改進馬斯京根法在洪水演算中的探討

李百川

（華北水利水電大學，河南 鄭州 450000）

改進馬斯京根法在洪水演算中的探討

李百川

（華北水利水電大學，河南 鄭州 450000）

馬斯京根法是建立于槽蓄方程以及水量平衡方程的河道流量演算法。其簡便易學，精度亦較高，所以日常實踐應用比較廣泛。我國河流眾多，河流條件各有不同，普通的線性馬斯京根法在某些情況下作洪水演算時會出現明顯的誤差。本文介紹了傳統馬斯京根法的使用方法以及一些經學者們改進后的馬斯京根法使用方法，經比較，不同的時間與空間中可選取不同的馬斯京根法，可以使得演算數據更加準確，洪水預報也更為精確。

馬斯京根法；線性；非線性；分段；分層

引言

河道洪水演進就是通過模擬某一流量洪水在一研究河段的傳播過程，計算推出洪水在該研究河道某斷面的洪水數據，其理論基礎為水量平衡原理與蓄泄關系原理。河道洪水演算有水文學方法和水力學方法之分，因水力學方法中求解圣維南微分方程解析解繁雜易出錯，故經研究發現了一些簡便易操作的洪水演算方法，用的較多的就是水文學方法中最為典型的馬斯京根法，它是利用河段水量槽蓄方程代替繁雜的水動力學方程，從而可在滿足演算精度基礎上使計算過程不再復雜，該方法是1938年由麥克瑟（MC.Carthy）提出并首次將其應用于馬斯京根河上，后經一系列研究到 1978年Pouce和Yevjevich研究將變動水面寬度及變動力波速度的變動參數應用于1969年Cunge提出的馬斯京根—康吉模型[1]上，馬斯京根模型此時才基本完善。自20世紀50年代起，我國也對馬法的研究高度重視，例如河海大學趙人俊教授帶領采用線性有限差解法[2]推導馬法的基本原理，后錢學偉采用連續演算解析法詳細推導了瞬時單位線和S （t）曲線，并與趙人俊教授的研究成果作了有益的比較[3]。

傳統馬斯京根法是在線性解的基礎上進行計算，參數K，x應為常量，同時流量在計算時段內和沿程變化也要呈直線分布。但我國河流眾多，水流條件復雜多變，如小流域河道匯流一般會呈現出較強的非線性，基于線性方程的馬斯京根法進行河道洪水演算時，可能就會出現模擬精度不高的現象，而且各級洪水的參數K和x也不相同，也會呈非線性，因此在許多情況下K～Q和x～Q關系是非常散亂的，難以概化。為此，在傳統馬斯京根法的基礎上做出改進，使得可以在各種情況下進行較為準確的洪水演算至關重要。

1 傳統的馬斯京根法

馬斯京根法是河道洪水演算水文學方法中最為典型的方法，它通過歲河槽調蓄作用的計算反映河道洪水波運動的變化規律。傳統馬法的基本方程是：

式中 I（t）——河段上斷面入流量；Q（t）——河段下斷面出流量；W（t）——河段的槽蓄量；K——槽蓄系數，具有時間因次，相當于洪水波在河段中的傳播時間；x——流量比重因子，無因次，主要與洪水波的坦化變形程度有關；Q’（t）——示儲流量。

差分后得到馬斯京根法的流量演算公式為：

式中 Q’（i）——時段i的演算出流；Q——時段i的實測流量；I（i）——時段i的入流量；n——時段數；Δt——計算時段長；c0、c1、c2——演算系數，且滿足：

在實際應用中，馬斯京根法模型的參數估計是一個非常重要的問題，馬法使用中參數優化也是一個重難點。最小二乘法[4-5]、試錯法以及最小面積法等都是傳統上確定模型參數的方法，但是率定馬斯京根參數的這些傳統方法都有很大的局限性，精度不夠高，如試錯法估計參數時需要花費大量的時間進行盲目的調試，又不易將其程序化，同時也不能保證c0、c1、c2使全局最優。學者們對此作了很多的研究，也得到了一些優化參數的方法，翟國靜優化參數是通過演算與實測出流過程的離差平方和最小化實現，還有遺傳算法[6]、蟻群算法[7]、遺傳模擬退火算法[8]、SEC-UA算法等方法都能更準確的進行參數估計。

2 改進后的馬斯京根法

2.1 非線性馬斯京根法

由于河流眾多，地形復雜多變，每一次的洪量也不固定，因此河道蓄泄關系在很多時候并不呈現出完全的線性關系，例如大中型河床的中下游段，小流域河道匯流更是如此，此時就表現出了非線性的特點，為了反映這種非線性關系，Gill[9]提出馬斯京根法的非線性槽蓄方程，即：

