考慮定額傭金的一口價拍賣模型

冉茂盛,黃 俊,蔣衛艷

(1.重慶大學經濟與工商管理學院,重慶400030; 2.香港理工大學建筑及房地產學系,中國香港999077)

考慮定額傭金的一口價拍賣模型

冉茂盛1,黃 俊1,蔣衛艷2

(1.重慶大學經濟與工商管理學院,重慶400030; 2.香港理工大學建筑及房地產學系,中國香港999077)

賣方將拍品委托給拍賣行進行拍賣時,拍賣行通常向獲勝者收取一個定額的傭金,基于這種情況,建立了考慮定額傭金的一口價拍賣模型.運用博弈理論,首先分析了投標者的均衡策略,然后研究了賣方的最優保留價和最優一口價,最后研究了拍賣行收取的最優定額傭金.研究發現,與不考慮傭金收取的模型不同,在考慮傭金收取的模型中,投標者選擇一口價的概率為正,即賣方在拍賣中設置一口價可以提高其收益,且賣方的最優保留價大于不設置一口價的模型中的最優保留價;拍賣行收取的最優定額傭金小于不設置一口價的模型中的最優定額傭金.

獨立私人價值;定額傭金;保留價;一口價

1 引 言

拍賣在人類社會中的應用已有數千年歷史,是一種有效的價格發現和資源配置機制,拍賣相關的理論研究始于半個多世紀前Vickrey[1]的開創性論文.進入新世紀以來,隨著網上拍賣的興起,在各主要拍賣網站上出現了一種結合拍賣和標價出售特征的混合機制,即一口價拍賣.此時,任何投標者都有權選擇結束拍賣并按賣方設置的一口價獲得拍品.根據一口價的不同性質,Mathews等[2]將其分為持久一口價和臨時一口價兩種形式.持久一口價中的一口價選項在整個拍賣期間一直存在,而臨時一口價中一口價選項在拍賣結束之前失效.在拍賣實踐中,持久一口價方式被楊興麗等[3]采用,臨時一口價方式主要被蘇富比和eBay等拍賣公司采用.

Lucking–Reiley[4]最早注意到一口價在現實中的應用,之后相關理論研究大量出現.期望收益比較是拍賣研究的重要內容,根據比較對象的不同,可將現有文獻分為兩類.一類文獻研究不同類型一口價之間的期望收益比較問題,主要比較臨時一口價拍賣和永久一口價拍賣的期望收益.Zoltan等[5]對傳統和受限兩種不同策略下一口價拍賣買方收益進行了比較.Reynolds等[6]在投標者風險厭惡的前提下,比較了臨時一口價模型和持久一口價模型的期望收益.在國內的文獻中,田劍等[7]基于組合拍賣規則,比較了固定一口價和持久一口價的賣方期望收益.

另一類文獻主要比較一口價拍賣和標準拍賣的期望收益,即研究一口價成因問題.傳統理論認為拍賣給賣方帶來的收益大于標價出售機制[8]的收益,從而賣方無需設置一口價選項,這與現實中一口價拍賣的流行相矛盾.為此,越來越多的文獻開始研究拍賣中一口價存在的原因.現有文獻大致將賣方設置一口價的動因歸為五類:1)投標者或賣方的風險規避.基于投標者風險規避的前提,Budish[9]和Ivanova–Stenzel等[10]發現,在拍賣中設置一口價選項可以提高賣方期望收益.而Mathews等[2]則證明了賣方風險規避前提下賣方設置一口價的必要性.2)投標者的交易成本.Wang等[11]發現,如果投標者參與拍賣會產生固定的交易成本,那么賣方會從設置一口價中獲益.3)投標者或賣方的無耐心.Mathews[12]構建了投標者或賣方無耐心的臨時一口價拍賣模型,發現當賣方或買方中的一方耐心而另一方不耐心時,設置一口價可以提高賣方期望收益.4)賣方間的競爭且投標者有多個物品需求.Kirkegaard等[13]和Anwar等[14]發現,在有多個競爭性賣方的多物品拍賣中,賣方會因設置一口價而獲益.5)錨定效應.Shunda[15]發現如果投標者的出價具有關于保留價和一口價的錨定效應,那么賣方有激勵設置一口價選項.若不考慮以上五種因素,追求自身收益最大化的賣方不能通過設置一口價選項來提高其期望收益,因而不會設置一口價.

