立足特殊化，巧解數學題

許瀝　魏海霞　高明

【摘要】特殊化思想是創新思維中一種重要的數學思想，可以起到簡化推理，弱化運算，排除選項的作用.本文通過特殊賦值，特殊引路，特殊探究三個方面闡述特殊化思想在數學解題中的應用.

【關鍵詞】 特殊；特殊化；數學題

【基金項目】2014年西華師范大學校級教學改革研究項目，項目編號：403/403299

“特殊寓于一般之中”，利用特殊化的思想解題，可以將問題化繁雜為簡單，化困難為容易，化陌生為熟悉，可以起到簡化推理，弱化運算，排除選項的作用，有助于數學思維的培養和解題效率的提高.

一、特殊賦值，巧解客觀型選擇題

特殊賦值的主要形式有變數字母數值化、一般圖形“正”規化、特殊數值代入化.在解答客觀性試題時，采用特殊賦值可以簡化推理和弱化運算，排除錯誤選項，取得事半功倍、出奇制勝的效果.

例1 不等式m2+（cos2x-5）m+4sin2x≥0對任意實數x恒成立，則m的取值范圍是（ ）.

A.0≤m≤4 B.1≤m≤4

C.m≥4或m≤0D.m≥1或m≤0

分析與解答 此題涉及兩個參變量且含正、余弦運算，常規解答較為復雜.解題時可以轉換思維，通過結論的特征，將m進行賦值，采用特殊數值代入化的方法進行驗證.令m=0時，代入驗證，滿足題意，則可以排除選項B；令m=1時，不滿足題意，則可以排除A、D兩個選項；故答案應選C.

二、特殊引路，探求一般證題規律

對于某些定點、定值問題，可以從特殊情況入手，通過特殊情況的解題過程所獲得的啟示，由此探明解題的方向，探求解題思路.

例2 設D是銳角△ABC內部的一點，使得∠ADB=∠ACB+90°，并且AC·BD=AD·BC，試計算比值AB·CDAC·BD.

分析與解答 這是一道定值計算題，通常可以采用特殊化的方法，先探究出結論，以此為基礎，尋找解決試題的思路.將△ABC特殊化，考察△ABC為正三角形，則∠ADB=150°，BD=AD， 于是有

AB·CDAC·BD=CDBD=sin∠DBCsin∠DCB=sin45°sin30°=2. 通過特殊化，探究出了AB·CDAC·BD在一般情況下的值應恒為2.

而“2”是一個較為特殊的數，可以看成是等腰直角三角形的斜邊與直角邊之比.這樣通過特殊化探究，為解題提供了方向和解題思路：構造一個等腰直角三角形.因此，構造一個等腰直角△BDE（如圖），由AC·BD=AD·BC，BD=DE，∠ADE=∠ADB-90°=∠ACB，可得 DEBC=ADAC，△AED∽△ABC， 得到AEAB=ADAC，又∠EAD=∠BAC，推得∠EAB=∠DAC，于是△AEB∽△ADC，有ABAC=BECD.因此，AB·CDAC·BD=BECD·CDBD=BEBD=2.

三、特殊探究，構建解題思維途徑

當題目結論不明確，解題思路不清晰，解題方向不明確時，可將試題條件特殊化，通過“嘗試—觀察—歸納”的探究過程，為解題提供線索，找到解決問題前進的方向，將隱含信息顯性化，內在結構特征外顯化，化陌生為熟悉.

例3 若實數x，y滿足1+cos2（2x+3y-1）=x2+y2+2（x+1）（1-y）x-y+1，則xy的最小值為.

分析與解答 由于條件是關于x，y的超越方程的形式，等式左邊=1+cos2（2x+3y-1）≤2為三角式，右邊為分式形式，很難找到解題思路.可將試題條件特殊化，將x視為常量，將y視為變量.

當y=0時，右邊=x2+2（x+1）x+1=x+1+1x+1；當y=1時，右邊=x2+1x=x+1x；當y=-1時，右邊=x2+4（x+1）+1x+2=x+2+1x+2；通過特殊化探究，就將題目當中的隱含信息顯性化了，內在特征外顯化了，即右邊為一個數與這個數的倒數的和的解析式形式，為解題提供線索和方向.

實際上，x2+y2+2（x+1）（1-y）x-y+1=x-y+1+1x-y+1≥2.根據等式成立的條件可得：x-y+1=1， 2x+3y-1=kπk∈Z，得x=y=kπ+15.因此xy的最小值為125.

數學高考、競賽試題因其內容的廣泛性與深刻性，其解答包含著豐富的機智思想.在教學過程中，教師應有意識讓學生掌握和運用特殊化的思想，加深對數學方法的理解.只要認真去總結，用心去領悟，就能拓展解題思路，提高解題效率，優化解題技巧.

【參考文獻】

[1]田紅亮，田戚可人，戚江艷. 一題多解[J]. 佳木斯職業學院學報，2015（11）.

[2]任愛群.一道數學題的多種解法[J]. 中學數學教學參考，2015（21）.