三角式的證明和解答，從而起到理順思路、簡化題目的作用.有時利用同角的三角關系，有時利用輔助角公式（其中a、b是不為零的實數，φ角由確定），由此簡化解題過程，提高解題效率.

例1 已知實數x，y滿足x2-xy+y2=1，求x2-y2的取值范圍.

解：設x=ρcosθ，y=ρsinθ，則ρ2-ρ2sinθcosθ=1，即ρ2=cos2θ=2k，（其中由三角函數的有界性得即

二、通過構造輔助函數換元

通過構造輔助函數達到換元的目的是一種重要的解題思想方法.函數是整個高中數學的核心知識，它具有工具性和導向性.許多問題都可以通過巧妙地構造輔助函數，使得原本撲朔迷離的問題變得直觀明了，變得可程序化.因此，在教學中應該重視這種方法的引導和滲透，同時還要加強訓練，及時歸納總結，才有利于方法的掌握和運用.

解：當m=1，a＜0時，f（x）=x-alnx-1，x∈（0，+∞）.

所以f（x）在［3，4］上為增函數.

設h（x）=1=ex，

g（x） ex

所以h（′x）=ex-（1xx2-1）＞0在［3，4］恒成立，

所以h（x）在［3，4］上為增函數.

則u（x）在［3，4］為減函數.

所以v′（x）＜0，v（x）為減函數.

點評：在解題中構造輔助函數方法靈活多樣，應具體問題具體分析，弄清原問題和輔助函數的直接或間接聯系，通過大膽聯想、猜測、推理，就可以構造出合理的輔助函數，進而使問題順利解決.但一定要注意原問題和輔助問題的等價性.掌握這種方法，不但能開闊學生的解題思路，還能培養學生創造性地解決問題的能力.

三、通過復合函數進行換元

形如y=f［f（x）］的復合函數相關問題，在近幾年的高考中屢見不鮮，常以壓軸選擇題或填空題的形式考查，有時關于該類問題的解答通常為分類討論，過程繁雜且不易于學生接受，更談不上舉一反三、觸類旁通了.筆者從復合函數角度出發，利用換元思想，輕松便捷地解決此類問題.

通過換元，借助函數y=f（t）和y=2t的圖像可解決分解問題1（圖1）：

圖1

圖2

由圖1知，滿足f（t）=2t的t的取值范圍是t≥1，而t的取值范圍與a的取值范圍又有關聯，即f（a）≥1.借助函數t= f（a）的圖像解決分解問題2（圖2）：

點評：在此例中，先進行換元，將復合函數y=f［f（x）］利用換元思想寫成兩個函數y=f（t）和t=f（x）；再在直角坐標系tOy和直角坐標系xOt中畫出函數y=f（t）和t=f（x）的圖像.一般情況下，兩幅函數圖像應該不一致，只有當自變量t與自變量x的取值范圍相同時，圖像保持一致.但在具體作圖中，未考慮自變量t與自變量x的取值范圍，將兩幅圖畫得完全一致，也不影響解題；最后借助直角坐標系tOy中，借助函數y=f（t）的圖像求出t的范圍（分解問題1），再在直角坐標系xOt中，利用函數t=f（x）的圖像求出x的范圍（分解問題2）.以上解法很好地回避了分類討論過程，將整個解題過程以圖形方式直觀地呈現出來，易于學生理解與接受，同時注重了函數教學中需強化的數形結合思想.

四、通過對函數變量整體進行換元

在高中數學中很多函數都是在已知函數相關等式的前提下，求相關的函數值，如果函數值比較復雜時，學生往往會被題目復雜的表面所困，實際上解答此類問題可以用換元簡化函數等式，使復雜的函數得到簡化，從而使學生輕而易舉的解出函數值，掌握解題思路，同時訓練學生的發散思維能力.

例4 已知f（x）是定義在R上的奇函數，同時f（x-2）=-f（x），f（1）=-1.

（Ⅰ）請求證：f（x+2）=f（x-2）；

（Ⅱ）請計算出f（2005）的值.

解：（Ⅰ）證明：通過上述分析可知，f（x-2）=-f（x），所以，f（x）=-f（x-2），然后可以采用變量換元法將x變換為x+2，代入f（x）=-f（x-2）中可以得到f（x+2）=-f（x），因此f（x+2）=f（x-2）.

（Ⅱ）通過（Ⅰ）我們可知，f（x+2）=f（x-2），然后由f（x+2）=f（x-2）可以采用換元法將x變換成為x-2代入其中，最后可以得到f（x-2+2）=f（x-2-2），f（x）=f（x-4）.

因此f（2005）=f（2001）=…=f（1）=-1.

總之，在高中數學的學習過程中，換元法是一種比較常用的解題方法，它不僅能簡化解題過程，而且幫助學生分析解題思路，培養學生發散思維能力，靈活運用多種不同形式的換元法能將復雜而煩瑣的數學題簡化計算，收到奇妙的效果，使學生不再畏懼數學計算.所以在數學的學習中一定要綜合運用歸納、猜想、假設、數形結合以及等量轉化等相關的數學方式解決疑難問題，簡化數學解題思路，培養學生學習興趣，從而提高學生的學習能力.