除以上五個因素外[2,9-15],現有文獻中未見其它一口價存在動因的研究.而在現實中,除了賣方和投標者這兩個主體外,拍賣中的第三方主體—拍賣行(又稱代理商)往往會對拍賣結果產生影響.拍賣行通常按定額或成交價一定比例向獲勝的投標者收取傭金.關于按成交價一定比例收取傭金的研究較多,王彥等[16]首先把傭金率引入了一級和二級價格密封拍賣中進行分析.在此基礎上,劉樹林等[17]和王明喜等[18]進一步研究了拍賣中保留價和傭金率的設置問題.盡管現實中同樣普遍存在按定額收取傭金的情形,例如拍賣網站的注冊費和陳列費[19]、房屋中介費等,但相關的理論研究較為缺乏.通過將定額傭金引入到一口價拍賣中,本文證實了在拍賣中賣方設置一口價的必要性,即一口價的存在可以提高其期望收益.于是,除上面涉及的五個動因外[2,9-15],拍賣行的存在及其收取固定傭金的行為是賣方在拍賣中設置一口價的可能原因,從而進一步擴展了拍賣中一口價存在動因的理論研究.與Wang等[11]的固定交易成本動因不同,拍賣行僅對獲勝者收取定額傭金,而未獲得物品的投標者不需要支付,且定額傭金轉化為了拍賣行的收益,故而可以進行內生化,且對定額傭金的分析擴展了現有的傭金拍賣理論[16-18].新拍賣機制對拍賣實踐的指導主要體現在兩方面.一方面,從賣方的角度,對于需要通過拍賣行進行的拍賣,由于賣方設置一口價可以提高其期望收益,故現實中的賣方應該采用一口價拍賣機制.另一方面,從拍賣行的角度,通過將定額傭金內生化,給出了拍賣行應向賣方收取的最優定額傭金,從而為現實中拍賣行(或拍賣中介)收取定額傭金的決策提供建議.以拍賣網站為例,拍賣網站可以據此決定向賣方收取的拍賣陳列費的數額.

為此本文構建了考慮定額傭金和保留價的一口價拍賣模型,研究了投標者、賣方和拍賣行三方的均衡策略,并特別在給定賣方策略的前提下,對拍賣行的定額傭金進行了內生化.

2 考慮定額傭金的一口價拍賣模型

假定唯一賣方通過一口價拍賣出售一個不可分割的物品,有n個風險中性的投標者,投標者i對拍品的估價vi為私人信息.每個投標者的估價在區間[vL,vH]上獨立同分布,其分布函數F(·)及相應密度函數f(·)在(vL,vH)上連續可微且為正.假定(1-F(v))/f(v)在區間[vL,vH]上關于v單調遞減.在拍賣階段,拍賣行向獲勝的投標者收取的定額傭金為c.

考慮定額傭金的一口價拍賣包括如下三個階段:

1)給定拍賣行收取的傭金為c,賣方設置保留價r和一口價B*;或者給定賣方保留價r和一口價B*,拍賣行設置傭金水平c;

2)基于保留價r,一口價B*和傭金c,所有投標者同時獨立的決定是否執行一口價選項.選擇一口價的投標者獲得物品,并支付一口價B*,如果有多個投標者選擇一口價,則賣方通過隨機方式決定物品所有者;

3)若沒有投標者選擇一口價選項,則賣方通過二級價格密封拍賣出售物品.物品由出價最高的投標者獲得,其支付為成交價加上傭金c.

