基于數學核心素養的數學教學
——以《數系的擴充》為例

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 蘇振新

基于數學核心素養的數學教學
——以《數系的擴充》為例

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 蘇振新

一、問題的提出

自從新課程改革以來，教育越來越關注學生核心素養的發展，而具體落實這些要求的根本在于課堂.“課改的關鍵是改變學生的學習方式，而關鍵的關鍵是改變教師的教學行為”，筆者認為：“教師的教學行為一定是受某種數學教學的信念所影響”.研究表明：教師如果不能很好的理解《數學課程標準》，更新教學理念，那么數學教育依然不能走出深水區.為了能夠真正在課堂教學中落實好《數學課程標準》，真正提高學生的學科素養，讓學生具有深刻情感體驗的教學設計就顯得尤為重要.在《注重培養“四基” 提高數學素養》一文中，清楚指出“四基”，就是這些學生“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”.怎么樣在課堂中滲透數學核心素養，是一線教師現在必須要考慮的問題，下面筆者以《數系的擴充》為例，談談如何提升學生的核心素養.

二、教學設計案例分析

活動一：問題引入

完成下列問題，并互相討論交流.

（1）x+2=0，x∈N;

（2）2x+3=0，x∈Z;

（3）2x2+2=6，x∈Q.

以上三道方程在限定的范圍內都沒有適合的解，同學們通過回顧自己的學習經歷可以發現課本上是通過擴展數集的辦法來加以解決的，這一系列的過程使得數集由剛開始的自然數集擴展到同學們現在所知道的實數集，從而自然引入無理數的概念.

設計意圖：讓學生在問題的處理過程中了解到問題的沖突所在，使他們了解到此種數集的持續擴充和問題的解決階段.

利用小組探討與學生的獨立思考，部分學生可以發現在數集的擴展過程中可以解決更多的實際問題，同時數集的擴展過程也是數和數學學科自己發展的必然要求.數集的擴充同時遵循以下幾個共同特征：第一，都有新的數被引用進來；第二，都滿足乘法對加法的分配律、交換律和結合律.

活動二：數學建構

師：請同學們認真思考一下，方程x2=-1在R上是否有解？

此問題有一定的難度，教師可以參與到學生的活動之中，給予學生一定的幫助.

與活動一中的問題一樣，此方程無解，參照上面的研究方法，需要引入新數，這時教師追問：引入的新數需要滿足哪些條件？

最后討論后達成共同認知：需要引進新數來解決問題，不過該數需要達到活動二中的相關規律：引進的新數與實數之間需要達到上述三種運算規則.

設計意圖：利用解決該問題，使學生體會到數值不足，進而引進新數是十分關鍵的，從而激發他們的求知欲望與研究欲望.

活動三：新數運用

根據前面幾次數的擴充，請類比寫出新數i與實數可能會產生的代數式，并寫出來.

學生寫出：3i，-7i，3+2i，23-i，……

教師提示：同學們所寫出的形式能否把它們歸類呢？

學生展示：學生通過思考和小組討論可能寫出如下的形式：a+i，ai，a+bi等.

教師提問：同學們所寫的形式能否用一個統一的形式來表示？

設計意圖：本活動以師生互動為主，學生在老師的點撥下，很好地掌握了新數i與實數的乘法滿足的交換律，教師及時的點撥，因此同學們很自然的理解a+bi（a∈R，b∈R）的形式.這樣就能很好地解決學生由于知識的生疏所產生的障礙.

活動四：答疑解惑

a+bi（a∈R，b∈R）的式子中是否包含同學們以前學過的所有的實數？產生了哪些新數？如果用一個新的集合C來表示，集合C與以往的實數集R相比有了哪些變化？請同學們先獨立思考然后小組內討論，在此過程中教師可以參與到學生的活動中.

成果分析：在新數a+bi（a∈R，b∈R）構成的集合C中包含了同學們學過的所有的實數，同時還包括了新數bi（b≠0），新數，a+bi（a∈R，b∈R）（a≠0，b≠0）.

