數學模型之眼科病床的合理安排

黃正陽

【摘要】為解決某醫院眼科病床按照FCFS安排時存在隊列越來越長的問題，提出了一種基于FCFS和優先權服務的局部插隊算法.該算法建立了以急癥病人享有優先權服務，并且首先將在同一天到達的非急癥病人按白內障（單眼）、白內障（雙眼）、青光眼、視網膜疾病的順序實現排隊，其次在具體討論病人入院時，采取白內障病人一定程度上享有提前入院的權利為排隊規則的無限源排隊系統（M/M/c/∞）.最后Matlab編程模擬排隊系統，計算出插隊參數，實現醫院病床資源的最大利用，病人得到及時治療，以及病人門診時可預測其入院時間、出院時間等.

【關鍵詞】病床安排；FCFS；優先權服務；局部插隊

【中圖分類號】O224 【文獻標識碼】A

1.引言與準備

醫院病床安排關系到患者能否及時就醫.我國學者對其進行的專門研究是近幾年才開始.研究中針對模型建立[1-2]的討論所占比例尚不足10%，算法與程序的開發滯后，大多數的研究尚停留于對病床效率的評價層面[3-8].

現有某醫院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張.該醫院眼科手術主要分四類：白內障、視網膜疾病、青光眼和外傷.白內障沒有急癥，術前準備時間1～2天.每周一、三做白內障手術，若是做雙，則周一先做一只，周三再做另一只.外傷通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院第二天安排手術.其他眼科疾病急癥較少，大致住院后2～3天內可以手術，但術后觀察時間較長.通常情況下白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做.當前該住院部對全體非急癥病人按照FCFS規則安排住院，但等待住院病人隊列越來越長.本文將針對該問題確定排隊算法并建立數學模型.

假設：（1）外傷病人均視為急癥，其他眼科疾病均不考慮急癥；（2）白內障手術只安排在周一、三，除急癥外的其他病人不安排在周一、三；（3）將某一天門診的所有病人均視為同時到達，亦即以天為時間基本單位.

約定：（1）將2008-7-13（星期日）視為第1天，以此類推；（2）將白內障（單眼）病人視為第1類病人，依次編號：2白內障（雙眼）、3外傷、4視網膜疾病、5青光眼；（3）將此61天中所到來的530位病人按門診先后順序且對于同一天門診的按病人類別編號的由小到大順序依次編號.

定義：（1）將入院人數等于出院人數的狀態稱為穩定狀態；（2）將術前準備時間的病床等待稱為有效病床等待，對應地將除此之外的病床等待稱為無效病床等待（譬如白內障病人自入院到手術的這段時間，存在兩方面的病床等待：一方面是術前準備時間的等待，另一方面是周一、三的等待，前者屬于有效病床等待，后者則屬于無效病床等待）；（3）將尚有病人等待入院時的病床空閑稱為非健康病床空閑，相應地將無病人等待入院時的病床空閑稱為健康病床空閑；（4）將某類病人的平均入院等待時間明顯大于其他病人的現象稱為某類病人入院受阻.

2.算法的提出

由病人就醫的緊急程度考慮急癥病人無論何時始終排在隊列之首，享受優先權服務，且不同日期到來的急癥病人按FCFS規則排列；除急癥外的其他病人則根據需占用病床日的由小到大順序，將在同一天到達的病人按白內障（單）、白內障（雙）、青光眼、視網膜疾病的順序排隊——按天排隊.

為提高病床利用率同時又避免出現非健康病床空閑，按照有效病床等待時間確立病人的可入院時間.但是各類病人在一周內的可入院概率也因此不盡相同，且主要體現在白內障病人.為避免出現白內障病人入院受阻，采取白內障病人局部向前插隊的方案：白內障（單眼）向前插隊p天，白內障（雙眼）向前插隊q天，且p，q∈{0，1，2，3，4，5，6}.

3.模型的建立

由程序驗證知病人到來時間分布與服務時間分布均服從指數分布，又因病人來源無限，從而可在穩定狀態（從第26天開始）下建立無限源排隊系統（M/M/c/∞）.排隊規則采取急癥優先服務、非急癥按天排隊、白內障向前插隊.

模型評價基本要求：每天平均到來人數/每天平均服務人數<1；合理性要求：各類非急癥病人的平均入院等待時間相當；優劣判斷：（1）非健康病床空閑數（bckx）越少越好；（2）病人的平均入院等待時間（avga）越短越好.

設第i號病人的病人類別代碼為ai1，第i號病人入院時間（第x天）為ai3，第i號病人術后觀察時間（共x天）為ai4，第i號病人出院時間（第x天）為ai5，其中i=1，2，…，530，則

4.結 論

無論白內障病人在定義范圍內提前插隊多少天，均滿足每天平均到來人數/每天平均服務人數<1；當p=2，q=4時，stda取得最小值0.1583，此時各類非急癥病人的平均入院等待時間最為相當.故而確定插隊參數p=2，q=4.

此時，每天平均服務人數由8.61人增加至9.36人，將有效縮短隊列長度；不存在非健康病床空閑，可見病床資源得到了最大限度地利用.

同時由表1可見，采用新的排隊規則后，不僅大部分急癥病人可實現當天入院，以便得到更加及時的治療；而且非急癥病人的平均入院等待時間減少2天左右，緩解了病人的排隊等待，將間接縮短排隊隊列長度.

圖1 第j天門診病人的平均入院等待時間變化趨勢圖

再由圖1知，病人的平均入院等待時間呈減小趨勢，再次說明該模型有效緩解了病人的排隊等待，正在逐漸縮短病人的排隊等待隊列.

另外，由程序運行所得矩陣，可在病人門診時提前告知其大概可入院時間以及出院時間等.

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