求解無理函數值域的教學思考

☉江蘇省西亭高級中學 馬宇杰

求解無理函數值域的教學思考

☉江蘇省西亭高級中學 馬宇杰

函數是中學數學的一個重點，而函數值域（最值）的求解更是一個難點，能熟練掌握函數值域求法就顯得十分的重要.筆者在高三的一輪復習中發現學生在求無理函數值域時只會做老師講過的題目，題目略加變形學生就無從下手，針對這種情況，筆者進行了認真的反思：原來老師對這類例題的功能、本質沒有完全把握.我們從幾個例題來體會這類問題的實質及解決方法及今后在例題教學中如何發揮例題的功能，師生如何在挖掘例題的本質中提高學生的歸類問題、分析問題、解決問題的思維能力.

方法一、整體換元

此類題將無理式整體換元，注意式子的結構和新變量的范圍，否則將會發生錯誤.

點評：學生在解決本題時只記住了老師的解法（換元法），但不知為什么采用這種方法，更不知何時使用這種方法，所以解題思維、解題能力沒有得到任何提高.本題應該這樣教給學生入手：觀察結構發現本函數的最高次是一次的，最低次是次，回想我們學過的函數中恰有一元二次函數中的次數呈現出二倍的關系，所以怎樣轉化為一元二次函數是首要解決的事情，所以通過換元達到了把次直接升冪的效果.此時學生學會了換元升

方法二、三角換元

觀察無理式子內若含有一個常數減去一個變量的平方，則可以聯想同角三角函數關系換元.

解：令x=cosα，α∈［0，π］，所以本題就轉化為我們熟知的接著用輔助角公式就解決了.

點評：本題的實質都是一次的，故不要通過整體換元達到升冪的效果，觀察根號中的結構（一個常數減去一個變量的平方）可以聯想sin2α+cos2α=1.

方法三、配方法

若無理式下含有二次函數以及能通過換元法等轉化為二次函數的題型可以用配方解決.

解：不妨設f（x）=-x2+4x（f（x）≥0），配方得

f（x）=-（x-2）2+4（x∈［0，4］），

利用二次函數的相關知識得f（x）∈［0，4］，

從而得出：y∈［-2，2］.

點評：在求解值域（最值）時，遇到分式、根式、對數式等類型時要注意函數本身定義域的限制，如本題的定義域要求為：f（x）≥0.

方法四、直接平方

方法五、有理化

若無理式直接平方不能使變量都集中在根號中，也無法通過以上的手段達到升冪的效果，此時就從函數的性質角度思考，對式子進行有理化.

方法六、利用幾何意義

有的式子具有明顯的幾何意義，那可以考慮利用式子的幾何意義解決，如可以轉化為兩點間距離.

解：本題可通過整體平方轉化為一元二次方程在區間［0，2］上的有兩解的情況，但是這個角度包含的運算太麻煩，從兩點間的距離幾何意義角度可以看成y=與y=kx+k的交點問題，而y2=1，且y≥0，表示以（1，0）為圓心以1為半徑的上半圓，y=kx+k表示過定點（-1，0），故本題就轉化為了過定點（-1，0）的直線與這個圓的上半圓有兩個不同交點的問題.

方法七、利用數形結合

對無理式可以先換元，再根據數形結合的思想解決，下面結合幾種形式展開介紹.

圖1

如圖1，顯然，直線與拋物線相切時ymax=7，直線過（13，0）時

研究直線與拋物線相切及過某特殊點的直線就成了處理此類函數值域的一般性方法.

圖2

所以ymax=10，過點的直線的縱截距顯然為y的最小值.

圖3中l1及l2兩條直線所對應的y值為最大值和最小值.

2所以

圖3

現在求直線與橢圓相切時l1所對應的y2的值.由已知斜率的橢圓切線方程可知在v=-u-4+y中，所以

為促進規?；?、標準化種植，提升農民的種植效率，日本政府提出生產資料購置補貼政策，鼓勵農民按照相關標準進行種植生產。對規?；B殖、溫室蔬菜種植，政府予以相關設施購買費用的補貼，其中由中央和地方財政補貼75%，剩余25%的費用可通過特定的金融機構進行貸款。2007年開始實施“跨品種經營穩定政策”，改革稻米生產調整及價格補貼，針對特定骨干農戶，不分品種地對其整體經營收入進行補貼支持，加大對農地、水資源、環境保護等的政策支持。

則u、v同時滿足

這時求函數值與問題轉化為直線與曲線的位置關系問題，只需研究直線與曲線相切及過曲線某特殊點的直線即可.

方法八、構造向量

圖4

點評：這類無理函數求值域的解題過程，實質上歸結于簡單的線性規劃問題.約束條件：向量終點的集合，常向量是目標函數的法向量.與解析幾何法的本質相通的.但相對而言，計算量比解析幾何法求切線要小得多，學生出錯的概率更小.

總之，解題教學不應重視一招一式，而應注重方法的自然性、普適性以及解題后的反思、提煉.講一例題，學生記一個，學生在解決這類問題時仍然是不知從何下手，因此，解題教學中，教師的主要職能在于怎樣幫助學生做好解題后的反思，充分挖掘例題本身的功能，做到“授之以漁”.對于無理函數的值域的求解，需要學生特別是在解題后進行分析、比較、反思、提煉，使這類例題的解題思維成為一種能力.