臺灣數學研究現況（下）

于昕濤++張濤

離散數學

在離散數學領域，圖論是目前最為興盛的一支，而著色問題則是圖論的核心研究領域。這不僅是為了挑戰四色定理難題，也可利用圖論所提供的方法，為許多資源分配的現實問題找到理論上的適當解決方法。臺灣在上世紀90年代開始，由均勻著色問題的研究出發，通過不斷交流與相互啟發，逐漸成為世界上研究著色問題的重鎮。目前島內主流研究方向集中在圖的圓著色上，它是傳統圖著色問題的精致化，其前沿的研究成果有很大部分出自臺灣，包括近期在Kneser圖上的圓著色成果，極大擴充了Borsuk-Ulam定理的應用范圍。而且通過探討圓著色問題的內在結構，使得許多古典純數學工具，如拓樸方法、概率方法、幾何、動態系統分析等都得以發揮。另外，通過圓著色厘清了離散事件動態系統與scheduling之間隱晦的聯系。這些連通甬道的發現，讓組合數學工作者得以通過圖著色問題，經chip-firing模式走向物理學的sandpiles非線性動力模式，也極自然地關聯上軟件工程、運輸排程、并行計算機等領域內的問題。

其次是圖分解問題，目前島內研究主要集中在如何把圖的邊線集合劃分開來，成為各種所需的圖。臺灣學者在有關路徑分解、回路分解、星狀圖分解等方面都取得相當大的成果。除了基礎研究外，部分人也開始探討實際應用方面，例如與日本學者合作，將圖分解理論用來處理DNA數據庫規劃、同步光纖網絡的設計等問題。

目前臺灣主流學者將圖論的研究技巧與有限群理論、表示論、交換代數、代數幾何、代數拓樸等結合，重點研究組合與圖論性結構與物理化學性質，如通過對分子拓撲模型（即分子圖）的研究來探討其化合物的構造，利用匹配數學中Pfaffian方法與Dodgson的行列式求值規則，厘清無圈分子圖的Wiener指標與匹配間的關系。

部分學者將分析中的泰勒展開式的概念引入組合數學中的生成函數，開展組合序列各種分布性質的研究，探討有關單峰性、對數凹性、對數凸性和PF性質等，在組合、代數、分析、幾何、電腦科學、概率和統計等方面都得到一定應用。

概率論的研究在島內的發展起步較晚，直到上世紀80年代才有一批學者相繼投入這方面的研究。幾個主要研究領域包括馬爾可夫過程、擴散過程、極限理論、自相似相關理論、相互作用粒子系統、統計物理、Martingale理論、白噪聲分析、排隊理論、財務數學理論、隨機矩陣、賽局論等，取得較好的研究成果。

然而島內從事概率論的研究大多以個人為主，大學數學系也一向以教授代數、幾何、數學分析為主，學生對概率論接觸的機會并不多，這也極大限制了相關領域的發展。目前僅在臺灣中研院數學所有一個研究團隊，與大陸有兩年一次的雙邊學術交流活動。

計算科學

近20年來，臺灣參與計算科學研究的人數有明顯增加，其成果已成功應用到許多高科技領域，如超級電腦、平行計算、氣象預報、空氣動力學、量子力學、半導體元件設計、光子晶體、冷原子現象、燃燒科學等，并且隨著新型計算機的不斷問世，計算科學也在逐步改變和提高其計算方法。

臺當局1990年召開的“第四次全臺科技會議”將計算科學列為發展的重點。臺灣科技主管部門從1992年起每年編列1500萬元新臺幣作為島內數學界發展計算科學的經費，鼓勵數學家們與工程、資訊等領域研究人員合作組成研究團隊，共同提出整合型研究計劃（含三位以上主持人）。目前，島內計算科學的研究領域大致可分為矩陣計算的理論及其應用、偏微分方程數值理論及方法。

近年數學領域重要成果

最近幾年臺灣數學領域取得的重要成果有：

關于陳-賽門-黑格（Maxwell-Chern-Simons）模型中的非線性分析及其相關橢圓偏微分系統方程的研究，得到規范場方程的孤立解，從而推出該解所描述的物理量，不僅能證明非特定拓撲以及非拓撲孤立解的存在，更可進一步對于特別綁定的的能量或電荷值，證明具備該能量或電荷的解的存在與唯一性。

