導數理論在最優化經濟數學模型中的應用研究
2017-01-17 18:27:30方國敏謝蔚
數學學習與研究 2016年17期
方國敏 謝蔚
【摘要】本文從導數和偏導數的概念出發，引入邊際分析的相關概念，對最低成本、最大利潤和最優批量等最優化經濟數學模型進行分析、研究和探討.
【關鍵詞】導數；偏導數；邊際分析；最優化；數學模型
應用定量分析方法解決經濟問題已成為經濟學理論體系中的重要組成部分，很多經濟學理論如納什均衡和期權定價公式等都是用數學語言來描述的.數學使經濟學理論步入了定量化、精密化和準確化的發展軌道，使經濟學變成一門越來越嚴謹的學科.
一、導數和邊際分析
（一）導數的概念
設一元函數y=f（x）在點x0的某一鄰域內有定義，當自變量x在點x0處取得改變量Δx時，相應的函數改變量為Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果極限limx→0
（二）偏導數的概念
設二元函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）的某個鄰域內有定義，當y固定在y0不變，而x在點x0處取得改變量Δx時，相應的函數改變量Δxz=f（x0+Δx，y0）-f（x
（三）邊際分析
在現實經濟活動中，若設某經濟指標y與影響指標值的因素x1，x2，……，xn之間成立函數關系y=f（x1，x2，…，xn），我們把函數y=f（x1，x2，…，xn）的一階偏導函數f′xi（x1，x2，…，xn）（i=1，2，…，n）稱為函數y=f（x1，x2，…，xn）的邊際函數，記作My，偏導函數My=f′xi（x1，x2，…，xn）在點P0處的函數值稱為函數y=f（x1，x2，…，xn）在點P0處的邊際值，而使f′xi（x1，x2，…，xn）=0的邊際點的函數值可能就是極大值或極小值，這種邊際點在經濟分析和決策中往往是最佳點，找到最合理的邊際點，就能做出最有利的經濟政策.微觀經濟學把研究這種變化規律的方法叫作邊際分析法.
1.邊際成本
在經濟學中，常常需要研究產量增加一個單位時所增加的成本.設生產某種產品q單位時的總成本函數C=C（q）可導，則稱MC=C′（q）為邊際成本函數，簡稱邊際成本，C′（q0）為產量為q0單位時的邊際成本.
邊際成本是總成本函數C（q）關于產量q的導數，其經濟含義是：當產量為q時，再多生產一個單位（即Δq=1）的產品所增加的成本量C（q+1）-C（q），近似地記為：C（q+1）-C（q）=Δ邊際成本是極限意義下的平均，是當增量Δq→0時，總成本C（q）的瞬時變化率，只與產量q有關.
2.邊際收入
設銷售某種產品q單位時的總收入函數R=R（q）MR=R′（q）可導，則稱為邊際收入函數，簡稱邊際收入，R′（q0）是銷售量為q0單位時的邊際收入.
其經濟含義是：當銷售量為q時，再多銷售一個單位（即Δq=1）的商品總收入的改變量R（q+1）-R（q），近似地記為：
3.邊際利潤
與邊際成本和邊際收入類似，邊際利潤函數為總利潤函數L（q）關于銷售量q的導數.設某產品的銷售量為q時的利潤函數L=L（q）可導，則稱ML=L′（q）為邊際利潤函數，簡稱邊際利潤，L′（q
即ML=L′（q）=limΔq→0ΔLΔq=limΔq→0L（q+Δq）-L（q）Δq.
其經濟含義是：當銷售量為q時，再銷售一個單位（即Δq=1）產品所增加（或減少）的利潤L（q+1）-L（q），近似地記為：
L（q+1）-L（q）=ΔL（q）≈dL（q）=L′（q）Δq=L′（q）.
邊際利潤L′（q）<0意味著當產量（銷量）為q時，再生產（銷售）一個單位的產品（即Δq=1）總利潤將減少，這時產品生產（銷售）得越多利潤會越小.
如果在某一經濟問題中，總成本函數、總收入函數或總利潤函數是多元函數，則分別稱他們的偏導數為邊際成本、邊際收入或邊際利潤.
二、最優化的數學表達
在經濟生活中，每個經濟人在符合市場條件的前提下，都力求尋找對自己最有利的方案，如：最低成本、最大利潤、最優效益、企業的最佳規模以及企業內部生產資料同勞動數量之間最合理的比例等等.這些問題從數學的角度來看都是同一類問題，即求函數最大值和最小值的問題.
