“動中尋靜，動靜結合”破解高中數學動態難題

☉江蘇省姜堰中學 李 彥

“動中尋靜，動靜結合”破解高中數學動態難題

☉江蘇省姜堰中學 李 彥

從哲學的角度來看，動與靜是相對矛盾的統一體，動態問題是高中數學教學中的難點問題，在處理高中數學的動態問題時，采取“動中尋靜，動靜結合”的處理方法與手段，能夠有效突破思維障礙，準確把握切入點，弄清解題的方向；筆者根據自身的教學實踐，以高中數學動態問題為探究載體，采取理論與案例相結合的方式，重點闡述緊抓運動中的不變量，采取動靜結合與轉換的具體實施方式，希望能給讀者帶來一定的參考與借鑒.

一、動中尋靜，以靜制動

運動是絕對的、永恒的，而靜止卻是相對的，自然界的萬物都是處于運動之中；在數學領域之中，數量關系與空間形式變換體現運動的特征，但在運動的、變化的過程中蘊含著靜止的、不變的因素；實踐表明，以數量關系與空間形式中的不變量為解題的突破口，能夠提升處理數學動態問題的實際效率.

例1 如圖1所示，正四棱錐P-ABCD可以繞AB邊任意旋轉，AB?平面α，已知點P在平面α上的射影為O，試求：|OC|的最大值.

圖1

圖2

解法1：根據題意作出如圖2所示的輔助線，E、F、M分別為AB、CD、PE的中點，點O為P點在平面α上的射影且在線段AB的中垂線上，CD⊥面OEF，正四棱錐繞AB邊旋轉的過程中，OM和MF的長度保持不變且|OM|=在 Rt△OFC中，|OC|2=|OF|2+|CF|2，由于|OF|≤|OM|+|MF|，則，則當O、M、F三點共線時，|OC|取得最大值且

解法2：正四棱錐P-ABCD在繞AB邊旋轉的過程中，向量和的模，以及與、與之間的夾角均為確定值，令∠PEO=α，根據幾何關系知∠PEF=60°，則當2θ=90°，即θ=45°時，|OC|2取最大值且

點評：本題主要涉及立體幾何動態旋轉中的極值問題，由于動點O和C位置的不確定性，從而導致不少學生難以準確找到解題的突破口；解法1中解題的關鍵在于從運動旋轉中不變量OM和MF入手，構建直角三角形進行求解，體現了“動中尋靜，以靜制動”的處理手段；在求極值時特別要注意一種錯解的情況：|OC|≤|OM|+|MF|=3（此時取等號的情況不成立）；解法2中，借助于向量的分解進行運算，形成“以靜制動”的解題效果，能夠有效化解動態旋轉難題.

二、動靜轉換，化繁為簡

從物理學的角度來看，運動和靜止具有一定的相對性，參照物的不同運動的特征也不相同，在數學數量關系中A相對于B運動（A動B靜止）可以看成B動A靜止；對于數學中的動態問題，完全可以利用這種動靜之間的相對性進行處理，往往能夠達到意想不到的效果.

例2 在平面直角坐標系中，存在如圖3所示的圓M：（x-3）2+（y-3）2=4，E為圓內接正方形ABCD邊AB上的中點，若正方形ABCD繞圓心M轉動的同時點F在邊AD上運動，試求：的最大值.

圖3

圖4

解法2：原題中正方形ABCD繞圓心M旋轉，坐標原點O不動；這里可以看作正方形ABCD固定不動，坐標原點O以M為圓心，OM為半徑做圓周運動，如圖4所示，從數量積的幾何意義角度分析，當O、M、E三點共線且F點運動至A點處時，向量在向量方向上的投影值最大，則此時取最大值，即

點評：本題主要考查向量中的極值問題，解法1的主體思想是進行向量的分解與轉化，過程復雜煩瑣，對學生的向量運算和思維能力要求較高，部分學生難以準確、快速地處理本題，顯得“力不從心”，而解法2將研究對象進行有效轉換，將多點運動的問題轉化為單點運動的問題，卸下復雜外衣，化繁為簡，極大地降低原題的難度，從而實現從“疑無路、柳暗”向“花明”的有效轉化.

三、動靜結合，事半功倍

運動與靜止是矛盾的統一體，同時存在，同時制約，兩者還可以相互轉化；實踐表明，靈活處理好數學問題中的“動”與“靜”之間的關系，能夠準確把握住數學問題的本質，加深對問題的進一步理解，提綱挈領，順利解題，從而達到“事半功倍”的效果.

例3 已知函數f（x）=x2+mx-1滿足在x∈［m，m+1］上使得f（x）＜0均成立，試求：實數m的取值范圍.

例4 已知0＜x1＜1，0＜x2＜1，0＜x3＜1，試求證：x1+x2+x3-x1x2-x1x3-x2x3＜1.

證明：令x3=x，f（x）=（1-x1-x2）x+x1+x2-x1x2，則命題變為證明：f（x）＜1，若1-x1-x2=0，則f（x）=x1+x2-x1x2=1-x1x2＜1；若1-x1-x2≠0，由于函數f（x）是單調性函數（一次函數）且f（0）=x1+x2-x1x2=（1-x2）（x1-1）+1＜1，f（1）=1-x1x2＜1，綜上可得f（x）＜1，即x1+x2+x3-x1x2-x1x3-x2x3＜1.

點評：函數是高中數學教學中的重點、難點和熱點問題，例3中主要是針對二次函數最值問題的考查，這里是采取“軸動——‘動’，取值區間定——‘靜’”的手段進行處理，“一動一靜，動靜結合”的方式，結合二次函數的性質可知，二次函數的最大值出現在取值范圍的端點處，這樣能給有效避免分類討論，化繁為簡，讓問題“迎刃而解”；例4中，涉及的參數變量比較多（三個變量），直接利用不等式的性質進行解題幾乎是無從下手，毫無頭緒，給不少學生帶來解題的麻煩，這里若固定變量（x1和x2——“靜”），有效引入新的變化參量x（令x=x3——“動”），將原題轉化成函數問題，再利用函數的性質進行分析證明結論.

總而言之，“動靜結合”是一種典型的數學思想和解題方法，實踐表明，利用動靜結合的數學思想方法分析實際問題時，能夠有效轉化問題的實質，有助于探尋高中數學動態難題的入手點和突破口，有利于把握數學問題的本質規律；作為一線的高中數學教師，在平時的教學中，應該有意識地培養學生“動中尋靜、化動為靜、動靜轉換、動靜結合”的數學思想方法，促進學生個性品質的快速發展，進而提升高中數學課堂教學效益.