例談數列中參數范圍問題的多種解題方法

祝忠虎

(甘肅省永昌縣第一高級中學 737200)

近年來,各省高考試題及高考模擬試題中出現了頗有新意、構思精巧的數列不等式恒成立求參數范圍的綜合題，這類題涉及知識面廣、綜合性強，對能力要求較高，能較好地考查學生的思維能力，很值得重視和探究.下面舉例說明此類問題的解題策略，供參考.

一、分離參數法

例1 已知等比數列{an}滿足an+1+an=9·2n-1,n∈N*.

(1)求數列{an}的通項公式；(2)設數列{an}的前n項和為Sn，若不等式Sn>kan-2對一切n∈N*恒成立，求實數k的取值范圍.

解 (1)略.

所以，不等式3(2n-1)>k·3·2n-1-2,即k<2-

點評 對于參數與主變量未分開的不等式恒成立問題優先考慮分離參數再轉化為最值問題處理.

二、單調性法

點評 對于與數列單調性有關的不等式恒成立問題可以利用數列單調性定義轉化為不等式恒成立問題的一般形式再求參數范圍.

三、最值(有界性)法

(Ⅰ)求數列{bn}的通項公式；

(Ⅲ)設數列{bn}的前n項和為Rn,已知正實數λ滿足：對任意正整數n,Rn≤λn恒成立，求λ的最小值.

∴λn≥Rn>4n-1,即(λ-4)n>-1對一切大于1的奇數n恒成立.

另一方面，當λ=4時，對一切的正整數n都有Rn≤4n.

事實上，對任意的正整數k，有

∴當n為偶數時，設n=2m(m∈N*),

則Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2n)<8m=4n.

當n為奇數時，設n=2m-1(m∈N*),

則Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1<8(m-1)+4=8m-4=4n.

∴對一切的正整數n，都有Rn≤4n.

綜上所述，正實數λ的最小值為4

點評 對于一邊能求和(或放縮后能求和)的數列不等式恒成立問題，一般先求和再求出數列和的最值(或上界、下界)，進而求出參數范圍.

[1]彭浪.試析高中數學概念的教學方法[J].中學生數理化(教與學),2016(01):78-79.

[2]劉兆強.淺談高中數學概念的教學方法[J].青春歲月,2016(13):149.

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