利用構造法解決極值點偏移問題

廣東省大埔縣虎山中學 (514200)

楊柳忠

利用構造法解決極值點偏移問題

廣東省大埔縣虎山中學 (514200)

楊柳忠

一、構造對稱函數求解

1.實例探索

例1函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.(2016年全國1卷理科數學第21題)

2.解法提煉

此法的幾個關鍵步驟：

(1)構造一元差函數g(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

(2)對差函數g(x)求導；判斷導函數的符號，確定g(x)的單調性；

(3)結合g(0)=0，判斷g(x)的符號，從而確定f(x0-x)與f(x0+x)的大小關系；

(4)由f(x1)=f(x2)=f[x0-(x0-x2)]>(或<)f[x0+(x0-x2)]=f(2x0-x2),得到f(x1)>(或<)f(2x0-x2);

由于構造對稱函數求解此類問題不需要復雜的變形技巧，可操作性很強，故而成為最一般的方法.其解題本質是比較x1與2x0-x2大小關系不方便時，轉而通過比較與它們的函數值f(x1)與f(2x0-x2)的大小關系，再結合函數的單調性得到x1與2x0-x2的大小關系.

二、根據前一問的結論去構造新函數求解

1.實例探索

同例1，解：(Ⅱ)不妨設x1f(2-x2)?f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2,f(x2)=(x2-2)e2-x2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2，設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex),所以當x>1時g′(x)<0,而g(1)=0,故當x>1時,g(x)<0,從而g(x2)=f(2-x2)<0，故x1+x2<2.

2.解法提煉

與第一個問的結論發生聯系，把研究對象轉化為證明某個新的不等關系，然后再構造新函數，利用新函數的單調性求解.這種辦法應該更多是命題者出題的初衷，因為在學生現有的知識技能中就能解決，它不用再作一個復雜的，技巧性太強的構造，只要吃透了題意，把解決的對象恰當的轉化一下，往往就能又快又準的解決此類問題.很多壓軸題常常會設計好幾個有梯度的小問，下一問的解決常常就要用到上一問的結論.

三、構造對數平均不等式解決

1.對數平均不等式

2.實例探索

由對數平均不等式知

3.解法提煉

極值點偏移的問題，多數與指數函數或對數函數有關，此法的幾個關鍵步驟：

第一步：根據f(x1)=f(x2)建立等式；

第二步：如果含有參數，則消參，如果等式中含有指數式，則兩邊取對數；

第三步：通過恒等變形轉化為對數平均式，利用對數平均不等式求解.

四、利用換元法構造函數解決

1.實例探索

例2已知函數f(x)=lnx-ax有兩個零點x1，x2,求證：x1·x2>e2.

2.解法提煉

第二步：分析H(t)的單調性，利用函數的單調性求解.

以上四種方法各有優劣，不同的題目使用四種方法的簡繁程度不一樣，如例2使用前三種會顯得復雜得多，而例1使用第四種方法確很難操作，我們應該根據題目的實際情況分析嘗試，擇優選擇.我們發現極值點偏移問題歸納起來解法無非是構造函數與構造對數平均不等式，但它們同屬構造，不同的題目構造的方式不一樣，解法也就不一樣，極值點偏移問題解法很多，題目也非常靈活，至于是否還有更佳，更美妙的構造，確實值得我們再深入去研究.

[1]郉友寶，極值點偏移的問題的處理策略[J].中學數學教學參考(上旬).2014(7)：19-22.