容易看出,當有投標者選擇一口價時,一口價拍賣在第二階段后結束;當沒有投標者選擇一口價時,一口價拍賣在第三階段后結束.該機制與文獻[2]中的機制類似,蘇富比和eBay等也運用了類似的機制進行拍賣.需要注意的是,由于第二階段的一口價與傳統標價出售方式類似,組織成本較低且對專業性要求不高,故拍賣行對一口價不收取傭金.在第三階段的二級價格密封拍賣中,由于對專業性的要求和組織成本較高,賣方需要聘請拍賣行舉行拍賣,因此拍賣行僅在第三階段收取傭金.

對于投標者而言,若未獲得物品,則其收益為零;若獲得物品,則其收益為估價與實際支付(包括對賣方和對拍賣行的支付)之差.如果在第二階段投標者選擇一口價選項,那么具有私人價值v的獲勝投標者收益為v-B*.用b(v)表示具有私人價值v的投標者在第三階段的Bayes-Nash均衡投標策略,顯然b(v)≥r.如果投標者不選擇一口價,則在拍賣中獲勝的投標者收益為v-b(y)-c,其中y表示次高投標所對應的投標者私人價值.令≡c+r,表示參與第三階段拍賣的投標者所應具有的最低私人價值.私人價值v小于的投標者參與第三階段的拍賣收益為負,故b(v)=0對所有成立.此時,只有私人價值v大于等于的投標者才有激勵參與拍賣.易知,隨著傭金c和保留價r的增大而增大.由于本文主要研究臨時一口價拍賣,為保證第三階段拍賣發生的可能性,假設一口價B*≥,否則一口價拍賣退化為傳統的標價出售.若c=0,則考慮傭金的一口價拍賣模型退化為文獻[2]中的傳統一口價拍賣模型.

由于一口價拍賣的參與者基于自身期望收益最大化進行決策,故可采用逆向遞推法,首先分析第二、三階段投標者的均衡投標策略,然后分析第一階段賣方的保留價和一口價設置策略或拍賣行的傭金設置策略.

在一口價拍賣模型中,投標者的目標為在給定r,B*和c的前提下,選擇合適的策略以最大化其期望收益.一個完整的投標者策略包括如下三個部分:1)投標者決定是否參與帶傭金和保留價的一口價拍賣;2)投標者決定是否選擇一口價選項;3)若不選擇一口價,投標者設置在第三階段拍賣中的投標策略.

為分析投標者的策略,定義B(v,r,c)為使具有私人價值v的投標者對是否選擇一口價無差異的一口價水平[3].定義使得成立;若對所有v∈[vL,vH],有B(v,r,c)＜B*成立,則定義=vH.實際上,投標者是否選擇一口價取決于私人價值v與的大小關系.根據假定B*≥,下面給出投標者的均衡策略.

定理1在考慮定額傭金的一口價拍賣中,存在一個對稱且唯一的Bayes-Nash均衡策略.當且僅當B*＜B(vi,r,c)時,具有私人價值vi的投標者i選擇一口價,其中

否則,投標者i不選擇一口價,其在第三階段中的投標策略為b(vi)=vi-c,其中

定理1的證明見附錄A1.

實際上,B(v,r,c)表示具有私人價值v的投標者所能接受的最高一口價水平.當賣方設置的一口價B*＜B(v,r,c)時,投標者選擇一口價;當賣方設置的一口價B*≥B(v,r,c)時,投標者不選擇一口價.而由第二階段策略可知,給定的前提,如果私人價值v≥,那么投標者參與一口價拍賣;否則,投標者不參與一口價拍賣.將v=v代入式(1),可得初始條件再定義若賣方設置的一口價B*＞B(vH,r,c),則沒有任何投標者選擇一口價.如果給定的前提,那么第三階段的拍賣不會發生,進一步的,若私人價值v≥B*,則投標者選擇一口價選項;否則,投標者不參與一口價拍賣.圖1描述了考慮定額傭金的一口價拍賣中投標者的決策過程.

圖1 考慮定額傭金的一口價拍賣中投標者的決策過程Fig.1 The decision-making process for bidders in auction with buyout price and fxed commission

此外,根據式(1)可得下面的結論.

推論1在考慮定額傭金的一口價拍賣中,B(v,r,c)關于私人價值v,保留價r和傭金c單調遞增;投標者第三階段投標策略b(v)關于傭金c單調遞減.