（一）一元函數的最值問題
若函數y=f（x）在點x0處有極值，且在點x0處的導數存在，則函數y=f（x）在點x0處的導數必為零，即f′（x0）=0.凡是滿足方程f′（x0）=0的點稱為函數y=f（x）的駐點.設函數y=f（x）在其駐點x0處具有二階導數f″（x0），若f″（x0）<0，則f（x0）是函數f（x）的極大值；若f″（x0）>0，則f（x0）是函數f（x）的極小值.
一般而言，如果函數y=f（x）在閉區間I上連續，則函數y=f（x）在I上必定能取得它的最大值和最小值.在實際問題中，如果函數y=f（x）在區間I內最大值（或最小值）一定存在，而f（x）在I內只有唯一駐點，那么該駐點處的函數值就是函數y=f（x）在區間I上的最大值（或最小值）.
（二）多元函數的最值問題
與經濟問題有關的函數很少是單一變量函數.例如，廠商的生產量取決于投入生產過程的勞動、資本以及土地的數量等等.下面我們以二元函數為例.
若函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處有極值，且在點P0（x0，y0）處的偏導數存在，則函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處的兩個偏導數必為零，即f′x（x0，y0）=0，且f′y（x0，y0）=0.凡是滿足方程組f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0的點P0（x0，y0）稱為函數z=f（x，y）的駐點.
設函數z=f（x，y）在其駐點P0（x0，y0）處具有連續的二階偏導數，令f″xx（x0，y0）=A，f″xy（x0，y0）=B，f″yy（x0，y0）=C，Δ=B2-AC，則當Δ<0時，函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處有極值，并且若A>0，f（x0，y0）是函數z=f（x，y）的極小值；若A<0，f（x0，y0）是函數z=f（x，y）的極大值.
一般而言，如果函數z=f（x，y）在閉區域D上連續，則函數z=f（x，y）在D上必定能取得最大值和最小值.在實際問題中，如果函數z=f（x，y）在區域D內一定能取得最大值（或最小值），而f（x，y）在D內只有唯一駐點，那么該駐點處的函數值就是函數z=f（x，y）在區域D上的最大值（或最小值）.
三、最優化經濟數學模型分析
經濟效益最優化問題是經濟管理的核心，也是企業的最終目標.對于決策者來說，要求從“客觀的理性”出發，尋求在一定條件下目標函數唯一的“最優解”.
（一）最低成本問題模型
微觀經濟學理論認為，邊際成本和平均成本都是隨產量的增加而由遞減轉為遞增，只是平均成本轉為遞增比邊際成本要遲一些.當平均成本與邊際成本相等時，平均成本最低.如圖1所示，F點是平均成本曲線AC由遞減轉為遞增的轉折點，在F點處，MC=AC.在邊際成本曲線上升到F點之前，邊際成本小于平均成本，平均成本曲線AC是下降的，當MC越過F點后再上升，邊際成本就大于平均成本，平均成本曲線AC也就轉為上升了，因此，MC與AC必定在AC的最低點F處相交.平均成本的最低點F就是通常所說的“經濟能量點”或“經濟有效點”.企業應該把生產規模調整到平均成本的最低點，才能使生產資源得到最有效的利用.
圖 1
設產量為q，總成本函數為C（q），平均成本函數為AC（q），邊際成本函數為MC（q），則AC（q）=C（q）q，MC=C′（q）=dC（q）dq.
以q為自變量，對平均成本函數AC（q）求導，則有
AC′（q）=dACdq=d（C（q）q）dq=C′（q）q-C（q）q2=1q（C′（q）-C（q）q）=1q[MC（q）-AC（q）].
因此，當MC（q）
因此，最低成本的數學模型為：
MC（q）=AC（q），dACdq=0（函數AC（q）的二階導數大于0）.
例1 已知某廠生產q件產品的總成本為C（q）=2500+200q+14q2（元），問該廠生產多少件產品時，平均成本最??？
解 （1）設平均成本函數為AC（q），邊際成本函數為MC（q），則
AC（q）=C（q）q=2500q+200+q4，
MC（q）=C′（q）=200+q2.
由AC（q）=MC（q）得2500q+200+q4=200+q2，
解得q1=100，q2=-100（舍去）.
此時d（AC）dq=2500q+200+q4′=14-2500q2=14-14=0.
所以，q1=100時，平均成本函數AC（q）取得唯一的極小值，也就是最小值.因此，要使平均成本最小，應生產100件產品.
