利用空間向量解決空間距離與空間的角

陸清煌

隨著新教材的推廣，用空間向量的有關知識解決立體幾何的位置關系和空間角和距離問題比較方便.利用向量方法研究立體幾何問題主要包括兩方面，一是利用空間向量的運算論證空間線線、線面、面面的垂直與平行關系；二是利用空間坐標系與向量方法解決空間角與距離的計算問題，本文主要研究利用向量方法計算空間角和距離.

一、空間向量與空間距離

點面距離公式：平面α的法向量為n，P是平面α外一點，點M為平面α內任一點，則P到平面α的距離d就是MP在向量n上射影的絕對值，即d=|n·MP|n.

例1 如圖，四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點，

CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2.

（1）求證：AO⊥平面BCD；

（2）求點E到平面ACD的距離.

分析 本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基礎知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.

方法一 用傳統的幾何法證明：

（1）連接OC，證明略.

（2）解：設點E到平面ACD的距離為h.

∵VE-ACD=VA-CDE，∴13h·S△ACD=13·AO·S△CDE.

方法二 建立空間直角坐標系，利用向量，且將向量的運算轉化為實數（坐標）的運算.

（2）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（-1，0，0），

C（0，3，0），A（0，0，1），E（12，32，0），BA=（-1，0，1），CD=（-1，-3，0）.

設平面ACD的法向量為n=（x，y，z），則

n·AD=（x，y，z）·（-1，0，-1）=0，n·AC=（x，y，z）·（0，3，-1）=0，

∴x+z=0，3y-z=0.

令y=1，得n=-3，1，3是平面ACD的一個法向量.

又EC=-12，32，0，

∴點E到平面ACD的距離

h=EC·nn=37=217.

二、空間向量與空間的角

1.異面直線所成的角

異面直線a，b的方向向量分別為m，n，其向量的夾角為θ，直線a，b所成的角為α，α∈（0，π2]，則cosα=|cosθ|=|m·n||m||n|.

2.直線與平面所成的角

直線a的方向向量為m，平面α的法向量為n，直線a與平面α所成的角為θ，則有sinθ=|cos|（互余的關系），即θ=π2-arccos|m·n||m||n|.

3.平面與平面所成的角

平面α與平面β的法向量分別為m，n，設平面α與平面β所成的角為θ，則θ與法向量m，n的夾角相等或互補.

①當二面角α-l-β大于90°時，則二面角θ=π-arccos|m·n||m||n|；

②當二面角α-l-β不大于90°時，則二面角θ=arccos|m·n||m||n|.

例2 題干、（1）問、（2）問同例1.

（3）求異面直線AB與CD所成角的大小.

（4）求直線AE與平面ACD所成角的大小.

分析 （3）∵cos=BA·CDBACD=24，

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos24.

（4）∵AO⊥面BCD，∴AO=（0，0，1）為面BCD的一個法向量.

∴cos〈AO，n〉=AO·n[]|AO||n|=（0，0，1）（-3，13）[]7=21[]7.

則二面角A-CD-B的余弦值為21[]7.

用傳統方法解立體幾何題，需要有較強的空間想象能力、邏輯推理能力以及作圖能力，同學們往往由于這些能力的不足而感覺解題困難，空間向量的引入為處理某些立體幾何問題提供了一種新的途徑，利用空間向量處理某些立體幾何問題，可以為學生提供新的視角.把立體幾何問題轉化為空間向量問題，借助坐標系進行代數運算，利用向量的方法解決幾何問題是新教材中解決立體幾何問題的一個重要方法.