函數中的多元變量問題的求解策略

張崟鶴

函數中的多元變量問題是函數導數綜合題的難點，困難之處在于如何構造合適的一元函數，在處理多元不等式時可以利用條件粗略確定變量的取值范圍，然后處理好相關函數的分析（單調性、奇偶性等），以備使用，本文以一些習題為例介紹常用的處理方法.

題型一：轉化為線性規劃問題求解

例1.已知函數y=f（x）是R上的減函數，函數y=f（x-1）的圖像關于點（1，0）對稱，若實數x，y滿足不等式f（x-2x）≤-f（2y-y），且1≤x≤4，則的取值范圍是？搖 ？搖.

【解析】f（x-2x）≤-f（2y-y）？圯f（x-2x）≤f（y-2y）？圯x-2x≥y-2y，即（x-y）-2（x-y）≥0，所以有（x-y）（x+y-2）≥0.再結合1≤x≤4可作出可行域（如圖），數形結合可知的范圍是[-，1].

【點評】從所求出發可聯想到（x，y）與（0，0）連線的斜率，先分析已知條件，由f（x-1）對稱性可知f（x）為奇函數，再結合單調遞減的性質可將所解不等式進行變形，轉化為平面區域內的點與原點連線的斜率范圍問題.

題型二：轉化為直線與圓錐曲線的位置關系問題

例2.設f（x）是定義在R上的增函數，且對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果實數m，n滿足不等式組f（m-6m+23）+f（n-8n）<0m>3，那么m+n的取值范圍是（ ）.

A.（3，7） B.（9，25） C.（13，49） D.（9，49）

【解析】由f（1-x）+f（1+x）=0可得：f（1-x）=-f（1+x），所以f（x）關于（1，0）中心對稱，即-f（x）=f（2-x），所以，f（m-6m+23）+f（n-8n）<0？圯f（m-6m+23）<-f（n-8n）=f（2-n+8n），利用f（x）單調遞增可得：m-6m+23<2-n+8n？圯（m-3）+（n-4）<4，所以m，n滿足的條件為（m-3）+（n-4）<4m>3①，所求m+n可視為點（m，n）到原點距離的平方，考慮數形結合.將①作出可行域，為以C（3，4）為圓心，半徑為2的圓的右邊部分（內部），觀察圖像可得該右半圓距離原點的距離范圍是（，7），所以m+n∈（13，49）.

【點評】二元變量問題一般與圓錐曲線的軌跡方程有密切聯系，如果根據函數特點合理地轉化即可利用曲線軌跡中的最值問題解決，本題首先考慮變形f（m-6m+23）+f（n-8n）<0，若想得到m，n的關系，那么需要利用函數的單調性將函數值的大小轉變為括號內式子的大小.

題型三：整體換元

例4.已知f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax+bx，其中g（x）的圖像在（1，g（1））處的切線平行于x軸.

（1）確定a與b的關系

（2）設斜率為k的直線與f（x）的圖像交于A（x，y），B（x，y）（x

【解析】（1）g（x）=lnx+ax+bx ∴g′（x）=+2ax+b，依題意可得：g′（1）=1+2a+b=0？圯b=-（2a+1）.

（2）依題意得k==，故所證不等式等價于：

<<？圯

令t=，（t>1），則只需證：1-

∴h（t）在（1，+∞）單調遞減，∴h（t）

對于左邊不等式：1-0，令p（t）=lnt+-1，

則p′（t）=-=，∴p（t）在（1，+∞）單調遞增，∴p（t）>p（1）=0.

【點評】（1）在證明不等式<<時，由于x，x獨立取值，無法利用等量關系消去一個變量，因此考慮構造表達式f（x，x），使得不等式以f（x，x）為研究對象，再利用換元將多元不等式轉變為一元不等式.

（2）所證不等式為輪換對稱式時，若x，x獨立取值，可對x，x定序，從而增加一個可操作的條件.