推論1的證明見附錄A2.

由推論1可以看出:投標者的私人價值越大,其能接受的一口價水平越高,因而更傾向于選擇一口價;賣方設定的保留價越高,第三階段的拍賣對投標者的吸引力越低,投標者能接受的一口價水平越高,因而越傾向于選擇一口價;拍賣行設定的傭金越高,投標者越傾向于選擇一口價.

3 賣方的最優一口價與最優保留價

在給定拍賣行傭金c的前提下,基于投標者的均衡投標策略,賣方的目標為選擇合適的保留價r和一口價B*以最大化期望收益.假定物品對賣方而言沒有保留價值,根據定理1的結論和,可得一口價拍賣中賣方的期望收益,即

其中g(x)=nFn-1(x)f(x)為最高私人價值x的密度函數;h(y|x)=((n-1)Fn-2(y)f(y))/Fn-1(x)為最高私人價值為x的前提下,次高私人價值y的條件密度函數.

式(2)中等號右側第一項表示投標者未選擇一口價而參與第三階段拍賣時賣方的期望收益,第二項表示投標者選擇一口價時賣方的期望收益.將式(2)重新整理,得

定理2在考慮定額傭金的一口價拍賣中,給定由定理1所確定的投標者的均衡策略和拍賣行設定的傭金c,賣方為使自身期望收益最大化而設置的最優保留價r唯一且滿足r＞ra,其中ra表示不設置一口價時賣方的最優保留價水平;賣方設置的最優一口價因此,在考慮傭金收取的模型中,一口價有正的概率被投標者所選擇.

定理2的證明見附錄A3.

于是,賣方的最優保留價和最優一口價由式(A.6)和式(A.9)均為零時組成的方程組所確定.由定理2可以看出,傭金的存在增加了一口價相對于拍賣的吸引力,使得賣方在拍賣中可以設置更高的保留價水平,同時使得投標者更傾向于選擇一口價,此時的一口價低于具有私人價值vH的投標者所能接受的最高一口價水平.因此,為提高期望收益,賣方有激勵在拍賣中增加一口價選項.根據推論1,B(v,r,c)關于v單調遞增,故定理2中的B*＜B(vH,r,c)意味著私人價值的投標者會選擇一口價.此時,一口價被選擇的概率等于n個投標者中至少有一個投標者私人價值大于的概率,為.顯然,對于,有

特別地,當c=0時,模型退化為Mathews等[2]定理1中的傳統一口價拍賣模型,由其定理1可以得到B*≥B(vH,r,c).于是,在不考慮傭金的一口價拍賣中,投標者不會選擇一口價選項,且此時的一口價水平較考慮定額傭金的模型要高.也就是說,若不考慮傭金收取,賣方設置一口價不會提高其在拍賣中的期望收益,故賣方沒有激勵設置一口價.

4 拍賣行的最優定額傭金

在給定賣方保留價r和一口價B*的前提下,基于投標者的均衡投標策略,拍賣行的目標為選擇合適的傭金c以最大化期望收益.根據第2節假設,拍賣行僅對第三階段的拍賣收取傭金,而不對一口價收取傭金.于是,拍賣行的期望收益為

其中g(x)和h(y|x)的含義同上.

式(4)可重新整理為

下面給出一口價拍賣中拍賣行的傭金策略.

定理3在考慮定額傭金的一口價拍賣中,給定由定理1所確定的投標者的均衡策略和賣方設定的保留價r和一口價B*,拍賣行使自身期望收益最大化而設置的最優定額傭金滿足c＜ca,其中ca表示不設置一口價時拍賣行的最優傭金水平.

定理3的證明見附錄A4.

