抽象函數與導數耦合

安徽省銅陵樅陽浮山中學 (246736)

劉東蓮

抽象函數與導數耦合

安徽省銅陵樅陽浮山中學 (246736)

劉東蓮

抽象函數與導數相耦合類問題，多是高考試題和高考模考試題的客觀性試題的壓軸題.多數學生一看到這類題，就有一種恐懼感.這里就2016年各地模考中,出現頻率比較高的、比較典型的一些問題進行歸納分類解析，使讀者讀后對這類問題整體解答有一個比較清楚的了解和理解.

一、導數與代數式乘積類

這類問題解決起來,關鍵是根據多項式的不等式,解出變量的范圍,從而知道對應導數值是大于零還是小于零,來判斷出函數單調性的對應區間.

例1定義域為R的函數f(x) 對任意x∈R都有f(x)=f(4-x),且其導函數f′(x)滿足(x-2)·f′(x)>0,則當2

A.f(2a)

B.f(2)

C.f(2)

D.f(log2aa)

解析：因對任意x∈R都有f(x)=f(4-x)，所以其函數圖像的對稱軸為x=2，且2a-2>2-log2a，又因(x-2) f′(x)>0，則當x>2時,f′(x)>0,即x>2時，f(x)為單調遞增函數；當x<2時,f′(x)<0,即x<2時，f(x)為單調遞減函數；又當2

圖1

例2設f(x)是定義在R上的函數，其圖像如圖1所示，則不等式(x2-2x-3)f′(x)>0的解集為( ).

A.(-∞,-2)∪(1,+ ∞)

B.(- ∞,-2)∪(1,2)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+ ∞)

D.(- ∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+ ∞)

圖2

解析：根據原函數的圖像，所以可作出對應導函數的圖像如圖2.因(x2-2x-3)=(x-3)(x+1),又(x2-2x-3)f′(x)>0,所以當x∈(-∞,-1) ∪(3,+ ∞)時,(x2-2x-3)>0,同時f′(x)>0.當x∈(-1,1)時,(x2-2x-3)<0,同時f′(x)<0.故D正確.

解析：因f(x)=f(2-x)，則f(x)的對稱軸為x=1.又因x∈(-∞,1)時,(x-1)f′(x)<0.當x∈(-∞,1)時，f′(x)>0，即f(x)單調遞增.則當x∈(1，+∞)時，f(x)單調遞減.故知距離x=1越近，函數值越大.則b>a>c.

評注:這類問題的解首要是要注意到區間,導函數的符號,原函數的單調性,三者之間的有機結合和準確對應.

(二)“配”成導函數的積,商關系

根據題給的條件,如何“配”成導函數的積和商關系,再根據導數的符號,來判斷整體函數的單調性.

例5已知f(x)是定義在(1，+∞)上的連續可導函數，f′(x)為其導函數，e為自然對數的底數，若x>1有xxf′(x)>ef(x)成立，則當m>n>0時，有( ).

A.mf(xn)>nf(xm) B.mf(xnm)

C.mf(xn)=nf(xm)

D.mf(xn)與nf(xm)的大小關系不確定.

解析：對式子xxf′(x)>ef(x)兩邊取對數得

解析：因f′(x)tanx+f(x)=

例7設函數f(x)是定義在(-∞，0)上的可導函數，其導數為f′(x)，且有2f(x)+x f′(x)>x2,則不等式(x+2015)2f(x+2015)-4f(-2)<0的解集為( ).

A.(-∞，-2015) B.(-2017,-2015)

C.(- ∞,-2017) D.(-2015,-2013)

解析：因在(-∞，0)上，(x2f(x) ′=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x)).又因2f(x)+x f′(x)>x2，則(x2f(x)) ′=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x))

A.6 B.7 C.8 D.9

例9已知奇函數f(x)的導函數為f′(x)，且x∈(0,+∞)時，x f′(x)-f(x)=x,若f(e)=e.則f(x)>0的解集為( ).

A.(-1,0)∪(1，+∞)

B.(- ∞,-1) ∪ (0,1)

C.(-e,0) ∪(e,+∞)

D.(-∞,-e)∪(0,e)

說明:本例不僅巧妙地應用“配”的功能,同時還用到不定積分,這些都需要解題者有較厚的功底.

例10函數f(x)在R上可導，且滿足f(x)>-xf′(x),則關于x的不等式f(x-1)>(x+1)f(x2-1)的解集為( ).

A.(-∞，1) B.(-1,1)

C.(- ∞,0) D.(0,1)

評注:這類問題關鍵是一個字“配”,不是隨便就能“配”的好和“配”的準.所以需要解題者對題意有深入地理解,其次運算基本功要十分過硬.否則就會出“河里挖藕,盲無目的”亂“配”.

四、用 “eax”來“配”

用“eax”來進行“配”,是因為“eax”的導數有一定特殊性,這是這類問題解決起來的核心所在.

例11設函數f′(x)是f(x)(x∈R)的導函數，且f(0)=1,3f(x)=f′(x)-3，則4f(x)>f′(x)的解集為( ).

說明:本例,不僅巧妙地應用“e3x”來“配”的功能,同時還用到不定積分,這些都需要解題者要有較強基本功.

例13已知f(x)是定義在R上的可導函數，滿足f(x)>f′(x)，且y=f(x+1)為偶函數，f(2)=1，則f(x)

例14已知f(x)是定義在R上的可導函數，滿足f(x)>f′(x)+1,f(0)=2016,則不等式e-xf(x)>e-x+2015(其中e是自然對數的底數)的解集為________.

解析：令g(x)=e-xf(x)-e-x，則g′(x)=e-x[f′(x)-f(x)+1]<0,則g(x)在R上單調遞減.因g(0)=f(0)-1=2015，所以e-xf(x)>e-x+2015等價于g(x)>g(0),則x<0.

評注:這類問題關鍵是用 “eax”來“配”,至于其中參數“a”到底取什么值,這就要因題而定.不是隨便就能“配”的好和“配”的準.所以需要解題者對題給的形式要分析和理解,其次運算基本功要十分過硬.否則就會出現“海中失控的小船,無任何目標”亂“配”.

五、抽象函數的基礎性質與導數

這類題的設問主要與函數的奇偶性、周期性、單調區間、對稱性等與導數相結合.

例16已知f(x)是定義在R上的函數,且滿足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(2-x),若曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為x-y+3=0，則該曲線在x=5處的切線方程為________.

解析：因f(x)滿足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(2-x),則f(x+4)=f(x),且圖像關于y軸對稱.又因曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為x-y+3=0，所以y=f(x)在x=1處的切線方程為x+y-3=0.則知y=f(x)在x=5處的切線方程為x+y-7=0.

例17已知f(x)是定義在(0,+ ∞)上的單調函數，且對任意的x∈(0,+ ∞),都有f(f(x)-log2x)=3.則方程f(x)-f′(x)=2的解所在的區間是( ).

圖3

x-204f(x)1-11

以上就抽象函數與導數相耦合的題型的解題本質和方法進了分類解析,以便讀者能從中領略到這類問題的常規做法,及其數學內涵.不足之處望多指教.