教師總結：通過同學們自己的探索我們今天發現了一種新的數集C=｛a+bi|a∈R，b∈R），定義新數為復數a+bi（a∈R，b∈R），其中i為虛數單位，由所有的復數所組成的數集稱為復數集，形式為C=｛a+bi（a∈R，b∈R）｝.通常用一個字母來z表示，所以復數又可以表示成z=a+bi（a∈R，b∈R，a≠0，b≠0）的代數形式.注：a，b分別稱為復數z的實部和虛部，其中z=a+bi（a∈R，b∈R，a≠0，b≠0）稱為虛數，形如bi（b∈R，b≠0）的數稱為純虛數.

設計意圖：由實數到復數的數系擴充過程中完全是由學生的自主探索產生的，因此學生對概念的理解也比較透徹，知識的生成過程中也比較自然，學生對新舊知識的區別也比較清晰.

活動五：具體應用

請同學思考、討論（小組內）復數z=a+bi（a∈R，b∈R），分別滿足何種條件時表示實數、虛數、純虛數及實數0？并把結果分類展示在黑板上.

成果分析：b=0?z=a+bi（a∈R，b∈R）為實數；

b≠0?z=a+bi（a∈R，b∈R）為虛數；

a=0，b≠0?z=a+bi（a∈R，b∈R）為純虛數；

a=b=0?z=a+bi（a∈R，b∈R）為實數0.

設計意圖：通過復數的分類讓同學們更加理解復數與實數、序數之間的內在關系，更重要的是要讓學生清晰復數為虛數和實數，以及純虛數的充要條件分別是什么，為今后的解題做好充分的知識準備.

活動六：關聯問題

請大家思考復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間存在的關聯，且使用符號與圖形進行相應的表示.

設計意圖：教學活動到這一步時，學生的知識水平已經有了一定的提高，已經能夠獨立處理一些基本問題了，同時也考查了學生對新知識的掌握程度.

活動七：運算規則

對于復數z1=x+yi（x∈R，y∈R），z2=m+ni（m∈R，n∈R）分別滿足什么條件時復數z1=z2？

設計意圖：本題可以考查學生對于復數所滿足以往數的運算規則的運用，同時也說明了復數相等的內涵（充要條件）.

活動八：歸納總結

請同學們思考任意的兩個復數之間能否比較大小？

設計意圖：本環節是對學生綜合運用知識能力及對知識的整合能力的考查，教師可以加以引導，這一環節也可以放在本節課的總結部分來闡述.

三、教學思考

高中數學課程標準非常重視“探索、探究”和“自主、自覺、自己、獨立”等關鍵詞.本課例以學生活動作為重要基礎，改變他們的學習方法是落實高中數學課程的基礎理念、基本要求的重要途徑.課標還進一步強調，學生的數學活動不應該只約束在對基本定義、結論與技能的理解、模仿與認可，單獨思考、積極研究、主動實踐、合作溝通、閱讀自學應該變成學習數學的主要方法.為了在真正意義上提升他們的數學素養，就必須要改善課堂太過重視基本知識教授的傾向，改善課程實行太過重視接受學習、死記硬背、機械訓練的現象.

學生是學習過程中的重要主體，從他們的思維特征進行分析，基本概念的認知是在學生已有理論的前提下再次建立知識的階段，加之數學概念并不是世界中的真實存在.所以，他們在對基本概念進行學習過程中，先要在大腦中建立起相關的景象，也就是所有的教學活動最后均以主體上產生作用為最后目的，對象階段是由概念衍生開來的性質探求、運算、證明等，所以，教師在概念教學中要充分研究自己的學生，根據學生的思維特點，從而決定在概念教學中設計什么樣的提問，能最大限度地調動學生對基本概念的了解，課堂提問需要是由簡單到困難，從簡單與復雜，由淺入深，從形象到抽象，循序漸進，如此才可以讓他們的思維由“未知”朝著“最近發展區”發展，最終由對象階段向圖式階段轉化.

隨著數學數學課程改革的不斷推進，數學課程改革已經進入“深水區”，如何走出這個深水區，是我們當前面臨的最大問題.而過程完整化教學理論指導下的教學設計能夠落實課程標準中對學生的三維目標.完整化的教學過程就是指教師必須提出一些本學科“真正的結構化問題”，而不是人為編造的問題，也就是說首先必須要用“本源性”的問題驅動學生的學科學習，這是最根本的；其次，要使學生的數學學科素養落到實處，讓學生在數學課堂上進行“數學建?！本褪亲钣欣淖ナ?