于是,拍賣行的最優定額傭金由式(A.11)為零時的方程所確定.定理3顯示:若賣方在拍賣中設置一口價選項,則拍賣行會收取較低的傭金.在不考慮一口價的模型中,最優定額傭金取決于以下三種效應:1)提高傭金可以增加拍賣行的事后收益,為正效應;2)提高傭金使參與拍賣的“門檻”更高,傭金越高參與一口價拍賣所要求的私人價值越高,這減少了投標人的數量,為負效應;3)提高傭金使得投標人的報價策略更為保守,為負效應.而在本文模型中,除上述效應外,由于增加了一口價選項,若拍賣行提高傭金,則對投標者而言第三階段拍賣相對于一口價的吸引力下降,故為負效應.這一效應的存在使得理性的拍賣行設置的定額傭金低于不考慮一口價的模型中的最優傭金.

進一步,當c=0時,由式(A.10)可得

這意味著,追求收益最大化的拍賣行設置的傭金c＞0.

當c≥B*-r時,有B*≤c+r,故投標者不會選擇第三階段的拍賣,此時拍賣行的期望收益為零;當c=B*-r時,有B*=c+r,由邊界條件及B(v,r,c)關于v單調遞減,可得此時于是,由式(A.11)和(A.13)可得

這意味著,在給定賣方保留價r和一口價B*的前提下,追求收益最大化的拍賣行設置的傭金c＜B*-r,此時B*＞c+r.

5 數值算例

在給定c的前提下,根據式(3),可得賣方的期望收益

當c=0.1時,由式(8)和可得或=1.558 3,r=0.45,= 0.55(根據二階條件,舍去).進一步,由式(6)可得B*=0.575 1.由于故B*＜B(1,0.45,0.1)=0.651 3,與定理2結論相符.同時,在不考慮一口價的模型中,當c=0.1時,根據式(A.6)計算可得ra=0.4.顯然,有r＞ra成立,這也與定理2結論相符.給定c在區間[0,0.25]上,圖2描述了帶傭金的一口價拍賣中賣方設置的最優一口價及相應的B(vH,r,c);而圖3描述了帶傭金的一口價拍賣中賣方設置的保留價r與帶傭金的傳統拍賣中賣方設置的保留價ra.

如果給定r和B*,根據式(4),可得拍賣行的期望收益

為最大化拍賣行的期望收益,令RH(c)關于c的一階導數為0,有

給定r=0.4和B*=0.6,則由式(6)可得及.將上述數值代入式(10),可得c=0.097 6.進一步的,可得和v=0.497 9.而在不考慮一口價的模型中,當r=0.4時,根據式(A.11)計算可得ca=0.325 9.顯然,有c＜ca成立,與定理3的結論相符.

圖2 定額傭金模型中的B*及B(vH,r,c)Fig.2 B*and B(vH,r,c)in fxed commission model

圖3 定額傭金模型的r和傳統模型的raFig.3 r in fxed commission model and rain conventional model

6 結束語

本文將定額傭金和一口價引入獨立私人價值拍賣模型中,研究了投標者、賣方和拍賣行三方參與者之間的博弈行為.根據期望收益最大化目標,推出了投標人的Bayes-Nash均衡投標策略,并分析了投標者所能接受的最高一口價水平關于私人價值、保留價和定額傭金的單調性.然后,在給定傭金的前提下,研究了賣方最優保留價和最優一口價的決定.此時賣方設置的保留價大于不考慮一口價的拍賣中的最優保留價,而賣方設置的一口價低于私人價值為vH的投標者所能接受的最高一口價水平.不同于現有文獻從風險規避[2,9]、交易成本[11]、參與者耐心[12]、多物品需求[13,14]和錨定效應[15]等五個方面對一口價存在動因的解釋,本文發現拍賣中介的存在使得理性的賣方通過引入一口價選項可以提高在拍賣中的期望收益,即拍賣行收取傭金是一口價存在的重要動因.最后,在給定保留價和一口價的前提下,將定額傭金內生化,分析了拍賣行最優定額傭金的決定,此時拍賣行設置的傭金小于不考慮一口價情形下的最優傭金.