成功突破了超李代數的表現理論，解決“不可約”特征問題，并找出最重要的基本不變量，清楚描述所有A、B、C、D四型超李代數的表現，確立李代數與超李代數表現之間的聯系，是超李代數近20年來最重要的研究進展之一。研究團隊發現在無窮維空間里，對稱與超對稱是可以互通的，其成功的關鍵在于所謂“超對偶”，并找出超李代數的不可約特征，也證實了李代數與超李代數之間的一種等價性，此一研究成果將進一步影響未來超幾何與數學物理的研究。

函數資料的群集分析，利用函數隨機展開式與子空間投影法，由函數主成分分析得到的子空間，定義不同的群集，再依訂定的分群準則做群集分析。這項研究的特點是可定義各種相似測度來達到分群的目標，同時考慮群集子空間平均函數與共變異結構的特性，利于了解各群集間系統與隨機結構的差異性，可廣泛應用于生物醫學、農業科學、化學計量學、氣象學、心理學、行為科學、市場行銷，財務計量、人口預測、腦圖像科學、語言學等函數型資料的群集分析，例如成長曲線分析、cDNA微列陣表現數據。

不可定向流形上的模空間的上同調群的研究。這項研究的目的在于了解不可定向流形上的這種模空間的拓樸。首先在不可定向流形上的connection空間上定義一個有意義的能量函數，利用這個能量函數將整個空間層化后，再對每一層分別討論。針對4個重要古典李群，對各層有了清楚的刻畫，不僅說明其幾何拓樸不變量可以詳細地被計算，其算出的拓樸不變量也顯示不可定向流形上的模空間與古典可定向流形上的模空間有根本性的不同。

歐拉管道流及交通流穩態解存在性及穩定性的研究。成功地利用幾何奇異擾動理論，得到不同管道結構下穩態解的存在性及多重性，并通過能量估計法得到某類穩態解的線性穩定性。這項研究還利用此研究技巧，成功探討管道截面積不連續的情況下穩態解的存在性問題、具粘滯及放松項影響下交通流模型穩態解的存在性與穩定性問題，及費茲霍夫-拉古姆（FitzHugh-Nagumo）類型的方程組行波解的存在性及復雜度，為多尺度問題的研究提供了一個極為有效的工具。

捕食者及被捕食者生物模型行波解的存在性研究。這項研究利用高維度的像空間分析、瓦如斯基理論和拉謝爾不變原理，在三維球上構建瓦如斯基集及李阿普諾夫（Lyapunov）函數，并證明此類模型存在著侵略波。其研究成果可推廣到更為一般的掠食者模型，甚至涵蓋了其他種類的傳染病模型，對于非單調系統提供了一個很好的分析工具。

24維全純型框架頂點算子代數的分類研究。理論物理學中全純共形場論的分類可看成相對頂點算子代數的分類。該項研究利用框架頂點算子代數的表現論，嚴謹地建造出17個新的24維全純頂點算子代數，當中包括蒙塔古（P.S.Montague）沒有得到的第10號例子；同時，也確定了這些頂點算子代數重量1子空間的李代數結構，并確定其中幾個例子的唯一性。所建造的頂點算子代數是Schellekens后唯一嚴謹的新例子，對如何構造其他的例子及解決整個分類問題有非常重要的影響。

失去異結合型分析系統。這項研究開發了一套能有效探測失去異結合型基因片段的方法與分析系統，用來分析全基因或訂制化單一核酸多型性生物芯片數據，可同時用于估計同結合型的比率，找出染色體結構和基因型分布異常的樣本，將具有相似的失去異結合型結構的樣本歸群，并定位出疾病相關的失去異結合型基因片段；此外，也可用于研究不同族群間連續長片段同結合型（LCSH）分布的異同，協助挑出基因中攜帶復雜長片段同結合型的樣本，對具有不同遺傳和演化背景的樣本分群，并且定位出重要的長片段同結合型基因片段。由臺灣中研院統計科學研究所組成的研究團隊，將該分析系統實際應用于癌癥研究上，成功地找到急性白血球疾病的致病基因，如ETV6和CDKN1B。

此外，臺灣中研院統計所研究人員還發展出一套處理單套體病例的對照研究統計分析新方法，提出經驗貝氏的方法與懲罰估計的方法，得出新的疾病單套體回歸分析的縮減估計式，能顯著地改進傳統前瞻性及回溯性估計式。