題不在多 啟發思維則靈

☉西安交通大學蘇州附屬中學 單景麗

題不在多 啟發思維則靈

☉西安交通大學蘇州附屬中學 單景麗

眾所周知，數學教學離不開解題.但是近年來隨著應試壓力的加大，新課程標準提倡的讓學生學會學習數學的教學更多成為一種理想狀態，究其原因還是數學抽象、形式化的特點與學生認知、思維成長不能同步造成的.從初中數學到高中數學，數學知識的形式化程度一下提升了不少，諸如對于函數概念的界定抽象了不少，很多學生一直無法抓住函數概念更深層次的理解.

筆者認為，這也不能完全怪學生，造成這樣的現狀還是多方面的.因此，這也造成了教師用最直接粗暴的方式——題海訓練對學生進行訓練和鞏固，只要訓練各種各樣的問題，勢必對數學知識的運用起到一定的輻射效果，而且在短期內有很大的效果.這也是當下基礎教育在理想和現實層面無法回避的矛盾.筆者也不敢否定這種訓練的模式，至少其存在還是有一定的合理性.但從長期來看，這種方式勢必對學生思維的培養有一定的阻礙作用，數學教學不能只做題而不思考、不能只訓練而不總結，因此筆者認為在一定程度上需要做一些總結性的思考，特別是在有典型問題的解決上，要以“山不在高有仙則靈”的精神去引導教學，提高自身專業化水平的發展，發展學生的思維.

筆者認為，好的試題往往不止一個角度切入，這樣的試題在追求知識運用的廣度上有著非常全面的拓展，有助于學生通過一個數學問題的解答，獲得更多知識整合運用的能力.這樣的試題對于學生思維的啟發往往是全面的、深刻的、多樣的，值得教學深究和探索，這遠比做一些雜亂無章的數學問題來的有效和更具思考.

例題 在平面直角坐標系中，A、B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為____________.

分析：本題改編自2015年江西高考真題.該題是求圓的面積最小值，可轉化為求半徑的最小值.解決本題的關鍵就是找到圓的半徑所滿足的條件.通過分析題意可得到結論：圓心C到A、B、O三點的距離與到直線2x+y-4=0的距離都相等且都是半徑.因此可以從不同視角去思考問題.

思維1：引導學生思考：為何到定點的距離等同于到定直線的距離？從這一條件入手是哪個基本知識點的運用？顯然是拋物線的定義！因此問題這樣思考：由已知得點C的軌跡為以O為焦點，直線2x+y-4=0為準線的拋物線，所以將問題轉化為求拋物線上的點到焦點的距離的最小值.如圖1，設原點O到直線2x+y-4= 0的距離為d，則點C到直線2x+y-4=0的距離是圓的半徑r

圖1

思維2：考慮到拋物線并不在標準形態下，此時很多學生未必會使用思維1中的定義去思考，因此教師也可以利用第二種思維引導學生，即能否通過代數化的手段首先解決點C的軌跡問題？這應該是很多學生的第一想法，與學生共同探討嘗試.由已知得點C（x，y）的軌跡方程是化簡整理得，曲線E：x2+4y2-4xy+ 16x+8y-16=0，將所求的問題轉化為求曲線E上的一點到直線2x+y-4=0的距離最小值，此時只需將直線2x+y-4=0向曲線E平移，當與曲線E相切時，切點P（x0，y0）到直線2x+y-4=0的距離就是半徑r的最小值.如圖2，設切線方程為2x+ y+t=0，由消去y0得由于相切，所以Δ=（20t）2-4×25×（4t2-8t-16） =0，解得t=-2，此時，從而得到等式r=min

圖2

思維3：圓是解析幾何中最簡單的二次曲線，相比橢圓、雙曲線、拋物線而言，圓中的很多問題都有獨特的解決方式.教師教學中引導學生思考，圓中的很多問題并非是完全使用解析幾何代數化運算的方式解決的，可以利用哪種更為有效的途徑？學生的思維迅速向幾何方式靠攏，顯然從幾何方式的角度去思考與圓相關的問題，往往來得更為有效.這里教師向學生滲透了解析幾何中不同曲線的解決思路：圓中的問題更傾向于幾何方式，橢圓等曲線的解決方式更傾向于代數化的途徑，思維的轉化從這里得到了鞏固和提升.設圓C與直線2x+y-4=0相切于點P，則由已知得圓C過點A、B、O、P，且有CP垂直于直線2x+y-4=0，如圖3，顯然當O、C、P三點共線時圓C半徑取最小值，此時點O到直線2x+y-4=0的距離是圓C的直徑.