出于簡化分析的需要,本文只分析了B*＞c+r情形下的模型,實際上賣方也可設置B*≤c+r,但此時第三階段拍賣不可能發生.若將此情形納入分析,最終結果取決于能實現較大期望收益的一口價.本文對賣方或拍賣行行為的分析是基于另一方的行為是外生給定的前提下,后續的研究可以考慮建立一個動態博弈模型.例如,研究賣方、拍賣行和投標者依次決策的考慮定額傭金的一口價拍賣模型.此外,還可以考慮將研究由單屬性情形擴展到多屬性情形[20].

[1]Vickrey W.Counterspeculation,auctions,and competitive sealed tenders.Journal of Finance,1961,16(1):8–37.

[2]Mathews T,Katzman B.The role of varying risk attitudes in an auction with a buyout option.Economic Theory,2006,27(3): 597–613.

[3]楊興麗,陳 霞,呂廷杰.網上一口價拍賣顧客投標策略研究.管理科學,2007,20(4):57–61. Yang X L,Chen X,L¨uT J.Study on bidding strategies in online auctions with buyout price.Journal of Management Science,2007, 20(4):57–61.(in Chinese)

[4]Lucking–Reiley D.Auctions on the internet:What’s being auctioned,and how.Journal of Industrial Economics,2000,48(3):227–252.

[5]Zoltan H,Wang W,Whinston A B.Buy-price English auction.Journal of Economic Theory,2006,129(1):31–56.

[6]Reynolds S,Wooders J.Auctions with a buy price.Economic Theory,2009,38(1):9–39.

[7]田 劍,高 杰.不同一口價網上組合拍賣規則下拍賣方收益分析.系統管理學報,2012,21(2):246–251. Tian J,Gao J.Analysis on revenue of auctioneer in different buyout prices in online combinatorial auctions.Jourmal of Systems and Management,2012,21(2):246–251.(in Chinese)

[8]Wang R.Auctions versus posted-price selling.American Economic Review,1993,83(4):838–851.

[9]Budish T.Buy prices in online auctions:Irrationality on the internet.Economic Letters,2001,72(3):325–333.

[10]Ivanova-Stenzel R,Kroger S.Price formation in a sequential selling mechanism.Journal of Economic Behavior and Organization, 2008,67(3/4):832–843.

[11]Wang X,Montgomery A,Srinivasan K.When auction meets fxed price:A theoretical and empirical examination of buy-it-now auctions.Quantitative Marketing and Economics,2008,6(4):339–370.

[12]Mathews T.The impact of discounting on an auction with a buyout option:A theoretical analysis motivated by eBay’s buy-it-now feature.Journal of Economics,2004,81(1):25–52.

[13]Kirkegaard R,Overgaard B.Buy-out prices in auctions:Seller competition and multi-unit demands.RAND Journal of Economics, 2008,39(3):770–789.

[14]Anwar S,Zheng L.Posted price selling and online auctions.Games and Economic Behavior,2015,90(1):81–92.

[15]Shunda N.Auctions with a buy price:The case of reference-dependent preferences.Games and Economic Behavior,2009,67(2): 645–664.

[16]王 彥,畢志偉,李楚霖.傭金收取對拍賣結果的影響.管理科學學報,2004,74(4):45–48. Wang Y,Bi Z W,Li C L.Effect of commission on auctions.Journal of Management Sciences in China,2004,74(4):45–48.(in Chinese)

[17]劉樹林,楊衛星.第一價格密封拍賣中的最優保留價和最優傭金率研究.經濟研究,2011,11(1):145–156. Liu S L,Yang W X.Study on optimal reserve price and optimal commission rate of a frst-price sealed-bid auction model.Economic Research Journal,2011,11(1):145–156.(in Chinese)

[18]王明喜,劉樹林,汪壽陽.帶傭金率和保留價的一級和二級價格拍賣.管理評論,2012,24(3):24–32. Wang M X,Liu S L,Wang S Y.The frst-price and second-price auctions with both commission rate and reserve price.Management Review,2012,24(3):24–32.(in Chinese)

[19]王 宏.多物品網上拍賣的最優設計.管理科學學報,2011,14(12):1–16. Wang H.Optimal mechanism design for multi-unit online auctions.Journal of Management Sciences in China,2011,14(12):1–16. (in Chinese)

