實變函數教學中一些探討

摘 要：實變函數是數學相關專業的一門重要的專業課程，是現代數學的基礎。本文中筆者針對實變函數內容抽象性，結合自身的教學經歷，從教學內容出發，探討反例、反證法和對比教學法在教學中的運用。

關鍵詞：實變函數 教學方法 Lebesgue測度

中圖分類號：O174.1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2017）01-0018-01

1 引言

實變函數是高等院校數學及相關專業的一門重要的專業課程，它是學生普遍感覺難學的一門課程。感覺難學的主要原因有以下幾點：①不知道為什么要引入那么多難于理解的概念，例如集合的基數、Cantor三分集、Lebesgue測度、可測函數，依測度收斂、可測函數的積分等；②隨著現在選修課程的增多，實變函數等專業課程的學時越來越少，任課教師一般很難講授完整相關理論，更不用說講深講透，特別是那些重要定理的證明；③學生感覺習題太難，學生做作業時感覺很難用所學理論知識解決課后習題，這需要任課教師花大量課外時間去講解。因此，在教學過程中選擇有效的教學方法將有助于學生理解所學的理論知識，起到事半功倍的效果，本文就實變函數教學過程中經常遇到的教學難題展開討論，探討反例、反證法和對比教學法在教學中的運用，使學生更好的掌握和理解這門課程的基本理論，做到學有所用。

2 重視反證法在定理證明中的運用

實變函數的基礎是集合論，掌握集合論的理論知識是學好實變函數的前提。

幾乎所有的實變函數課本第一章都是集合論，詳情請參考文獻[1-5]。反證法思想在其中一些重要的定理中有廣泛的運用，例如：Bernstein定理，無最大基數定理，開集構造定理等證明，因此掌握反證法思想是非常重要的。

反證法是間接證明的一種論證方式，首先假設命題的已知條件成立，假設命題不成立，然后推導出和已知條件相矛盾的結論，從而證明原命題。其思想就是原命題和原命題的否定是對立的存在：原命題為真，則原命題的否定為假；原命題為假，則原命題的否定為真。恰當運用反證法思想可以讓學生更好的理解相關的定理的證明。

3 積極尋找反例理解測度論中的相關概念和定理

實變函數有很多概念之間有很多聯系，如幾乎處處收斂、一致收斂和依測度收斂都是函數列收斂的概念，這些概念往往讓學生感覺很抽象，難以理解透徹。我們常常尋找反例說明它們之間區別以加深理解相關概念之間的聯系。例如：Cantor三分集就是一個很重要的反例，其基數為連續統基，但卻是一個零測集，不含有內點。在測度論中Cantor三分集經常被用作反例來加深理解掌握相關的概念。

實變函數的很多定理條件往往很簡單，卻很容易被學生忽視，通過一些反例可以幫助學生理解這些極易被忽視卻必不可少條件所起的重要作用。例如Egorov定理中條件是必不可少的，下面這個反例說明了這點。

例1：設φk（x）=1， x∈（0，k），

0， x∈（k，∞）. 則φk（x）≡1. 注意對?δ>0， 任意可測集Eδ?（0，∞）， {φk（x）}在（0，∞）上是不一致收斂于1的。

4 運用對比教學法學習Lebesgue積分理論

對比教學法就是運用比較的手段確定相關概念異同關系的教學方法，它在知識的深度和廣度上做對比類推，把一些具有聯系又有區別的概念或性質放在一起進行對比分析，使學生能更好的理解和掌握相關概念或性質的異同關系。運用對比教學法學習Lebesgue測度理論有重要的作用，它使得學生學習新知識時能夠有效的克服陌生感，增強學習積極性。我們以Riemann積分理論和Lebesgue積分積分理論做對比，討論兩種積分理論的聯系與區別。

Riemann積分通過Riemanna和的極限來定義的，而 Lebesgue積分是通過簡單函數積分的極限來定義的。這兩種積分理論有聯系又有區別，相比較而言Lebesgue積分有著比Riemann積分更寬松的條件，但它不能運用于非絕對收斂的反常Riemann積分理論。例如在（0，∞）區間上是反常的Riemann積分，其積分為，

在區間（0，∞）上的Riemann積分是不存在的。根據Lebesgue可測函數的絕對可積性，在區間（0，∞）上不是Lebesgue可積的。由此可見Lebesgue積分理論是Riemann積分理論的推廣，而不是它的替代物。

5 結語

在實際教學過程中，適當的教學方法有助于提高教學質量，但只談論教學方法是遠遠不夠的。要想學好一門數學課必須做一定量的習題，因此精選一些典型的，能夠加深對所學知識理解的習題給學生做練習，之后再加以講解，才能有效的提高教學質量，達到好的教學效果。

參考文獻：

[1] 鄧東皋，常心怡.實變函數簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 周民強.實變函數論[M].北京：北京大學出版社，2008.

[3] 胡適根.實變函數[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4] 程其襄，張奠宙，魏國強.實變函數與泛函分析基礎[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5] 那湯松，徐瑞云（譯）.實變函數論[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者簡介：吳奎霖，男，博士，貴州大學副教授，研究方向：微分方程與動力系統。