利用同構特點巧解數學問題

李鎧辰

在求解函數與方程的問題中，往往會出現一些除變量外完全相同的結構式，解題時若能利用其同構的特點，尋求與問題的某種內在聯系，深刻分析、正確思維和豐富聯想，使之簡單明了，起到化簡、轉化和橋梁作用，從而找到解決問題的思路、方法.這體現了數學中發現、類比、化歸等思想，滲透著猜想、試驗、探索、概括等重要方法，是一種富有創造性的解決問題的方法.本文列舉函數、不等式、數列中的常見問題解析如下.

題型一：利用同構特點解決方程問題

在方程中的應用：如果方程f（a）=0和f（b）=0呈現同構特征，則a，b可視為方程f（x）=0的兩個根.

例1.若函數f（x）=+m在區間[a，b]上的值域為[，]（b>a≥1），則實數m的取值范圍是？

【解析】∵f（x）為增函數∴f（a）=，f（b）=-？圯+m=+m=

∴a，b為方程+m=在[1，+∞）上的兩個根，即m=-有兩個不同的根，

令t=（t≥0）？圯x=t+1，

所以方程變形為：m=（t+1）-t=（t-2t+1），結合圖像可得：m∈（0，].

【點評】注意到f（x）是增函數，從而得到f（a）=，f（b）=，即+m=+m=，發現兩個式子為a，b的同構式，進而將同構式視為一個方程，而a，b為該方程的兩個根，m的取值只需要保證方程有兩根即可.

題型二：利用同構特點解決不等式問題

在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數，進而和函數的單調性找到聯系.可比較大小或解不等式.

例2.已知函數φ（x）=，a為正常數，若g（x）=lnx+φ（x），且對任意x，x∈（0，2]，x≠x，都有>-1，求a的取值范圍.

【解析】g（x）=lnx+，不妨設x

g（x）-g（x）>x-x？圯g（x）+x>g（x）+x，

設h（x）=g（x）+x=lnx++x，則由h（x）>h（x）恒成立和x

只需h（x）在（0，2]單調遞增即可，∴h′（x）≥0恒成立.

∵h′（x）=-+1∴-+1≥0

即a≤（x+1）+恒成立

所以只需a≤[（x+1）+]

令p（x）=（x+1）+

∴p′（x）=2（x+1）+=

∴p（x）在（0，）單調遞減，在（，2）單調遞增，∴p（x）=p（）=

∴0

【點評】觀察到已知不等式為輪換對稱式，所以考慮定序以便于化簡，令x>x，則不等式變形為g（x）-g（x）>x-x，將相同變量放置一側，可發現左右具備同構特點，所以將相同結構視為函數h（x）=g（x）+x，從而由x>x且h（x）>h（x）可知只需h（x）為增函數即可.從而只需不等式h′（x）≥0恒成立即可，求出a的范圍.