式中，n是槽蓄方程非線性指數。

在估計非線性槽蓄方程的參數時文獻2中提出可采用如下方法：

根據式（3.1），求得流量Q（t）的表達式為：

把式（3.2）代入馬法的連續性方程中得：

式中，Δt為演算時段長。

參數K，x和n的值通過迭代程序求得：

假定x和n的初始值；

通過式（a）求出研究河段的槽蓄量，初始的出流量和入流量相同；

通過式（c）求出河段槽蓄量的變化率；

利用式（d）求出下一時間段的槽蓄量；

通過式（b）計算下一個時段的流量；

重復步驟（2）到（5）

非線性馬法優化參數時應當同時估計K、x、m，隨著發展，出現了許多優化參數的方法，如基本的最小二乘方法、非線性最小二乘法，以及后出現的混合遺傳算法（MGA）[10]、調和搜尋算法、粒子群優化算法[11]、Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno方法和文獻1中采用的新興差分進化算法[12]等，這些方法在參數進行優選時都取得了很好的效果。傳統的馬法假定參數K，x在研究河段內為常數，但這樣的假定在有些情況下是不符合實際的，例如在大中型河床中下游河流坡降小，斷面流速會隨著水位的升高而增加較快，此時就存在較強的非線性，若采用上述非線性的馬斯京根法就可一定程度上解決這個問題，故同傳統的馬斯京根法相比，非線性馬斯京根法可以針對更多種情況進行洪水演算，精度也大大的提高了。

2.2 分段馬斯京根法

河流問題復雜多變，各河流之間存在著一定的差異，即使是同一條河流也有許多水文條件不同的河段，如文獻3中提出的黃河小北干流匯流區，即龍門-潼關河段[13]，該段洪水漲落幅度大，支流對其有很大影響，對該區間洪水預報有一定的難度，精度相對較低，而采用分段馬斯京根法進行洪水演進計算就可以很好地處理這個問題，將研究河段分為不同的小段，預報中也可以加入支流部分，預報精度會有極大的提高。

分段馬斯京根法就是將某一河道（長為L）分為n段，令每段的K值相等，選定Δt，給定K，x，則有公式：

式中 n——分段數；

L——河長；

Ll——分段河長；

Kl——分段蓄量常數；

xl——分段流量比重系數。

近年來，分段連續演算法在我國很多地方得到了應用，用該方法預報洪水過程解決了由洪水陡漲陡落造成的演算時段少的問題。分段馬斯京根法演算的前提是假設每段參數都相同，實際上由于各段河道情況不盡相同，因此對洪水調蓄作用也不相同，而每個分段的參數相同時各分段的實際河長必然不相等，所以使用該方法必然會存在誤差，但是從文獻3實例分析及模擬預報可看出分段馬斯京根法仍能夠較好地反映上游實際來水情況，精度也夠高。

2.3 分層馬斯京根法

由于馬斯京根法簡單易操作而被廣泛使用，但是對于某些洪水無論參數如何取值都不能保證整個過程線的高水段和低水段同時很好擬合，這種情況在復式河道更加明顯。復式河道中，高水位和低水位水面寬可能有較大差別，此時水力特性及洪水傳播規律通常也不相同，這時就不可能找到一組K、x值使整個過程線擬合的都很好，若將洪水分層，每層分別采用不同的參數分別計算就能夠很好的解決這些麻煩。

在研究一個天然河段洪水演算時，先點繪出該研究河段沿河一些站的實測大斷面圖和幾場大洪水的上、下游測站流量過程線。若顯然為復式型大斷面，或者下游測站流量過程線不連續性現象很明顯（通常流量過程線的不連續點與大斷面突變處的上灘流量一致），就應進行分層，分層依據為大斷面（或下游測站流量過程線）的突變次數，突變處流量作分界流量。

當分界流量確定之后，再對上斷面的入流過程進行分層，各層入流過程與總入流量的關系為：

式中 It——t時刻上游斷面總的入流量（該參數已知）；

Ii，t——第i層t時刻的入流量，需計算后確定；

L——分層數。

依據已求得的各層入流過程線Ii，t，分別用相應層的傳統馬法演算系數c0i、c1i、c2i進行演算，求出各層入流在下游斷面的出流量Qi，t，即

式中的Ki、xi分別表示第i層的蓄量常數和流量比重因子。下斷面在t時刻的總出流量由各層在下斷面的出流量疊加得到，公式為：

各層間K、x與河道特性、分層數以及各層的厚度都有關系，選擇時以率定的結果為準。通常說來，隨著水位上升，水面變寬，河道調蓄作用變大，洪水波得傳播時間加長，K值變大，x值相應變小。應該注意的是傳統馬斯京根法中的流量是河道的總流量，反映河道的總水體，而分層馬斯京根法中的流量是層流量，反映部分水體，故分層馬法演算參數與流量的關系和傳統馬法中的物理概念不完全相同，不可一概而論。

進行分層馬斯京根法參數估計時，各層參數只主導相應層，應先根據小洪水資料率定下層參數，再依次使用中、大洪水從下往上逐層率定參數。率定參數過程中對分界流量應作相應調整。由于各層的參數可分別調整，因此自由度比較大，能夠解決一些傳統馬斯京根法無法解決的問題。同時此方法也較為簡單易操作。從文獻4的實例分析[14]中就可看出該方法可以較為精確的進行洪水演算，因此實用性很強。

3 結語

諸多學者對馬法的改進在進行洪水演進計算時都非常有效，經比較，在不同情況下采用不同的方法進行洪水演算及預報，可使在洪水預報更加精確的基礎上計算簡單化，減少工作量。通過對傳統的馬斯京根法與改進的馬斯京根法相比較，在洪水演算及預報精度上仍需我們進一步的研究探討。

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TV8

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10.11974/nyyjs.20161232024

李百川（1991-），男，河南濟源人，華北水利水電大學研究生。