對《用等價無窮小代換求極限的兩個誤區(qū)》一文的修正和補充

楊麗娜

【摘要】等價無窮小代換是求函數(shù)極限的一種重要的解題手段.本文對參考文獻[1]提及的復(fù)合函數(shù)求極限時應(yīng)用等價無窮小代換所需條件進行了修正，同時對參考文獻[1][3]中提及的差函數(shù)求極限不能各自用等價無窮小代換這一結(jié)論進行了補充和修正，指出在一定條件下差函數(shù)求極限也可以用等價無窮小代換.

【關(guān)鍵詞】等價無窮小；極限；高等數(shù)學(xué)

【圖書分類號】O172

在文獻[1]定理2的證明過程中提及當(dāng)x→x0時如果有β（x）→0，同時u→0時如果有f（u）→0，且有f（u）～u，則有f（β（x））～β（x），這一結(jié)論對有些情況是不成立的，現(xiàn)舉一例說明.

例1 討論sinx2sin1x與x2sin1x是否是等價無窮小.

解 因為limx→0x2sin1x=0，limx→0sinx2sin1x=sinlimx→0x2sin1x=0.所以當(dāng)x→0時，sinx2sin1x與x2sin1x都是無窮小，但不是等價無窮小.因為當(dāng)x取1nπ，（n∈Z）時，sinx2sin1x與x2sin1x的值都為0，即在x0=0的去心鄰域里二者函數(shù)值可多次取得零值，故不能相除，因此不是等價無窮小.在文獻[1]定理2的結(jié)論應(yīng)補充：在x0的去心鄰域里f（β（x））與β（x）都不為0時，有f（β（x））～β（x）成立.

在文獻[1]的定理1中指出“同一變化過程中，α～α′，β～β′且limmα′nβ′≠1時，有mα±nβ～mα′±nβ′”.現(xiàn)取m=n=1，只針對limα′[]β′≠1時，有α-β～α′-β′的結(jié)論展開討論.實際上即使limα′[]β′=1，也會有α-β～α′-β′情況，現(xiàn)舉一例說明.當(dāng)x→0時，有tanx～x+x33，sinx～x-x33！，而limx→0x+x33x-x33！=1，即滿足limα′[]β′=1，但有l(wèi)imx→0tanx-sinxx+x33-x-x33！=1，這是因為可以把tanx和sinx分別用各自用帶有皮亞諾余項的泰勒公式展開到3階，就有

sinx～x+x33-x-x33！，上述的例子說明了如果有l(wèi)imα′[]β′=1成立時，也會有結(jié)論：α-β～α′-β′成立.當(dāng)然這樣的結(jié)論和定理文獻[1]所提到的定理1結(jié)論并不矛盾，只是這里強調(diào)了在求解極限的具體問題中，不必拘泥于定理1所提到必須滿足limα′[]β′≠1的條件才會有α-β～α′-β′成立.可以把上述結(jié)論直接用于下面的例子.

例2 求limx→0tanx-sinxx3.

解 因為tanx-sinx～x+x33-x-x33！，依據(jù)上面的分析，可以把tanx、sinx分別用它們各自的等價無窮小x+x33，x-x33！來代替，即limx→0

由前面證明可知： tanx、sinx和各自的3次泰勒多項式是等價無窮小，在此題中將tanx、sinx各自的等價無窮小代入求得極限，其思想來源于泰勒公式求極限法.這一結(jié)論可以推廣：

定理1 設(shè)f（x），g（x），h（x）分別在x0點可以展成n，m階泰勒公式，則有

由函數(shù)的泰勒公式定義很容易得到上面的結(jié)論，證明省略.

定理表明函數(shù)如果能展開成泰勒公式并且滿足一定條件的話，函數(shù)的n次泰勒多項式是其等價無窮小.求差函數(shù)極限時，分子、分母每個函數(shù)用各自的泰勒多項式直接帶入，分子每個函數(shù)的多項式最高次冪相同且大于或等于分母多項式的最高次冪.

【參考文獻】

[1]趙瓊.用等價無窮小代換求極限的兩個誤區(qū) [J].高等數(shù)學(xué)研究，2009，12（5）：18.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007：59.

[3]張海琴，于力.差函數(shù)的等價無窮小代換[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004，7（5）：49.

[4]鄭瑞根.泰勒公式在用等價無窮小替換求極限中的應(yīng)用[J].南平師專學(xué)報.2005，24（4）：7.