（二）最大利潤問題模型
微觀經濟學理論認為，當商品產量無限增大時，價格極低，得不到最大利潤；當商品價格無限增大時，銷售量極少，也得不到最大利潤.只有當產量增至邊際成本等于邊際收入，即邊際利潤為0時，企業才能獲得最大利潤.如圖2所示，只有當總收入和總成本兩個函數的導數相等，即兩條切線平行時，總收入和總成本兩條曲線上切點間的距離最大，此時，總成本與總收入的差值最大，也即企業獲得最大利潤.此外，為了使利潤函數的極大值存在，利潤函數的二階導數還必須小于零.
圖 2
設產量為q，總成本函數為C（q），總收入函數為R（q），總利潤函數為L（q），邊際利潤函數為ML（q），則L（q）=R（q）-C（q），ML（q）=L′（q）.
令ML（q）=L′（q）=R′（q）-C′（q）=0，則可得到R′（q）=C′（q）.這就是獲得最大利潤的必要條件.
邊際利潤函數ML（q）=L′（q）=0，總利潤函數為L（q）取得極值，為了使函數L（q）取得極大值，必須L″（q）=ML′（q）=[R′（q）-C′（q）]′=R″（q）-C″（q）<0，
即R″（q） 因此，利潤最優化數學模型為： R′（q）=C′（q）（即L′（q）=0），R″（q） 若利潤函數為二元函數z=L（q1，q2），則利潤最優化數學模型為：L′q1（q1，q2）=0，L′q2（q1，q2）=0， （1） 且[L″q1q2（q1，q2）]2-L″q1q1（q1，q2）·L″q2q2（q1，q2）<0，L″q1q1（q1，q2）<0.（2） 在實際問題中，若由（1）式解出利潤函數z=L（q1，q2）的極值點只有一個，則可驗證此點滿足充分條件（2），就是利潤最大的點. 例2 設某企業生產某種商品q單位的費用為C（q）=5q+200（元），獲得的收益為R（q）=10q-0.01q2（元），問生產這種商品多R（q）=10q-0.01q2少單位時利潤最大？最大利潤是多少？ 解 由產品的費用函數C（q）=5q+200，收益函數，可得利潤函數L（q）=R（q）-C（q）=-0.01q2+5q-200. 因為L′（q）=-0.02q+5，令L′（q）=0得q=250. 此時L″（q）=-0.02<0，所以q=250時利潤最大，L（250）=425元.
所以生產250個單位產品時利潤最大，最大利潤為425元.
（三）最優批量問題模型
在一定原材料年需求量的前提下，如果每次定貨量增加，訂貨次數就減少，這樣，雖然采購成本減少，但倉儲保管成本卻會增加；反之，如每次定貨量減少，訂貨次數就會增加，因而采購成本增加，倉儲保管成本減少.最優訂貨批量問題就是通過確定最佳的訂貨數量來平衡采購成本和倉儲保管成本，從而保持存貨的最優水平，減少儲備資金的占用量，使總成本最低.
設TC為總庫存成本，PC為采購進貨成本（包括購置價格），HC為倉儲保管成本，D為材料的年需求量，h為材料的單價，q為每次訂貨的數量，k為每次訂貨的成本，m為單位貨物的倉儲保管成本，n為年訂貨次數，F1為采購成本中的固定成本，F2為保管成本中的固定成本，那么
TC=PC+HC=F1+Dh+Dqk+F2+q2m=（hD+F1+F2）+kDq+mq2.
其中，hD+F1+F2為固定成本，設TC（q）為每次訂貨量為q時的變動成本，則TC（q）=kDq+mq2，以q為自變量求TC（q）的一階導數TC′（q）=-kDq2+m2.
令TC′（q）=-kDq2+m2=0，解得q2=2kDm，即q=2kDm.
又因為TC（q）的二階導數TC″（q）=2kDq3>0.
所以，當q=2kDm時，TC（q）取得最小值，即如果按照這個定貨量訂貨，可以使采購成本和保管成本中的變動成本的總和最低.
因此，最優批量問題的數學模型為：
最優定貨量q=2kDm，
最優批量成本TC*（q）=kD2kDm+m22kDm=2kDm.
最后需要說明的是，經濟學是一個復雜的科學體系，經濟研究中必須綜合應用各種方法，才能使經濟理論科學有效，數學只是經濟研究的方法之一.在經濟研究中應用數學方法時，要力求數學條件的設定與真實的經濟現實最大限度地接近，不可設定脫離現實的經濟模型.另一方面，隨著經濟學和數學的共同發展，在經濟研究中將會更進一步地運用現代數學的理論知識和思想方法，建立更多、更科學實用的經濟數學模型.數學作為輔助工具將會在經濟研究中得到更成功、更廣泛地運用.
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