圖3

思維4：圓是一種特殊的二元二次曲線，其不僅有充足的幾何意義，也有非同一般的參數角度——三角函數.我們知道，圓方程的參數就是三角換元，利用圓的參數方程非常方便地解決與之相關的最值問題，這與三角函數求最值的簡潔性密不可分.因此教師以三角函數設計代數化思維：設圓C的半徑為r，點C的坐標為（rcosθ，（舍去）.

思維5：哥倫比亞大學教授張壽武先生說：“我的數學學習之路都是由運算鋪成，我喜歡最質樸的想法，發自內心的道路，這時往往運算才是問題解決的關鍵.”筆者認為，很多學生能想到圓方程的一般形式，結合一般形式去思考、解決，運算勢必成為最大的瓶頸.引導學生解決好圓的一般方程涉及的運算是關鍵：由已知可設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey=0，則聯立方程組消去y整理得5x2-（2E-D+16）x+4E+16= 0，由已知得Δ=（2E-D+16）2-4×5（4E+16）=0（E≥-4），即所 以 圓 的 半 徑r=由于t≥0，當時，r取最小值

說明：解析幾何中求最值的問題，已成為高考的熱點和難點，其解題方法一般有兩種解題思路：其一是幾何法，即找出最值的幾何意義，利用平面幾何性質求解.最值的幾何意義，常見的有：（1）最值的幾何意義是求圓錐曲線上的點到焦點的距離的最值，其幾何性質是頂點到焦點距離時取最值（比如解法1）；（2）最值的幾何意義是求曲線上一點與直線距離的最小值，其幾何性質是曲線上離直線最近的點到直線的距離取最小值（比如解法2）；（3）最值的幾何意義是求有同一端點的兩條線段之和（或差）的最值，其幾何性質是三點共線時取最值（比如解法3）；其二是代數法，即找出所求的問題的函數關系表達式，把所求最值的問題轉化為求函數的最值問題（比如解法4或解法5）.總之，對于解析幾何中求最值的問題，一定要具體情況具體分析，不宜拘泥于代數法或幾何法，宜靈活運用.從這一典型的問題中，我們不難啟發學生所需要用的解決問題的基本思維和思想方法：

（1）思維的第一層次：做出問題解決方向的判斷，一般從思想層面去思考，即代數方式解決還是幾何含義下手，這是典型的思維起始之路.

（2）思維的第二層次：從思想層面入手思考的第二階段即具體實施問題解決過程，代數的角度往往是運算倡導主導地位，其中所有問題都可以看成是某一變量x的函數，有時也能從特殊的自變量去嘗試問題的解決（比如以角度為自變量的三角函數進行解決）；幾何角度往往是圖形化策略的思考，這里可以是一維狀態下的幾何意義，也可以是二維坐標系中的圖像，都是幾何方式最好的呈現，最典型的案例是求函數f（x）=|x-1|+|x+1|的最小值，既可以絕對值的幾何含義下手，也可以從圖像去思考解決.

（3）思維的第三層次：能從一種方式解決問題，還要學會從更多的角度去思考問題，這樣思維才會有延伸性，若僅僅是解決問題、扔掉問題、不斷重復，那么這樣的學習過程依舊停留在淺顯的表層，不具備深刻性，因此題不在多，具備啟發思維則靈.因此，對典型問題的解決倡導進行多元化角度的思考，這遠遠比不斷進行題海訓練、不思考、不歸納來得高效和有深度.

1.付靜.高三數學多變復習教學的有效策略［J］.中國數學教育，2014（9）.

2.鮑建生，等.淺談數學問題串教學研究［J］.數學教學，2013（1）.