[20]洪宗友,汪定偉.多屬性招標拍賣中買賣雙方的最優策略研究.系統工程學報,2014,29(4):458–467. Hong Z Y,Wang D W.Optimal strategies of auctioneer and bidders in multi-attribute procurement auctions.Journal of Systems Engineering,2014,29(4):458–467.(in Chinese)

附錄A1 定理1的證明

考慮給定保留價r、一口價B*和傭金c前提下,具有私人價值vi的投標者i的投標策略.假定其他(n-1)個投標者采用定理1中的策略,且在私人價值大于時投標者才會選擇一口價選項.再根據式(1)和定義滿足因此,只需證投標者i同樣按照定理1中的策略進行投標.

然后證第二階段的一口價策略.具有私人價值vi的投標者i不選擇一口價時的期望收益為

其中式(A.1)第一個等號右側第一項為其他(n-1)個投標者的私人價值均小于時投標者的期望收益;第二項為其他(n-1)個投標者中最大私人價值大于時投標者i的期望收益.

投標者i選擇一口價時的期望收益為(vi-B*)與獲得物品概率的乘積,即

其中上式最后一行由二項式定理可得.

重新整理,可得

由式(1)知B(v,r,c)=v-n(1-F(v))/(1-Fn(v)),結合式(A.3)可得,即投標者i采用跟其他(n-1)個投標者相同的策略.

證畢.

附錄A2推論1的證明

由式(A.4),可以直接得到B(v,r,c)關于v單調遞增.

證畢.

附錄A3 定理2的證明

先看不設置一口價的拍賣中賣方的最優保留價水平ra.此時,賣方的期望收益為

上式關于r求一階導數,有

于是,最優保留價ra滿足

其中va=c+ra.

再看設置一口價的拍賣中賣方的最優保留價水平r.由式(3),關于r求一階偏導數,得

因此,由式(A.7)可得r＞ra.

與Mathews等[2]定理2方法類似,欲證只要證由式(A.9),有

證畢.

附錄A4 定理3的證明

先看不設置一口價的拍賣中拍賣行的最優傭金水平ca.此時,拍賣行的期望收益為

上式關于c求一階導數,有

于是,最優傭金水平ca滿足

其中va=ca+r.

再看設置一口價的拍賣中拍賣行的最優傭金水平c.由式(5),關于c求一階導數,有

Auctions with buyout price and fxed commission

Ran Maosheng1,Huang Jun1,Jiang Weiyan2
(1.School of Economics and Business Administration,Chongqing University,Chongqing 400030,China; 2.Department of Building and Real Estate,The Hongkong Polytechnic University,Hong Kong 999077,China)

When a seller auction items entrusted to the auction house,the auction house will take some fxed commission from the winner of the auction.Based on such situation,an auction model with buyout price and fxed commission is established.By the method of game theory,the bidders’equilibrium bidding strategies are analysed.From the seller’s perspective,the optimal reserve price and the optimal buyout price are studied. From the auction house’s perspective,the optimal fxed commission is obtained.The results show that different from the model without regart to commission charge the probability of which the bidders choose buyout price is positive in the model with regard to the commission charge,namly,to set the buyout price in auction the seller can improve his income.Moreover,the seller’s optimal reserve price is higher,and the optimal fxed commission is lower than that in the model without seting buyout price.

independent private values;fxed commission;reserve price;buyout price

F016

A

1000-5781(2016)06-0750-11

10.13383/j.cnki.jse.2016.06.004

冉茂盛(1963—),男,重慶云陽人,博士,教授,研究方向:拍賣理論,金融經濟,投融資理論,Email:ranmaosheng@cqu.edu.cn;

黃 俊(1987—),男,江蘇鹽城人,博士生,研究方向:拍賣理論,最優機制設計,Email:huangjun@cqu.edu.cn;

蔣衛艷(1980—),女,江蘇鹽城人,博士生,研究方向:可持續建設管理,拍賣理論,Email:weiyan.jiang@gmial.com.

2015-08-26;

2015-12-14.

國家自然科學基金資助項目(70701040;71071171).